フェルマー数のソースを表示

{{Unsolved|数学|
# <math>n > 4</math>のとき、すべてのフェルマー数は合成数か？
# 素数（合成数）であるフェルマー数は無数個（有限個）存在するか。
}}
<!--<math>F_n=2^{\,\!2^n}+1</math> 「\,\!」の挿入は、「できる限りHTML」モード使用時の不適切なHTML化に対する抜け道。2006年8月時点では「上付の上付」などの表示が崩れる。[[m:math]]参照。 （それは mediawiki が対応するべきことで、記事のほうで force PNG rendering する理由にはならないような……）-->
'''フェルマー数'''（フェルマーすう、{{lang-en-short|Fermat number}}）とは、'''{{math|2{{sup|2{{sup|''n''}}}} + 1}}'''（{{mvar|n}} は非負[[整数]]）で表される[[自然数]]のことである。{{mvar|n}} 番目のフェルマー数はしばしば {{mvar|F{{sub|n}}}} と記される。

==概要==
その名の由来である[[ピエール・ド・フェルマー]]は、この式の {{mvar|n}} に非負整数を代入したとき常に[[素数]]を生成すると主張（予測）したが、[[1732年]]に[[レオンハルト・オイラー]]が {{math|''n'' {{=}} 5}} の場合に素数でないことを示し、フェルマーの主張は誤りと確認された<ref>{{cite book|和書 |author=ポール・J・ナーイン, 小山信也 |title=オイラー博士の素敵な数式 |publisher=日本評論社 |year=2008 |page=43 |ISBN=9784535784772 |id={{国立国会図書館書誌ID|000009277698}}}}、<br >{{cite book|和書|year=2020 |title=オイラー博士の素敵な数式 |edition=2020年 |ISBN=9784480510204}}</ref>。素数であるフェルマー数は'''フェルマー素数'''と呼ばれる。

実際にフェルマー数の値の最初の方をいくつか計算してみると、
:{{math|''F''{{sub|0}} {{=}} 2{{sup|1}} + 1 {{=}} [[3]]}}
:{{math|''F''{{sub|1}} {{=}} 2{{sup|2}} + 1 {{=}} [[5]]}}
:{{math|''F''{{sub|2}} {{=}} 2{{sup|4}} + 1 {{=}} [[17]]}}
:{{math|''F''{{sub|3}} {{=}} 2{{sup|8}} + 1 {{=}} [[257]]}}
:{{math|''F''{{sub|4}} {{=}} 2{{sup|16}} + 1 {{=}} [[65537]]}}
:{{math|''F''{{sub|5}} {{=}} 2{{sup|32}} + 1 {{=}} [[4294967297]]}}
:{{math|''F''{{sub|6}} {{=}} 2{{sup|64}} + 1 {{=}} [[18446744073709551617]]}}
:{{math2|''F''{{sub|7}} {{=}} 2{{sup|128}} + 1 {{=}} 340282366920938463463374607431768211457}}
:{{math2|''F''{{sub|8}} {{=}} 2{{sup|256}} + 1 {{=}} 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937}}
が得られる。

{{math|''F''{{sub|4}} {{=}} 65537}} までは、{{math|257}} 未満の既知である全ての素数で割りきれないことを確かめることで、容易に素数であることを確認できる。

しかし {{math|''F''{{sub|5}}}} 以降は（[[17世紀]]当時の計算技術から見ると）相当に巨大な数であると同時に小さな[[素因数]]を含んでいないことが、フェルマーを幻惑し反証の発見にはオイラーを待つこととなった要因の一つである。

== 性質 ==
=== 基本的性質 ===
フェルマー数は次の[[漸化式]]を満たす：
:{{math|''F{{sub|n}}'' {{=}} (''F''{{sub|''n''&minus;1}} &minus; 1){{sup|2}} + 1}}
:{{math|''F{{sub|n}}'' {{=}} ''F''{{sub|''n''&minus;1}} + 2{{sup|2{{sup|''n''&minus;1}}}}''F''{{sub|0}} ⋯ ''F''{{sub|''n''&minus;2}}}}
:{{math|''F{{sub|n}}'' {{=}} ''F''{{sub|''n''&minus;1}}{{sup|2}} &minus; 2(''F''{{sub|''n''&minus;2}} &minus; 1){{sup|2}}}}
:{{math|''F{{sub|n}}'' {{=}} ''F''{{sub|0}} ⋯ ''F''{{sub|''n''&minus;1}} + 2}}

