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フロベニウス自己準同型
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{{要改訳}} {{出典の明記|date=2017-03-15}} [[可換環論]]や[[体論]]では、'''フロベニウス自己準同型''' ('''フロベニウス写像'''、{{lang-en-short|Frobenius endomorphism, Frobenius map}}) （[[フェルディナント・ゲオルク・フロベニウス]]の名前にちなむ）は、[[有限体]]を含む重要なクラスである素数の[[標数]] {{mvar|p}} をもつ[[交換法則|可換]][[環 (数学)|環]]の特別な[[自己準同型]]のことを言う。この自己準同型写像は、各元を {{mvar|p}} 乗する。ある文脈においては、[[自己同型]]となるが、一般にこれは正しくない。 ==定義== {{mvar|p}} を[[素数]]、 {{mvar|R}} を[[標数]] {{mvar|p}} の[[可換環]]（たとえば、[[有限体]]や正標数の[[整域]]）とする。'''フロベニウス自己準同型写像'''（'''フロベニウス写像'''） {{math|''F'' : ''R'' → ''R''}} は、{{mvar|R}} の任意の元 {{mvar|r}} に対し :<math>F(r) = r^p</math> により定義される{{sfn|Hungerford|1974|p={{google books quote|id=e-YlBQAAQBAJ|page=121|121}}}}。明らかに、これは {{mvar|R}} の乗法と整合的、つまり :<math>F(rs) = (rs)^p = r^ps^p = F(r)F(s)</math> が成り立ち、さらに :<math>F(1) = 1</math> となる。一方で、 {{mvar|R}} の加法に関しても興味深いことが言える。式 {{math|(''r'' + ''s'')<sup>''p''</sup>}} を[[二項展開]]する。{{mvar|p}} は素数であるので、{{math|''p''!}} を割り切るが、{{math|''q'' < ''p''}} に対しいかなる {{math|''q''!}} も割り切らない。よって {{math|1 ≤ ''k'' ≤ ''p'' − 1}} であれば、{{mvar|p}} は[[二項係数]] :<math>\frac {p!}{k! (p-k)!}</math> の分子を割り切るが、分母を割り切らない。 したがって、 {{mvar|r<sup>p</sup>}} と {{mvar|s<sup>p</sup>}} を除くすべての項の係数は標数 {{mvar|p}} で割り切れるので、それらは消える。したがって、 :<math>F(r + s) = (r + s)^p = r^p + s^p = F(r) + F(s)</math> となる{{efn|このことは[[一年生の夢]]として知られている{{sfn|Hungerford|1974|p={{google books quote|id=e-YlBQAAQBAJ|page=121|121}}}}。}}。以上からフロベニウス写像 {{math|''F'' : ''R'' → ''R''}} は[[環準同型]]である{{sfn|Hungerford|1974|p={{google books quote|id=e-YlBQAAQBAJ|page=121|121}}}}。 {{mvar|R}} と {{mvar|S}} を標数 {{mvar|p}} の環、{{math|φ : ''R'' → ''S''}} を環準同型とすると、 :<math>\phi(x^p) = \phi(x)^p</math> が成り立つ。ここで {{mvar|F<sub>R</sub>}} と {{mvar|F<sub>S</sub>}} をそれぞれ {{mvar|R}} と {{mvar|S}} 上のフロベニウス写像とすれば、この式は :<math>\phi \circ F_R = F_S \circ \phi</math> と書き換えられる。つまりフロベニウス写像たちは標数 {{mvar|p}} の可換環がなす[[圏 (数学)|圏]]の恒等[[関手]]上の[[自然変換]]である。 {{mvar|R}} が[[被約環]]（たとえば体などの整域）のとき、フロベニウス写像は[[単射]]となる。なぜならば、{{math|''F''(''r'') {{=}} 0}} は {{math|''r''<sup>''p''</sup> {{=}} 0}} を意味するので {{mvar|r}} は[[冪零]]であり、自明となるから。さらに逆も正しい。 またフロベニウス写像は、{{mvar|R}} が[[可換体|体]]であるときでさえ、[[全射]]であるとは限らない。たとえば、{{math|K {{=}} '''F'''<sub>''p''</sub>(''t'')}} を {{mvar|p}} 元体 {{math|'''F'''<sub>''p''</sub>}} に[[超越元]] {{mvar|t}} を[[体の拡大|添加]]した体とする。