フェイェール核のソースを表示

[[数学]]における'''フェイェール核'''（フェイェールかく、{{lang-en-short|''Fejér kernel''}}）は、[[フーリエ級数]]に対する[[チェザロ和]]を閉じた式で与えるのに用いられる。フェイェール核は非負積分核からなる列であり、その全体は[[近似単位元]]を生じる。名称は、[[ハンガリー]]の数学者[[リポート・フェイェール]] (1880&ndash;1959) に因む。

[[Image:Fejér kernel.svg|thumb|right|いくつかのフェイェール核を描いたもの]]

== 定義 ==
''n''-番目の'''フェイェール核''' ''F''<sub>''n''</sub> は 
: <math>F_n(x) = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1}D_k(x)</math>
で定義される。ただし、
: <math>D_k(x)=\sum_{s=-k}^k e^{isx}</math> 
は ''k''-番目の[[ディリクレ核]]である。これはまた閉じた形で
:<math>F_n(x) = \frac{1}{n} \left(\frac{\sin \frac{nx}{2}}{\sin \frac{x}{2}}\right)^2</math>
と（式が定義できる範囲で）書くこともできる<ref>{{cite book |title=Banach Spaces of Analytic Functions |last=Hoffman |first=Kenneth |year=1988 |publisher=Dover |isbn=0-486-45874-1 |page=17 |pages=216}}</ref>。

== 性質 ==
フェイェール核の重要な性質は、函数としての正値性 ''F''<sub>''n''</sub> &ge; 0 および、[[畳み込み]]作用素 ''F''<sub>''n''</sub> の汎函数としての正値性、すなわち周期 2&pi; の正値函数 ''f'' &ge; 0 に対し
:<math>0 \le (f*F_n)(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(y) F_n(x-y)\,dy</math>
が成立すること、さらに畳み込みに対する近似単位元を与えること、すなわち
:<math>f*F_n \to f</math>
が満たされることである（''f'' は連続、または ''L''<sup>''p''</sup>(&#x5b;&minus;&pi;,&thinsp;&pi;&#x5d;) に属す任意の函数）。これは[[ヤングの不等式]]から、0 &le; ''p'' &le; &infin; なるとき ''f'' &isin; ''L''<sup>''p''</sup>(&#x5b;&minus;&pi;,&thinsp;&pi;&#x5d;) に対して
:<math>\|F_n*f \|_{L^p([-\pi, \pi])} \le \|f\|_{L^p([-\pi, \pi])}</math>
が満たされることからでる。''f'' が連続であるときも同様の評価が得られ、実際に ''f'' が連続ならば収斂は一様である。

== 関連項目 ==
* [[フェイェールの定理]]
* [[ディリクレ核]]
* [[ギブズ現象]]
* [[シャルル・ジャン・ド・ラ・ヴァレ＝プサン]]

== 参考文献 ==
<references/>

{{DEFAULTSORT:ふえいええるかく}}
[[Category:フーリエ級数論]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]