フェルマー数は全て[[奇数]]であるから、4番目の式から、どの2つのフェルマー数も[[互いに素 (整数論)|互いに素]]であると分かる。

フェルマー数は、例えば次の[[整数の合同|合同式]]を満たす。
*{{math|''n'' ≥ 2}} ならば、{{math|''F{{sub|n}}'' ≡ 17 or 41 (mod 72)}}
*{{math|''n'' ≥ 2}} ならば、{{math|''F{{sub|n}}'' ≡ 17, 37, 57 or 97 (mod 100)}}

{{math|2{{sup|''m''}} + 1 (''m'' ≥ 2)}} の形の素数はフェルマー数である。一般に、{{math|''a{{sup|m}}'' + 1 (''a'' ≥ 2)}} が素数ならば、{{mvar|a}} は偶数で {{mvar|m}} は {{math|2}} の累乗となる。実際、{{math|''a{{sup|m}}'' + 1}} は奇数だから {{math|''a{{sup|m}}''}} すなわち {{mvar|a}} は偶数である。また、{{mvar|m}} が {{math|1}} より大きい奇数 {{mvar|k}} で割れるならば {{math|''a{{sup|m/k}}'' + 1}} で割れる。

このことから、{{math|2{{sup|''m''}} + 1 (''m'' ≥ 2)}} が素数ならば、{{math|''m'' {{=}} 2{{sup|''n''}}}} を満たす自然数 {{mvar|n}} が存在する。つまり {{math|2{{sup|''m''}} + 1 {{=}} ''F{{sub|n}}''}} である。

=== フェルマー数の素因数 ===
フェルマー数 {{mvar|F{{sub|n}}}} ({{math|''n'' &ge; 2}}) の素因数は {{math|''k'' · 2{{sup|''n'' + 2}} + 1}} ({{math|''k'' ≥ 3}}) の形をしている（[[エドゥアール・リュカ]]により証明）。フェルマー数はどの2つも互いに素なので、任意の {{mvar|n}} に対して {{math|''k'' · 2{{sup|''n''}} + 1}} ({{math|''k'' {{=}} 1, 2, …)}} の形の素数が無数に存在することが導かれる。また実際に {{math|3 · 2{{sup|''n''+2}} + 1}} が {{mvar|F{{sub|n}}}} を割り切る例が存在する。

フェルマー数 {{mvar|F{{sub|n}}}} の最大素因数を {{math|''P''(''F{{sub|n}}'')}} とすると
:{{math|''P''(''F{{sub|n}}'') ≥ 2{{sup|''n''+2}}(4''n'' + 9) + 1}}
が成り立つ{{sfn|Grytczuk, Wójtowicz, Florian|2001}}。

全てのフェルマー数の素因数全体の集合を {{mvar|S}} とする。Golomb (1955) は {{mvar|S}} の元の逆数和が収束するか否かという問題を提出したが、{{harv|Křížek, Michal, Florian|2002}} は {{mvar|S}} の元で {{mvar|x}} より小さいものの個数は
:{{math|''O''(''x''{{sup|1/2}}log ''x'')}}
となることを示し、この問題を肯定的に解決した。

=== その他の性質 ===
{{math|2{{sup|2{{sup|''m''}}}} ≡ &minus;1 (mod {{mvar|F{{sub|m}}}})}} より、{{math|2}} の {{mvar|F{{sub|m}}}} を法とする[[位数]]は {{math|2{{sup|''m''+1}}}} で、これは {{math|''F{{sub|m}}'' &minus; 1}} の約数である。すなわち、フェルマー数は {{math|2}} を底とする[[擬素数]]である。また、フェルマー数の積
:{{math|''F{{sub|m}}F{{sub|n}}''⋯''F{{sub|s}}'' (2{{sup|''s''}} > ''m'' > ''n'' > ⋯ > ''s'')}} 
も擬素数である (Cipolla, 1904)。

フェルマー数は[[累乗数]]にはならず、また、[[完全数]]または[[友愛数]]にはならず (Luca, 2000a)、[[二項係数]] {{math|{{sub|''n''}}C{{sub|''k''}}}} ({{math|''n'' ≥ 2''k'' ≥ 2)}} の値にもならない{{harv|Florian Luca(2001)}}。

Golomb (1963) は、フェルマー数の逆数和は[[無理数]]であることを示した。なお、[[ポール・エルデシュ]]と Straus はさらに一般的な結果を得ている。

