フェイェール核

数学におけるフェイェール核（フェイェールかく、テンプレート:Lang-en-short）は、フーリエ級数に対するチェザロ和を閉じた式で与えるのに用いられる。フェイェール核は非負積分核からなる列であり、その全体は近似単位元を生じる。名称は、ハンガリーの数学者リポート・フェイェール (1880–1959) に因む。

定義

n-番目のフェイェール核 F_n は

F_{n} (x) = \frac{1}{n} \sum_{k = 0}^{n - 1} D_{k} (x)

で定義される。ただし、

D_{k} (x) = \sum_{s = - k}^{k} e^{i s x}

は k-番目のディリクレ核である。これはまた閉じた形で

F_{n} (x) = \frac{1}{n} {(\frac{\sin \frac{n x}{2}}{\sin \frac{x}{2}})}^{2}

と（式が定義できる範囲で）書くこともできる^[1]。

フェイェール核の重要な性質は、函数としての正値性 F_n ≥ 0 および、畳み込み作用素 F_n の汎函数としての正値性、すなわち周期 2π の正値函数 f ≥ 0 に対し

0 \leq (f * F_{n}) (x) = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} f (y) F_{n} (x - y) d y

が成立すること、さらに畳み込みに対する近似単位元を与えること、すなわち

f * F_{n} \to f

が満たされることである（f は連続、または L^p([−π, π]) に属す任意の函数）。これはヤングの不等式から、0 ≤ p ≤ ∞ なるとき f ∈ L^p([−π, π]) に対して

‖ F_{n} * f ‖_{L^{p} ([- π, π])} \leq ‖ f ‖_{L^{p} ([- π, π])}

が満たされることからでる。f が連続であるときも同様の評価が得られ、実際に f が連続ならば収斂は一様である。