フェルマー数

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テンプレート:Unsolved フェルマー数（フェルマーすう、テンプレート:Lang-en-short）とは、テンプレート:Math（テンプレート:Mvar は非負整数）で表される自然数のことである。テンプレート:Mvar 番目のフェルマー数はしばしば テンプレート:Mvar と記される。

概要

その名の由来であるピエール・ド・フェルマーは、この式の テンプレート:Mvar に非負整数を代入したとき常に素数を生成すると主張（予測）したが、1732年にレオンハルト・オイラーが テンプレート:Math の場合に素数でないことを示し、フェルマーの主張は誤りと確認された[1]。素数であるフェルマー数はフェルマー素数と呼ばれる。

実際にフェルマー数の値の最初の方をいくつか計算してみると、

テンプレート:Math
テンプレート:Math
テンプレート:Math
テンプレート:Math
テンプレート:Math
テンプレート:Math
テンプレート:Math
テンプレート:Math2
テンプレート:Math2

が得られる。

テンプレート:Math までは、テンプレート:Math 未満の既知である全ての素数で割りきれないことを確かめることで、容易に素数であることを確認できる。

しかし テンプレート:Math 以降は（17世紀当時の計算技術から見ると）相当に巨大な数であると同時に小さな素因数を含んでいないことが、フェルマーを幻惑し反証の発見にはオイラーを待つこととなった要因の一つである。

性質

基本的性質

フェルマー数は次の漸化式を満たす：

テンプレート:Math
テンプレート:Math
テンプレート:Math
テンプレート:Math

フェルマー数は全て奇数であるから、4番目の式から、どの2つのフェルマー数も互いに素であると分かる。

フェルマー数は、例えば次の合同式を満たす。

テンプレート:Math の形の素数はフェルマー数である。一般に、テンプレート:Math が素数ならば、テンプレート:Mvar は偶数で テンプレート:Mvar は テンプレート:Math の累乗となる。実際、テンプレート:Math は奇数だから テンプレート:Math すなわち テンプレート:Mvar は偶数である。また、テンプレート:Mvar が テンプレート:Math より大きい奇数 テンプレート:Mvar で割れるならば テンプレート:Math で割れる。

このことから、テンプレート:Math が素数ならば、テンプレート:Math を満たす自然数 テンプレート:Mvar が存在する。つまり テンプレート:Math である。

フェルマー数の素因数

フェルマー数 テンプレート:Mvar (テンプレート:Math) の素因数は テンプレート:Math (テンプレート:Math) の形をしている（エドゥアール・リュカにより証明）。フェルマー数はどの2つも互いに素なので、任意の テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math (テンプレート:Math の形の素数が無数に存在することが導かれる。また実際に テンプレート:Math が テンプレート:Mvar を割り切る例が存在する。

フェルマー数 テンプレート:Mvar の最大素因数を テンプレート:Math とすると

テンプレート:Math

が成り立つテンプレート:Sfn。

全てのフェルマー数の素因数全体の集合を テンプレート:Mvar とする。Golomb (1955) は テンプレート:Mvar の元の逆数和が収束するか否かという問題を提出したが、テンプレート:Harv は テンプレート:Mvar の元で テンプレート:Mvar より小さいものの個数は

テンプレート:Math

となることを示し、この問題を肯定的に解決した。

その他の性質

テンプレート:Math より、テンプレート:Math の テンプレート:Mvar を法とする位数は テンプレート:Math で、これは テンプレート:Math の約数である。すなわち、フェルマー数は テンプレート:Math を底とする擬素数である。また、フェルマー数の積

テンプレート:Math

も擬素数である (Cipolla, 1904)。

フェルマー数は累乗数にはならず、また、完全数または友愛数にはならず (Luca, 2000a)、二項係数 テンプレート:Math (テンプレート:Math の値にもならないテンプレート:Harv。