フェルマー数はまた、正多角形の[[定規とコンパスによる作図]]の問題とも関係がある。[[カール・フリードリヒ・ガウス|ガウス]]は、正 {{mvar|n}} 角形が作図可能になる必要十分条件を求めたが、それは「{{mvar|n}} が [[2の冪|{{math|2}} の冪]]であるか、異なるフェルマー素数の積と {{math|2}} の冪の積であるとき」というものである。

フェルマー数の性質については、{{harv|Křížek, Michal, Florian|2002}} が詳しい。

== フェルマー素数 ==
[[素数]]であるフェルマー数を'''フェルマー素数'''という。具体的には、既知の範囲において次の5つがある：
:[[3|{{math|3}}]], [[5|{{math|5}}]], [[17|{{math|17}}]], [[257|{{math|257}}]], [[65537|{{math|65537}}]] ({{OEIS|A019434}})

{{math|''F''{{sub|4}}}} までは素数なので、フェルマーは、全てのフェルマー数はフェルマー素数であると予想したが、1732年に[[レオンハルト・オイラー]]が5番目のフェルマー数は次のように分解できることを示し、[[反例]]が与えられた。
:{{math|''F''{{sub|5}} {{=}} 2{{sup|2{{sup|5}}}} + 1 {{=}} 4294967297 {{=}} 641 × 6700417}}
オイラーは、フェルマー数 {{mvar|F{{sub|n}}}} の因数は {{math|''k''·2{{sup|''n''+1}} + 1}} の形となることを証明した。これにより {{math|''n'' {{=}} 5}} の場合には、{{math|''F''{{sub|5}}}} の因数は {{math|64''k'' + 1}} の形をとる。このことを利用して、オイラーは因数 {{math|641 {{=}} 10 × 64 + 1}} を見つけたのである。その後、上記「フェルマー数の素因数」の記述の通り、[[エドゥアール・リュカ]]により {{math|''k''·2{{sup|''n''+2}} + 1}} の形のものに限られることが示された。

また、[[定規とコンパスによる作図]]問題の1つである、'''[[正多角形]]は（定規とコンパスのみで）作図できるか'''という問題において、正 {{mvar|n}} 角形が作図可能であるのは、{{mvar|n}} を[[素因数分解]]したときに奇数因子が全てフェルマー素数であり、なおかつそれらが相異なる場合のみであることが[[カール・フリードリヒ・ガウス|ガウス]]により証明されている。

現在 {{math|''F''{{sub|5}}}} 以降のフェルマー数で素数であるものが存在するかどうかは知られていない。また、フェルマー素数やフェルマー合成数が無限にあるかどうかも知られていない。フェルマー数の[[素因数#最大素因数|最大素因数]]については{{OEIS2C|A070592}}を、[[素因数#最小素因数|最小素因数]]については{{OEIS2C|A093179}}を参照。

フェルマー数の素数性、素因数分解に関する情報は外部リンクに挙げたサイトが詳しい。

=== 素数判定法 ===
==== ペパン・テスト ====
ペパン・テストはフランスの数学者テオフィル・ペパン([[:en:Théophile_Pépin]])によって名付けられたフェルマー数に対する素数判定法である。

{{math|''F{{sub|n}}'' {{=}} ''2''{{sup|''2''{{sup|n}}}}}} + 1 {{math|(''n'' ≥ 1)}} で {{math|{''F{{sub|n}}''}}}を定義すると、
* <math>F_n \not \mid 3^{(F_n-1)/2} + 1</math> ならば、{{mvar|F{{sub|n}}}} は合成数である
* <math>F_n \mid 3^{(F_n-1)/2} + 1</math> ならば、{{mvar|F{{sub|n}}}} は素数である

基数は3以外の数値として以下を取ることを可能とする。

:{{math2|[[5|{{math|5}}]], [[6|{{math|6}}]], [[7|{{math|7}}]], [[10|{{math|10}}]], 12, 14, 20, 24, 27, 28, …}}（{{OEIS|id=A129802}}）

なお、ぺパンテストを一般化した定理として{{仮リンク|プロスの定理|en|Proth%27s_theorem}}がある。

== その他の未解決問題 ==
フェルマー数は平方因子を持たないと予想されているが、未だに解決されていない<ref>Guy, Unsolved Problems in Number Theory, p.16. 金光滋による訳本でも p.16.</ref>。

{{math|''m'' {{=}} 20, 24}} に対して {{mvar|F{{sub|m}}}} は合成数であることが知られているが、その素因数は1つも知られていない。{{mvar|k}} を1つ決めた時に {{math|''k''·2{{sup|''m''+2}} + 1}} が {{mvar|F{{sub|m}}}} を割り切る現象が無数に起こるかどうかも知られていない。

