フレヴィッツの定理
テンプレート:要改訳 数学において、フレヴィッチの定理（テンプレート:Lang-en-short）は、代数的位相幾何学の基本的結果であり、フレヴィッチ準同型と呼ばれる写像を通して、ホモトピー論とホモロジー論を結びつけるものである。定理の名前は、テンプレート:仮リンク (Witold Hurewicz) に因んでいて、アンリ・ポアンカレ (Henri Poincaré) による以前の結果を一般化した定理である。
定理の主張
フレヴィッチの定理は、ホモトピー群とホモロジー群を結びつける重要な定理である。
絶対的なバージョン
任意の位相空間 X と正の整数 k に対し、k 次ホモトピー群から k 次（整数係数）ホモロジー群への、フレヴィッチ準同型 (Hurewicz homomorphism) と呼ばれる群準同型
が存在する。k = 1 と弧状連結な X に対して、フレヴィッツの定理は、標準的なアーベル化写像
と同値となる。
フレヴィッツの定理は、X が テンプレート:仮リンクであれば、フレヴィッツ準同型写像は n ≥ 2 のときすべての k ≤ n に対し同型となり、n = 1 のときアーベル化となる、というものである。特に、フレヴィッツの定理は、第一ホモトピー群（基本群）のアーベル化が第一ホモロジー群
に同型であることを言っている。従って、X が弧状連結で、テンプレート:Π1(X) がテンプレート:仮リンクであれば、第一ホモロジー群が 0 となる。
さらに、n ≥ 2 に対し、X が (n − 1)-連結のときはいつも、フレヴィッツ準同型写像は から への全射である。
群の準同型は、標準的な生成子 を選び、写像 のホモトピー類を に写すことにより得られる。
相対的なバージョン
位相空間対 (X, A) と整数 k > 1 に対し、相対ホモトピー群から相対ホモロジー群への準同型
が存在する。相対フレヴィッツの定理は、X と A が連結であり、対 (X, A) が (n − 1)-連結であれば、k < n に対し、Hk(X,A) = 0 であり、Hn(X, A) は テンプレート:Πn(X, A) から テンプレート:Π1(A) への作用で割ることで得られるという定理である。このことは、テンプレート:Harvtxt では帰納法により証明され、絶対バージョンとホモトピー加法補題と証明された。
この相対的フレヴィッツの定理は、テンプレート:Harvtxtにおいて、射
に関するステートメントとして再定式化された。
このステートメントは、テンプレート:仮リンク(homotopical excision theorem)の特別な場合であり、n > 2 に対し誘導加群（ n = 2 に対しては、接合加群(crossed module)）を意味し、相対ホモトピー群の高次ホモトピーのテンプレート:仮リンク(van Kampen theorem)から導かれる。証明は 3次のホモトピー亜群のテクニックの発展を必要とした。
単体の集合のバージョン
位相空間についてのフレヴィッツの定理は、n-連結なカンの条件を満すテンプレート:仮リンク(simplicial set)についての成立するとする定理である[2]。
有理フレヴィッツ定理
有理フレヴィッツ定理(Rational Hurewicz theorem)[3][4]： に対し であるような X を単連結な位相空間とすると、 フレヴィッツ写像
は、 に対して同型を、 に対しては全射を引き起す。
脚注
- ↑ ここにある、 は、 の約錐(reduced cone) : を表す。ちなみに、 の約懸垂(reduced suspension)は で表す。
- ↑ テンプレート:Citation, III.3.6, 3.7
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