フルヴィッツの定理 (数論)のソースを表示

{{otheruses|数論におけるフルヴィッツの定理|その他|フルヴィッツの定理 (曖昧さ回避)}}
[[数論]]において，'''フルヴィッツの定理'''（{{lang-en-short|Hurwitz's theorem}}）とは，[[アドルフ・フルヴィッツ]] (Adolf Hurwitz) の名に因んだ定理で，[[ディオファントス近似]]の上界を与える．定理の主張は以下である．任意の[[無理数]] {{mvar|&xi;}} に対し，[[互いに素な整数]] {{mvar|m}}, {{mvar|n}} であって
:<math>\left |\xi-\frac{m}{n}\right |<\frac{1}{\sqrt{5}\, n^2}</math>
となるものが無限個存在する．{{mvar|&xi;}} が無理数であるという仮定を外すことは出来ない．さらに，定数 {{math|{{sqrt|5}}}} は最良のものである．もし {{math|{{sqrt|5}}}} を別の任意の数 {{math|''A'' > {{sqrt|5}}}} に置き換え，<math>\xi=(1+\sqrt{5})/2</math>（[[黄金比]]）とおくと，上の不等式が成り立つような互いに素な整数 {{mvar|m}}, {{mvar|n}} は''有限個''しか存在しない．

この定理は任意の無理数の[[:en:Markov_constant|マルコフ定数]]が{{math|{{sqrt|5}}}}より大きいことを意味している。

== 参考文献 ==
* {{cite journal
 |first=A. |last= Hurwitz |authorlink=Adolf Hurwitz
 |title=Ueber die angenäherte Darstellung der Irrationalzahlen durch rationale Brüche (On the approximate representation of irrational numbers by rational fractions)
 |language=German
 |journal=[[Mathematische Annalen]]
 |volume=[http://gdz.sub.uni-goettingen.de/en/dms/loader/toc/?PID=PPN235181684_0039   39]
|issue=2 |pages=279&ndash;284
 |year=1891
 |doi=10.1007/BF01206656
 |jfm=23.0222.02
}}(note: a PDF version of the paper is available from the given weblink for the volume 39 of the journal, provided by [[GDZ|Göttinger Digitalisierungszentrum]])
* {{cite book
 |author=[[G. H. Hardy]], Edward M. Wright, Roger Heath-Brown, Joseph Silverman, [[Andrew Wiles]]
 |title=An introduction to the Theory of Numbers
 |edition=6th
 |publisher=Oxford science publications
 |year=2008
 |isbn=0-19-921986-9
 |chapter=Theorem 193
 |page=209
}}
* {{Cite journal | last1=LeVeque | first1=William Judson |authorlink=William J. LeVeque| title=Topics in number theory | publisher=Addison-Wesley Publishing Co., Inc., Reading, Mass. | mr=0080682 | year=1956 | postscript=<!--None-->}}
* {{cite book
 |author=[[Ivan Niven]]
 |title=Diophantine Approximations
 |publisher=Courier Corporation
 |year=2013
 |isbn=0486462676
}}

{{DEFAULTSORT:ふるういつつのていり すうろん}}
[[Category:ディオファントス近似]]
[[Category:数論の定理]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]