== 表記 ==
フェルマー数を表すにはいくつか等価な表記がある。
:{|class="wikitable"
! 名称
! 表記
|-
| [[クヌースの矢印表記]]
| <math>2 \uparrow 2 \uparrow n + 1,~ \left(2 \uparrow\right)^2 n + 1</math><!--
|-
| バウアーズの配列表記
| <math>\lbrace a,b,3 \rbrace</math>
|-
| ハイパーE表記<ref>[https://sites.google.com/site/largenumbers/ One to Infinity: A Guide to the Finite]</ref>
| <math>E(a)1\#1\#n</math>-->
|}

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* {{Cite journal |author1=Erdös, P |author2=Straus, EG |url=https://users.renyi.hu/~p_erdos/1957-07.pdf |format=PDF |title=On the irrationality of certain Ahmes series |journal=J. Indian Math. Soc |year=1963 |volume=27 |pages=129-133 |publisher=Citeseer |ref=harv}}
* {{Cite journal |author=Golomb, Solomon W. |year=1963 |url=https://doi.org/10.4153/CJM-1963-051-0 |title=On the Sum of the Reciprocals of the Fermat Numbers and Related Irrationalities |journal=Canadian Journal of Mathematics |volume=15 |pages=475-478 |doi=10.4153/CJM-1963-051-0 |ref=harv}}
* {{Cite journal |author=Grytczuk, A; Wójtowicz, M; Luca, Florian |year=2001 |url=https://doi.org/10.1007/s10012-001-0111-4 |title=Another note on the greatest prime factors of Fermat issues |journal=Southeast Asian Bulletin of Mathematics |volume=25 |pages=111-115 |publisher=Springer |doi=10.1007/s10012-001-0111-4 |ref={{harvid|Grytczuk, Wójtowicz, Florian|2001}}}} {{要購読}}
* {{Cite journal |author=Luca, Florian |year=2000 |url=https://doi.org/10.1080/00029890.2000.12005177 |title=The anti-social Fermat issue |journal=The American Mathematical Monthly |volume=107 |issue=2 |pages=171-173 |publisher=Taylor & Francis |doi=10.1080/00029890.2000.12005177 |ref={{harvid|Florian Luca(2000)}}}}
* {{Cite journal |author=Luca, Florian |year=2001 |url=https://www.emis.de/journals/DM/v92/art8.pdf |format=PDF |title=Fermat issues in the Pascal triangle. |journal=Divulgaciones Matemáticas |volume=9 |issue=2 |pages=189-194 |publisher=La Universidad del Zulia |ref={{harvid|Florian Luca(2001)}}}}
*Michal Krizek, Florian Luca and Lawrence Somer(2001), ''17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry'', Springer, CMS Books 9, ISBN 0387953329.
* {{Cite journal |author=Křížek, Michal; Luca, Florian; Somer, Lawrence |year=2002 |url=https://doi.org/10.1006/jnth.2002.2782 |title=On the convergence of series of reciprocals of primes related to the Fermat issues |journal=Journal of Number Theory |volume=97 |issue=1 |pages=95-112 |publisher=Elsevier |doi=10.1006/jnth.2002.2782 |ref={{harvid|Křížek, Michal, Florian|2002}}}}
*W. Sierpiński, "[https://www.e-periodica.ch/cntmng?pid=ens-001:1958:4::78 Sue les nombres premiers de la forme {{math|''n''{{sup|''n''}} + 1}}]", ''L'Enseign. Math.'' (2) 4(1958), 211--212.
*Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory, 3rd edition, Springer-Verlag, 2004.

== 関連項目 ==
{{ウィキプロジェクトリンク|数学|[[画像:Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg|34px|Project:数学]]}}
{{ウィキポータルリンク|数学|[[画像:Nuvola apps edu mathematics-p.svg|34px|Portal:数学]]}}
*[[素数]]
*[[メルセンヌ数]]
*[[ピアポント素数]]

== 外部リンク ==
*{{高校数学の美しい物語|730|フェルマー数とその性質}}
*[http://www.prothsearch.com/fermat.html Fermat factoring status]

{{素数の分類}}
{{Normdaten}}

{{DEFAULTSORT:ふえるまあすう}}
[[Category:数論]]
[[Category:整数の類]]
[[Category:ピエール・ド・フェルマー]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]