フィロー線

幾何学において、フィロー線（フィローせん、ヒーローせん、テンプレート:Lang-en-short）または、フィロン線（テンプレート:Lang）は、ある角とその内側にある点に対して定義される、その点を通り、角を成す2直線上に端点をもつ最短線分である。フィローの線とも書かれる。発明家のビザンチウムのフィロンに因んで名付けられた。フィロンはこの線分を立方体倍積問題の解決に用いた。フィロー線は定規とコンパスによる作図ができない。

幾何学的な特徴づけ

点テンプレート:Mvarと角テンプレート:Mvarのフィロー線テンプレート:Mvar。線分テンプレート:Mvarの端点とそれぞれテンプレート:Mvar、テンプレート:Mvar間の距離が等しいような点テンプレート:Mvarは頂点テンプレート:Mvarからの垂足となる。

フィロー線は頂角を通る垂線によって幾何学的な定義ができる。点$P$と$\mathrm{\angle }DOE$のフィロー線を$DE$とする。ただし$D,E\ne O$。また$DE$と、$DE$の頂角$O$を通る垂線との交点を$Q$とする。このとき$DP=EQ,EP=DQ$となる。

逆に$P$と$Q$が、線分$DE$の端点との距離が等しく、頂角$O$を通る$DE$の垂線が$Q$を通れば、この線分$DE$は点$P$と$\mathrm{\angle }DOE$のフィロー線である。

代数的な構築

頂角$O$に対するそれぞれ端点$D,E$の方向と$P$の位置を適切に固定することで、以下のように代数的手法によって、フィロー線を得られる。

$O$を原点とする直交座標系を描く。$E$を$x$軸、$D$を$y=mx(m\ne 0)$上にある点とする。$m$は$\mathrm{\angle }DOE$の正接となる。$\mathrm{\angle }DOE$内の点$P$の座標を$(P_x,P_y)$として、$E=(E_x,0)$と$D=(D_x,D_y)=(D_x,m{D}_x)$の座標を得る事を目標とする。

傾き$\alpha \ne 0$を持つ直線が$(x,y)=(P_x,P_y)$を通るとき、その直線の方程式は

$y=\alpha (x-P_x)+P_y.$

である。この直線と$x$軸の交点は

$\alpha (x-P_x)+P_y=0$

を解けばよく、$E$の座標は

$(E_x,E_y)=(P_x-\frac{P_y}{\alpha },0).$

となる。$\alpha \ne m$として、先の直線と$y=mx$の交点は

$\alpha (x-P_x)+P_y=mx$

を解くことで

$(D_x,D_y)=(\frac{\alpha P_x-P_y}{\alpha -m},m\frac{\alpha P_x-P_y}{\alpha -m}).$

とわかる。$D,E$のユークリッド距離の自乗は次の式により求めることができる。

$E{D}^2=d^2=(E_x-D_x{)}^2+(E_y-D_y{)}^2=\frac{m^2(\alpha P_x-P_y{)}^2(1+{\alpha }^2)}{{\alpha }^2(\alpha -m{)}^2}.$

$\alpha$が負の範囲で長さが最小の時、$DE$はフィロー線となる。

導関数$\partial d^2/\partial \alpha =0$となるような$\alpha$は最小値の候補となる。

$-2m^2\frac{(P_x\alpha -P_y)[(m{P}_x-P_y){\alpha }^3+P_x{\alpha }^2-2P_y\alpha +P_{y}m]}{{\alpha }^3(\alpha -m{)}^3}=0.$

整理して、

$(m{P}_x-P_y){\alpha }^3+P_x{\alpha }^2-2P_y\alpha +P_{y}m=0$

この式は、$P$を通る直線束の中で最短の線分の傾きを決定する。ただし、全体の最小値は$\alpha =P_y/P_x$の場合であり、これは$y=mx$と$x$軸の交点$(0,0)$を通ってしまうため不適である。$-\alpha$は$\mathrm{\angle }OED$の正接となる。

${\alpha }_1=P_y/(P_x-E_x)$を代入すれば$E_x$は三次多項式

$m{x}^3+(2P_y-3m{P}_x)x^2+3P_x(m{P}_x-P_y)x-(m{P}_x-P_y)(P_x^2+P_y^2).$

の根となる。したがってこの三次方程式を解くことはフィロー線と$x$軸の交点を見つけることと等しい。1837年のピエール・ヴァンツェルの発見によれば、非自明な三次方程式の根は定規とコンパスによる作図ができないため、フィロー線も作図することはできない。