同じことだが、{{math|K {{=}} '''F'''<sub>''p''</sub>(''t'')}} を {{math|'''F'''<sub>''p''</sub>}} 係数の一変数[[有理函数]]の体とする。このとき、{{mvar|F}} の[[像 (数学)|像]]は {{mvar|t}} を含まない。もし {{mvar|t}} を像に含むとすると、有理函数 {{math|''q''(''t'')/''r''(''t'')}} で、その {{mvar|p}} 乗 {{math|''q''(''t'')<sup>''p''</sup>/''r''(''t'')<sup>''p''</sup>}} が {{mvar|t}} となるものが存在する。しかし、この {{mvar|p}} 乗の[[次数]]は {{math|''p'' deg(''q'') − ''p'' deg(''r'')}} ゆえ、{{mvar|p}} の倍数である。特に、{{mvar|t}} の次数 1 とは一致しない。これは[[矛盾]]。以上から、{{mvar|t}} は {{mvar|F}} の像ではない。 体 {{mvar|K}} が'''[[完全体|完全]]'''であるとは、標数が 0 であるか、正の標数かつフロベニウス写像が全射であることを言う{{sfn|Rotman|2010|p={{google books quote|id=PhvhAwAAQBAJ|page=343|343}}}}。たとえば、すべての[[有限体]]は完全である{{sfn|Rotman|2010|p={{google books quote|id=PhvhAwAAQBAJ|page=344|344}}}}。 == フロベニウス写像の不動点 == [[有限体]] {{math|'''F'''<sub>''p''</sub>}} を考える。[[フェルマーの小定理]]により、{{math|'''F'''<sub>''p''</sub>}} のすべての元 {{mvar|x}} は、{{math|''x<sup>p</sup>'' {{=}} ''x''}} を満たす{{sfn|Hungerford|1974|p={{google books quote|id=e-YlBQAAQBAJ|page=281|281}}}}。同じことだが、多項式 {{math|''X<sup>p</sup>'' − ''X''}} の根である。したがって、{{math|'''F'''<sub>''p''</sub>}} の元は、この多項式の {{mvar|p}} 個の根を決定し、この多項式は次数 {{mvar|p}} なので、どんなに体を[[体の拡大|拡大]]しても {{mvar|p}} 個よりも多くの根を持つことはない。特に、{{mvar|K}} が {{math|'''F'''<sub>''p''</sub>}} の[[代数拡大]]（代数的閉包、または他の有限体のような）であれば、 {{mvar|K}} のフロベニウス写像に関する不変体は {{math|'''F'''<sub>''p''</sub>}} である。 {{mvar|R}} を標数 {{math|''p'' > 0}} の環とする。{{mvar|R}} が整域であれば、同じ理由でフロベニウス写像の不動点は[[標数#素整域・素体|素体]]の元である。しかしながら、{{mvar|R}} が整域でないと、{{math|''X<sup>p</sup>'' − ''X''}} は {{mvar|p}} 個よりも多い根を持つかもしれない。たとえば、{{math|''R'' {{=}} '''F'''<sub>''p''</sub> × '''F'''<sub>''p''</sub>}} のとき、このようなことが起きる。 同様の性質を有限体 <math>\mathbf{F}_{p^e}</math> も持つ。<math>\mathbf{F}_{p^e}</math> のすべての元は、多項式 <math>X^{p^e} - X</math> の根であるので、{{mvar|K}} が <math>\mathbf{F}_{p^e}</math> の代数拡大であれば、{{mvar|F}} を {{mvar|K}} のフロベニウス写像としたとき、 {{mvar|K}} の {{math|''F<sup>e</sup>''}} に関する不変体は <math>\mathbf{F}_{p^e}</math> である。{{mvar|R}} が <math>\mathbf{F}_{p^e}</math>-代数であるような整域であれば、フロベニウス写像の {{mvar|e}} 乗の固定点は <math>\mathbf{F}_{p^e}</math> の像の元である。 フロベニウス写像の繰り返しは、{{mvar|R}} の元の列 :<math>x, x^p, x^{p^2}, x^{p^3}, \dotsc</math> をもたらす。この繰り返しの列は、{{仮リンク|フロベニウス閉包|en|Frobenius closure}}(Frobenius closure)やイデアルの[[密着閉包]](tight closure)の定義に使われる。 <!