フェイェールの定理のソースを表示

[[数学]]における'''フェイェールの定理'''（フェイェールのていり、{{Lang-en-short|Fejér's theorem}}）とは、[[ハンガリー]]の[[数学者]]{{仮リンク|リポート・フェイェール|en|Lipót Fejér}}の名にちなむ定理。''f'':'''R'''&nbsp;→&nbsp;'''C''' が[[周期関数|周期]] 2π の[[連続函数]]であるなら、その[[フーリエ級数]]の[[級数|部分和]]の[[列 (数学)|列]] (''s''<sub>''n''</sub>) の[[チェザロ平均]]の列 (σ<sub>''n''</sub>) は、[-π,π] 上[[一様収束|一様]]に ''f'' に収束する。

(''s''<sub>''n''</sub>) を具体的に書くと、
:<math>s_n(x)=\sum_{k=-n}^nc_ke^{ikx} </math>
となる。ただし
:<math>c_k=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)e^{-ikt}dt,</math>
である。また (σ<sub>''n''</sub>) は
:<math>\sigma_n(x)=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}s_k(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x-t)F_n(t)dt,</math>
であり、''F''<sub>''n''</sub> は第 ''n'' 次の[[フェイェール核]]を表す。

より一般的な形式において、この定理は必ずしも連続でない函数に対しても応用されている {{harv|Zygmund|1968|loc=Theorem III.3.4}}。''f'' は [[Lp空間|''L''<sup>1</sup>(-π,π)]] に属するものと仮定する。''f''(''x'') の ''x''<sub>0</sub> における左極限および右極限 ''f''(''x''<sub>0</sub>±0) が存在するか、いずれの極限も同符号の無限大であるなら、次が成り立つ：

:<math>\sigma_n(x_0) \to \frac{1}{2}\left(f(x_0+0)+f(x_0-0)\right).</math>

チェザロ平均の存在あるいは無限大への発散も、この関係式は意味している。[[マルツェル・リース]]のある定理によると、フェイエールの定理は (C, 1) 平均 σ<sub>''n''</sub> がフーリエ級数の [[チェザロ和|(C, &alpha;) 平均]] に変えられても、同様に成立する。

== 参考文献 ==
* {{citation|title=Trigonometric series|first=Antoni|last=Zygmund|authorlink=:en:Antoni Zygmund|publisher=Cambridge University Press|year=1968|publication-date=1988|isbn=978-0-521-35885-9|edition=2nd}}.

{{DEFAULTSORT:ふえいええるのていり}}
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