フェイェールの定理

数学におけるフェイェールの定理（フェイェールのていり、テンプレート:Lang-en-short）とは、ハンガリーの数学者テンプレート:仮リンクの名にちなむ定理。f:R → C が周期 2π の連続函数であるなら、そのフーリエ級数の部分和の列 (s_n) のチェザロ平均の列 (σ_n) は、[-π,π] 上一様に f に収束する。

(s_n) を具体的に書くと、

$s_n(x)=\sum _{k=-n}^n{c}_k{e}^{ikx}$

となる。ただし

$c_k=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(t)e^{-ikt}dt,$

である。また (σ_n) は

${\sigma }_n(x)=\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}{s}_k(x)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x-t)F_n(t)dt,$

であり、F_n は第 n 次のフェイェール核を表す。

より一般的な形式において、この定理は必ずしも連続でない函数に対しても応用されている テンプレート:Harv。f は L¹(-π,π) に属するものと仮定する。f(x) の x₀ における左極限および右極限 f(x₀±0) が存在するか、いずれの極限も同符号の無限大であるなら、次が成り立つ：

${\sigma }_n(x_0)\to \frac{1}{2}(f(x_0+0)+f(x_0-0)).$

チェザロ平均の存在あるいは無限大への発散も、この関係式は意味している。マルツェル・リースのある定理によると、フェイエールの定理は (C, 1) 平均 σ_n がフーリエ級数の (C, α) 平均 に変えられても、同様に成立する。

参考文献

• テンプレート:Citation.