また方程式の解を次式に代入すれば、フィロー線の長さを得る。

$d^2=\frac{P_y^2+x^2-2x{P}_x+P_x^2}{(P_y+mx-m{P}_x{)}^2}{x}^2{m}^2.$

Qの位置

$OQ$は$ED$の垂線であるから、その傾きは$-1/\alpha$である。したがって$OQ$の方程式は$y=-x/\alpha$である。$Q=(Q_x,Q_y)$とおいて、フィロー線$y=\alpha (x-P_x)+P_y$との交点は$\alpha (x-P_x)+P_y=-x/\alpha$を解くことによって得られ、

$Q_x=\frac{(\alpha P_x-P_y)\alpha }{1+{\alpha }^2}$

$Q_y=-Q_x/\alpha =\frac{P_y-\alpha P_x}{1+{\alpha }^2}$

となる。また、$D(D_x,D_y)$と$Q$の距離の自乗は

$D{Q}^2=(D_x-Q_x{)}^2+(D_y-Q_y{)}^2=\frac{(\alpha P_x-P_y{)}^2(1+\alpha m{)}^2}{(1+{\alpha }^2)(\alpha -m{)}^2}$.

で、$E$と$P$の距離の自乗は

$E{P}^2\equiv (E_x-P_x{)}^2+(E_y-P_y{)}^2=\frac{P_y^2(1+{\alpha }^2)}{{\alpha }^2}$.

で表される。差を取って

$D{Q}^2-E{P}^2=\frac{[(P_{x}m+P_y){\alpha }^3+(P_x-2P_{y}m){\alpha }^2-P_{y}m][(P_{x}m-P_y){\alpha }^3+P_x{\alpha }^2-2P_y\alpha +P_{y}m]}{{\alpha }^2(1+{\alpha }^2)(a-m{)}^2}$.

$\alpha$に関する上記の三次方程式より、この式の表す値は0になり$DQ=PE$が示される。

特殊な場合:直角三角形

$(x,y)=(P_x,P_y)(P_x,P_y>0)$を通る直線束の傾き$\alpha$の直線は、上の式によって表すことができた。$\mathrm{\angle }DOE$が直角であるとき、$m\to \mathrm{\infty }$とすればよく、$DO$は$y$軸と一致する。

$y$軸と傾き$\alpha$の直線の交点の$y$座標

$\alpha (-P_x)+P_y$

である。したがって、交点$D$の座標は

$(D_x,D_y)=(0,P_y-\alpha P_x).$

となる。$D,E$のユークリッド距離の自乗は次の式により求めることができる。

$d^2=(E_x-D_x{)}^2+(E_y-D_y{)}^2=\frac{(\alpha P_x-P_y{)}^2(1+{\alpha }^2)}{{\alpha }^2}.$

$\alpha$が負の範囲で長さが最小の時、$DE$はフィロー線となる。導関数$\partial d^2/\partial \alpha =0$となるような$\alpha$は

$2\frac{(P_x\alpha -P_y)(P_x{\alpha }^3+P_y)}{{\alpha }^3}=0$

を解くことで得られる。$\alpha =P_y/P_x$は不適であることに注意して、解は

$\alpha =-\sqrt[3]{P_y/P_x}$

である。したがってフィロー線の長さは

$d=\frac{P_y-\alpha P_x}{|\alpha |}\sqrt{1+{\alpha }^2}=P_x[1+(P_y/P_x{)}^{2/3}{]}^{3/2}.$

${\alpha }_1=P_y/(P_x-E_x)$とおいて、方程式を解けば$E$の$x$座標を得る。

$E_x=P_x+P_y\sqrt[3]{P_y/P_x}.$

三角法による代数的構築

三角法を用いたフィロン線の性質の証明

$OQ$が垂線であるから、三角関数を用いて、辺の長さを次のように表せる。ここで、$\mathrm{\angle }POQ=\phi ,\mathrm{\angle }DOE={\theta }_b,\mathrm{\angle }DOQ={\theta }_c,OQ=h,OP=a$とする。

