フレヴィッツの定理のソースを表示

{{要改訳}}
数学において、'''フレヴィッチの定理'''（{{lang-en-short|Hurewicz theorem}}）は、[[代数的位相幾何学]]の基本的結果であり、フレヴィッチ準同型と呼ばれる写像を通して、[[ホモトピー論]]と[[ホモロジー論]]を結びつけるものである。定理の名前は、{{仮リンク|ヴィトルド・フレヴィッチ|en|Witold Hurewicz}} (Witold Hurewicz) に因んでいて、[[アンリ・ポアンカレ]] (Henri Poincaré) による以前の結果を一般化した定理である。

== 定理の主張 ==
フレヴィッチの定理は、[[ホモトピー群]]と[[ホモロジー群]]を結びつける重要な定理である。

===絶対的なバージョン===
任意の位相空間 ''X'' と正の整数 ''k'' に対し、''k'' 次[[ホモトピー群]]から ''k'' 次（整数係数）[[ホモロジー群]]への、'''フレヴィッチ準同型''' (Hurewicz homomorphism) と呼ばれる[[群準同型]]

:<math>h_{\ast}\colon \pi_k(X) \to H_k(X) \,\!</math>

が存在する。''k''&nbsp;= 1 と[[弧状連結]]な ''X'' に対して、フレヴィッツの定理は、標準的な[[交換子部分群|アーベル化写像]]

:<math>h_{\ast}\colon\, \pi_1(X) \to \pi_1(X)/[ \pi_1(X), \pi_1(X)] \,\!</math>

と同値となる。

フレヴィッツの定理は、''X'' が {{仮リンク|N-連結|label=(''n''&nbsp;&minus;&nbsp;1)-連結|en|N-connected}}であれば、フレヴィッツ準同型写像は ''n''&nbsp;&ge;&nbsp;2 のときすべての ''k''&nbsp;≤&nbsp;''n'' に対し同型となり、''n'' = 1 のときアーベル化となる、というものである。特に、フレヴィッツの定理は、第一ホモトピー群（[[基本群]]）のアーベル化が第一ホモロジー群

:<math> H_1(X) \cong  \pi_1(X)/[ \pi_1(X), \pi_1(X)] \,\!</math>

に同型であることを言っている。従って、''X'' が[[連結空間|弧状連結]]で、{{π}}<sub>1</sub>(''X'') が{{仮リンク|完全群|label=完全|en|perfect group}}であれば、第一ホモロジー群が 0 となる。

さらに、''n'' &ge; 2 に対し、''X'' が (''n''&nbsp;&minus;&nbsp;1)-連結のときはいつも、フレヴィッツ準同型写像は <math>\pi_{n+1}(X)</math> から <math>H_{n+1}(X)</math> への[[全射]]である。

群の準同型は、標準的な生成子 <math>u_n \in H_n(S^n)</math> を選び、写像 <math>f \in \pi_n(X)</math> のホモトピー類を <math>f_*(u_n) \in H_n(X)</math> に写すことにより得られる。

===相対的なバージョン===
位相空間対 (''X'', ''A'') と整数 ''k''&nbsp;&gt;&nbsp;1 に対し、相対ホモトピー群から相対ホモロジー群への準同型

:<math>h_{\ast}\colon \pi_k(X,A) \to H_k(X,A) \,\!</math>

が存在する。相対フレヴィッツの定理は、''X'' と ''A'' が連結であり、対 (''X'', ''A'') が (''n'' − 1)-連結であれば、''k''&nbsp;&lt;&nbsp;''n'' に対し、''H''<sub>''k''</sub>(''X'',''A'')&nbsp;= 0 であり、''H''<sub>''n''</sub>(''X'', ''A'') は {{π}}<sub>''n''</sub>(''X'', ''A'') から {{π}}<sub>1</sub>(''A'') への作用で割ることで得られるという定理である。このことは、{{Harvtxt|Whitehead|1978}} では帰納法により証明され、絶対バージョンとホモトピー加法補題と証明された。

この相対的フレヴィッツの定理は、{{Harvtxt|Brown|Higgins|1981}}において、射
:<math>\pi_n(X,A) \to \pi_n(X \cup CA) \,\!. </math><ref>ここにある、<math>CA</math> は、<math>A</math> の約錐(reduced cone) : <math>CA=A\wedge I\ \ (I=[0,1])</math>  を表す。ちなみに、<math>A</math> の約懸垂(reduced suspension)は <math>SA=A\wedge S^1</math> で表す。</ref>
に関するステートメントとして再定式化された。