Golomb (1963) は、フェルマー数の逆数和は無理数であることを示した。なお、ポール・エルデシュと Straus はさらに一般的な結果を得ている。

フェルマー数はまた、正多角形の定規とコンパスによる作図の問題とも関係がある。ガウスは、正 テンプレート:Mvar 角形が作図可能になる必要十分条件を求めたが、それは「テンプレート:Mvar が [[2の冪|テンプレート:Math の冪]]であるか、異なるフェルマー素数の積と テンプレート:Math の冪の積であるとき」というものである。

フェルマー数の性質については、テンプレート:Harv が詳しい。

フェルマー素数

素数であるフェルマー数をフェルマー素数という。具体的には、既知の範囲において次の5つがある：

[[3|テンプレート:Math]], [[5|テンプレート:Math]], [[17|テンプレート:Math]], [[257|テンプレート:Math]], [[65537|テンプレート:Math]] (テンプレート:OEIS)

テンプレート:Math までは素数なので、フェルマーは、全てのフェルマー数はフェルマー素数であると予想したが、1732年にレオンハルト・オイラーが5番目のフェルマー数は次のように分解できることを示し、反例が与えられた。

テンプレート:Math

オイラーは、フェルマー数 テンプレート:Mvar の因数は テンプレート:Math の形となることを証明した。これにより テンプレート:Math の場合には、テンプレート:Math の因数は テンプレート:Math の形をとる。このことを利用して、オイラーは因数 テンプレート:Math を見つけたのである。その後、上記「フェルマー数の素因数」の記述の通り、エドゥアール・リュカにより テンプレート:Math の形のものに限られることが示された。

また、定規とコンパスによる作図問題の1つである、正多角形は（定規とコンパスのみで）作図できるかという問題において、正 テンプレート:Mvar 角形が作図可能であるのは、テンプレート:Mvar を素因数分解したときに奇数因子が全てフェルマー素数であり、なおかつそれらが相異なる場合のみであることがガウスにより証明されている。

現在 テンプレート:Math 以降のフェルマー数で素数であるものが存在するかどうかは知られていない。また、フェルマー素数やフェルマー合成数が無限にあるかどうかも知られていない。フェルマー数の最大素因数についてはテンプレート:OEIS2Cを、最小素因数についてはテンプレート:OEIS2Cを参照。

フェルマー数の素数性、素因数分解に関する情報は外部リンクに挙げたサイトが詳しい。

素数判定法

ペパン・テスト

ペパン・テストはフランスの数学者テオフィル・ペパン(en:Théophile_Pépin)によって名付けられたフェルマー数に対する素数判定法である。

テンプレート:Math + 1 テンプレート:Math で テンプレート:Math}を定義すると、

基数は3以外の数値として以下を取ることを可能とする。

テンプレート:Math2（テンプレート:OEIS）

なお、ぺパンテストを一般化した定理としてテンプレート:仮リンクがある。

その他の未解決問題

フェルマー数は平方因子を持たないと予想されているが、未だに解決されていない[2]。

テンプレート:Math に対して テンプレート:Mvar は合成数であることが知られているが、その素因数は1つも知られていない。テンプレート:Mvar を1つ決めた時に テンプレート:Math が テンプレート:Mvar を割り切る現象が無数に起こるかどうかも知られていない。

表記

フェルマー数を表すにはいくつか等価な表記がある。

名称 表記
クヌースの矢印表記 2↑2↑n+1,(2↑)2n+1

脚注

テンプレート:脚注ヘルプ テンプレート:Reflist

参考文献

関連項目

テンプレート:ウィキプロジェクトリンク テンプレート:ウィキポータルリンク

外部リンク

テンプレート:素数の分類 テンプレート:Normdaten

  1. ↑ テンプレート:Cite book、
    テンプレート:Cite book
  2. ↑ Guy, Unsolved Problems in Number Theory, p.16. 金光滋による訳本でも p.16.
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