$DQ=h\tan ({\theta }_c-\phi )$

$QE=h\tan ({\theta }_b+\phi )$

$PQ=h\tan (\phi )$

$EP=h\tan ({\theta }_b+\phi )-h\tan (\phi )$

$h=a\cos (\phi )$

これらより

$DE=L(\phi )=a\cos (\phi )(\tan ({\theta }_c-\phi )+\tan ({\theta }_b+\phi ))$

を得る。次に$L(\phi )$の導関数を求める。

$L^{\prime }(\phi )=a\cos (\phi )(-{\tan }^2({\theta }_c-\phi )+{\tan }^2({\theta }_b+\phi ))-a\sin (\phi )(\tan ({\theta }_c-\phi )+\tan ({\theta }_b+\phi ))$

$L^{\prime }(\phi )=a\cos (\phi )(\tan ({\theta }_c-\phi )+\tan ({\theta }_b+\phi ))(-\tan ({\theta }_c-\phi )+\tan ({\theta }_b+\phi )-\tan (\phi ))$

$L^{\prime }(\phi )=L(\phi )(-\tan ({\theta }_c-\phi )+\tan ({\theta }_b+\phi )-\tan (\phi ))=\frac{1}{h}L(\phi )(PE-QD)$

$DE,h>0$であるから、導関数の値が0になるときは、$PE=QD$となるとき。したがって、上記のフィロー線の性質が証明された。

立方体倍積問題

フィロー線は立方体倍積問題の解決に用いられる。立方体倍積問題は2の立方根が作図可能かという問題に帰着しする。これがフィロー線を定義したフィロンの目的であった。$PQ:QR=1:2$となる長方形$PQRS$を作る。 $TU$を$\mathrm{\angle }QRS$と点$P$のフィロー線とする。 $V$を$R$を通るフィロー線$TU$の垂線の足とすれば、三角形$RVP$は$RP$を直径とする円（長方形$PQRS$の外接円）に内接する。

$W$を$V$を通る直線$QR$の垂線の足として、長方形とフィロー線の性質、三角形と比の定理から$RS=PQ$, $RW=QU$, $WU=RQ$が従う。また、直角三角形$PQU$,$RWV$,$VWU$は相似である。これらを用いることによって $RS:RW=PQ:QU=RW:WV=WV:WU=WV:RQ$ が分かる。

特に$RS:RW=RW:WV=WV:RQ$に注目する。$PQ:QR=1:2$よりこれらの比が$1:\sqrt[3]{2}$であることが分かる。同様にして、一般に$PQ:QR=a:b$のときこれらの比率は$\sqrt[3]{a}:\sqrt[3]{b}$となることが分かる。

立方体倍積問題が定規とコンパスによる作図では不可能であることから、フィロー線の作図不可能性が証明された。

円と双曲線の交点を結ぶ直線として得られるフィロー線

$R=(0,0)$、$Q,S$をそれぞれ正の$x,y$軸上の点とすると、$V,P$の座標はそれぞれ$(\sqrt[3]{a^{2}b},\sqrt[3]{a{b}^2}),(\sqrt[3]{a{b}^2},\sqrt[3]{a^{2}b})$となる。つまり、$V,P$は長方形の外接円と双曲線$xy=ab$の第一象限上の交点である。紐などを用いて円錐曲線を描くことができる場合は、これと同様にしてフィロー線を得られる。

面積の最小化

三角形$OED$の面積の最小問題は以下の様に解決される。

$D,E$の座標をそれぞれ $(D_x,D_y),(E_x,E_y)$とする。$\mathrm{△}OED$の面積は次の式で表すことができる。

$A=D_y{E}_x/2=\frac{m(\alpha P_x-P_y{)}^2}{2\alpha (\alpha -m)}$.

$\partial A/\partial \alpha =0$となるような$\alpha$を見つけることによって、面積は最小化される。

$-\frac{m(\alpha P_x-P_y)[(m{P}_x-2P_y)\alpha +P_{y}m]}{2{\alpha }^2(\alpha -m{)}^2}=0$.

$\alpha =P_y/P_x$は不適であるから、もう一方の解

$\alpha =-\frac{m{P}_y}{m{P}_x-2P_y}$

を採用し、面積の最小値を得る。

$A=\frac{2P_y(m{P}_x-P_y)}{m}$.

関連項目

• 等長共役

参考文献

• テンプレート:Cite journal
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外部リンク

• テンプレート:MathWorld