このステートメントは、{{仮リンク|ホモトピー切除定理|en|homotopical excision theorem}}(homotopical excision theorem)の特別な場合であり、''n'' > ''2'' に対し誘導加群（ ''n = 2'' に対しては、接合加群(crossed module)）を意味し、相対ホモトピー群の高次ホモトピーの{{仮リンク|ファン・カンペンの定理|en|van Kampen theorem}}(van Kampen theorem)から導かれる。証明は 3次のホモトピー亜群のテクニックの発展を必要とした。
<!--===Relative version===
For any pair of spaces (''X'',''A'')  and integer ''k''&nbsp;&gt;&nbsp;1 there exists a homomorphism

:<math>h_{\ast}\colon \pi_k(X,A) \to H_k(X,A) \,\!</math>

from relative homotopy groups to relative homology groups. The Relative Hurewicz Theorem states that if each of ''X'', ''A'' are connected and the pair (''X'',''A'') is (''n''−1)-connected then ''H''<sub>''k''</sub>(''X'',''A'')&nbsp;= 0 for ''k''&nbsp;&lt;&nbsp;''n'' and ''H''<sub>''n''</sub>(''X'',''A'') is obtained from π<sub>''n''</sub>(''X'',''A'') by factoring out the action of π<sub>1</sub>(''A''). This is proved in, for example, {{Harvtxt|Whitehead|1978}} by induction, proving in turn the absolute version and the Homotopy Addition Lemma.

This relative Hurewicz theorem is reformulated by {{Harvtxt|Brown|Higgins|1981}} as a statement about the morphism  
:<math>\pi_n(X,A) \to \pi_n(X \cup CA) \,\!. </math>

This statement is a special case of a [[homotopical excision theorem]], involving induced modules for n>2 (crossed modules if n=2),  which itself is deduced from a higher homotopy [[van Kampen theorem]] for relative homotopy groups, whose proof requires development of techniques of a cubical higher homotopy groupoid of a filtered space.-->
<!--
===三つ組バージョン===
位相空間の三つ組 (''X'';''A'',''B'')  (つまり、位相空間 ''X'' と位相部分空間 ''A'' と ''B'') と整数 ''k''&nbsp;&gt;&nbsp;2 に対し、三つ組のホモトピー群から三つ組ホモロジー群への同相写像

:<math>h_{\ast}\colon \pi_k(X;A,B) \to H_k(X;A,B) \,\!</math>

が存在する。''H''<sub>''k''</sub>(''X'';''A'',''B'')&nbsp;&cong;&nbsp;''H''<sub>''k''</sub>(''X''&cup;(''C''(''A''&cup;''B'')) に注意する。三つ組のフレヴィッツの定理は、''X'', ''A'', ''B'', と ''C''&nbsp;= ''A''&cap;''B'' が連結であれば、ペア (''A'',''C''), (''B'',''C'') もそれぞれ (''p''−1)-, (''q''−1)-連結であり、三つ組 (''X'';''A'',''B'') が ''p''+''q''−2 連結であれば、''k''&nbsp;&lt;&nbsp;''p''+''q''−2 に対して ''H''<sub>''k''</sub>(''X'';''A'',''B'')&nbsp;= 0 であり、''H''<sub>''p''+''q''−1</sub>(''X'';''A'') は、 π<sub>''p''+''q''−1</sub>(''X'';''A'',''B'') から、π<sub>1</sub>(''A''&cap;''B'') と一般化されたホワイトヘッド積をの作用で割ることで得られる。この定理の両名は、三つ組のホモトピー群に対する高次のホモトピーのファン・カンペンの定理を使う。この場合には、空間の n-立方体の基本 cat<sup>''n''</sup>-群の考え方が必要である。-->
<!--===Triadic version===
For any triad of spaces (''X'';''A'',''B'')  (i.e. space ''X'' and subspaces ''A'',''B'') and integer ''k''&nbsp;&gt;&nbsp;2 there exists a homomorphism

:<math>h_{\ast}\colon \pi_k(X;A,B) \to H_k(X;A,B) \,\!</math>

from triad homotopy groups to triad homology groups. Note that ''H''<sub>''k''</sub>(''X'';''A'',''B'')&nbsp;&cong;&nbsp;''H''<sub>''k''</sub>(''X''&cup;(''C''(''A''&cup;''B'')). The Triadic Hurewicz Theorem states that if ''X'', ''A'', ''B'', and ''C''&nbsp;= ''A''&cap;''B'' are connected, the pairs (''A'',''C''), (''B'',''C'') are respectively (''p''−1)-, (''q''−1)-connected, and the triad (''X'';''A'',''B'') is ''p''+''q''−2 connected, then ''H''<sub>''k''</sub>(''X'';''A'',''B'')&nbsp;= 0 for ''k''&nbsp;&lt;&nbsp;''p''+''q''−2 and ''H''<sub>''p''+''q''−1</sub>(''X'';''A'') is obtained from π<sub>''p''+''q''−1</sub>(''X'';''A'',''B'') by factoring out the action of π<sub>1</sub>(''A''&cap;''B'') and the generalised Whitehead products. The proof of this theorem uses a higher homotopy van Kampen type theorem for triadic homotopy groups, which requires a notion of the fundamental cat<sup>''n''</sup>-group of an ''n''-cube of spaces.-->

===単体の集合のバージョン===
位相空間についてのフレヴィッツの定理は、''n''-連結なカンの条件を満す{{仮リンク|単体的集合|en|simplicial set}}(simplicial set)についての成立するとする定理である<ref name="#1">{{Citation | last1=Goerss | first1=P. G. | last2=Jardine | first2=J. F. | title=Simplicial Homotopy Theory | publisher=Birkhäuser | location=Basel, Boston, Berlin | series=Progress in Mathematics | isbn=978-3-7643-6064-1 | year=1999 | volume=174}}, III.3.6, 3.7</ref>。

===有理フレヴィッツ定理===

'''有理フレヴィッツ定理'''(Rational Hurewicz theorem)<ref name="#2">{{Citation | last1=Klaus | first1=S. | last2=Kreck | first2=M. | title=A quick proof of the rational Hurewicz theorem and a computation of the rational homotopy groups of spheres | journal= Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society | year=2004 | volume=136 | pages=617–623 | doi=10.1017/s0305004103007114}}</ref><ref name="#3">{{Citation | last1=Cartan | first1=H. | last2=Serre | first2=J. P. | title= Espaces fibres et groupes d'homotopie, II, Applications | journal= C. R. Acad. Sci. Paris | year=1952 | volume=2 | number=34 |pages=393–395}}</ref>： <math>i\leq r</math> に対し <math>\pi_i(X)\otimes \mathbb{Q} = 0</math> であるような ''X'' を単連結な位相空間とすると、 フレヴィッツ写像

:<math>h\otimes \mathbb{Q} : \pi_i(X)\otimes \mathbb{Q} \longrightarrow H_i(X;\mathbb{Q})</math>

は、<math>1\leq i \leq 2r</math> に対して同型を、<math>i = 2r+1</math> に対しては全射を引き起す。
== 脚注 ==
<references />

==参考文献==
* {{citation
 |last= Brown
 |first= R.
 |title= Triadic Van Kampen theorems and Hurewicz theorems
 |journal= Contemporary Mathematics
 |year= 1989
 |volume= 96
 |pages=39–57
 |issn= 0040-9383
 |doi=10.1090/conm/096/1022673
 }}
<!--* R. Brown, ''Triadic Van Kampen theorems and Hurewicz theorems'', Algebraic Topology, Proc. Int. Conf. March 1988, Edited M.Mahowald and S.Priddy,  Cont. Math. 96 (1989) 39-57.-->
* {{citation
 |last1= Brown
 |first1= Ronald
 |last2= Higgins
 |first2= P. J.
 |title= Colimit theorems for relative homotopy groups
 |journal= Journal of Pure and Applied Algebra
 |year= 1981
 |volume= 22
 |pages= 11–41
 |issn= 0022-4049
 |doi= 10.1016/0022-4049(81)90080-3
 }}
* {{citation
 |last1= Brown
 |first1= R.
 |last2= Loday
 |first2= J.-L.
 |title= Homotopical excision, and Hurewicz theorems, for n-cubes of spaces
 |journal= Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series
 |year= 1987
 |volume= 54
 |pages=176–192
 |issn= 0024-6115
 |doi= 10.1112/plms/s3-54.1.176
 }}
* {{citation
 |last1= Brown
 |first1= R.
 |last2= Loday
 |first2= J.-L.
 |title= Van Kampen theorems for diagrams of spaces
 |journal= [[Topology (journal)|Topology]]
 |year= 1987
 |volume= 26
 |pages=311–334
 |issn= 0040-9383
 |doi= 10.1016/0040-9383(87)90004-8
 |issue= 3
 }}
* {{citation
 |last= Rotman
 |first= Joseph J.<!--
 |author-link= Joseph J. Rotman--><!-- missing link -->
 |title= An Introduction to Algebraic Topology
 |publisher= [[Springer-Verlag]]
 |year= 1988
 |publication-date= 1998-07-22
 |series= [[Graduate Texts in Mathematics]]
 |volume= 119
 |isbn= 978-0-387-96678-6
 }}
* {{citation
 |last= Whitehead
 |first= George W.
 |author-link= George W. Whitehead
 |title= Elements of Homotopy Theory
 |publisher= [[Springer-Verlag]]
 |year= 1978
 |series= [[Graduate Texts in Mathematics]]
 |volume= 61
 |isbn= 978-0-387-90336-1
 }}
{{DEFAULTSORT:ふれういつつのていり}}
{{Normdaten}}
[[Category:ホモトピー論]]
[[Category:ホモロジー論]]
[[Category:代数的位相幾何学の定理]]
[[Category:数学に関する記事]]