-- A similar property is enjoyed on the finite field <math>\mathbf{F}_{p^e}</math> by the ''e''th iterate of the Frobenius automorphism: Every element of <math>\mathbf{F}_{p^e}</math> is a root of <math>X^{p^e} - X</math>, so if {{mvar|K}} is an algebraic extension of <math>\mathbf{F}_{p^e}</math> and {{mvar|F}} is the Frobenius automorphism of {{mvar|K}}, then the fixed field of {{math|''F<sup>e</sup>''}} is <math>\mathbf{F}_{p^e}</math>. If ''R'' is a domain which is an <math>\mathbf{F}_{p^e}</math>-algebra, then the fixed points of the ''e''th iterate of Frobenius are the elements of the image of <math>\mathbf{F}_{p^e}</math>. Iterating the Frobenius map gives a sequence of elements in {{mvar|R}}: :<math>x, x^p, x^{p^2}, x^{p^3}, \ldots.</math> This sequence of iterates is used in defining the [[Frobenius closure]] and the [[tight closure]] of an ideal. --> == ガロア群の生成元として == 有限体の拡大の[[ガロア群]]は、有限次元拡大の場合、フロベニウス自己同型の繰り返しにより生成される{{要検証|date=2017-03-19}}<!-- 有限次拡大? -->。まず、基礎体が素体の場合を考える。{{math|''q'' {{=}} ''p<sup>e</sup>''}} として {{math|'''F'''<sub>''q''</sub>}} を {{mvar|q}} 元体とする。{{math|'''F'''<sub>''q''</sub>}} のフロベニウス写像 {{mvar|F}} は素体 {{math|'''F'''<sub>''p''</sub>}} を固定するので、ガロア群 {{math|Gal('''F'''<sub>''q''</sub>/'''F'''<sub>''p''</sub>)}} の元である。実際、このガロア群は位数 {{mvar|e}} の巡回群であり、{{mvar|F}} は生成元である{{sfn|Rotman|2010|p={{google books quote|id=PhvhAwAAQBAJ|loc=Theorem 3.13|page=180|180}}}}。なぜならば、{{math|''F<sup> e</sup>''}} は、元 {{mvar|x}} を {{math|''x<sup>q</sup>''}} へ写すことにより作用し、これは {{math|'''F'''<sub>''q''</sub>}} 上の恒等写像である。{{math|'''F'''<sub>''q''</sub>}} のすべての自己同型は {{mvar|F}} のべきで、生成元は {{mvar|e}} に互いに素な {{mvar|i}} に対して、べき {{math|''F<sup> i</sup>''}} である。 <!--== As a generator of Galois groups == The [[Galois group]] of an extension of finite fields is generated by an iterate of the Frobenius automorphism. First, consider the case where the ground field is the prime field. Let {{math|'''F'''<sub>''q''</sub>}} be the finite field of {{mvar|q}} elements, where {{math|''q'' {{=}} ''p<sup>e</sup>''}}. The Frobenius automorphism {{mvar|F}} of {{math|'''F'''<sub>''q''</sub>}} fixes the prime field {{math|'''F'''<sub>''p''</sub>}}, so it is an element of the Galois group {{math|Gal('''F'''<sub>''q''</sub>/'''F'''<sub>''p''</sub>)}}. In fact, this Galois group is cyclic and {{mvar|F}} is a generator. The order of {{mvar|F}} is {{mvar|e}} because {{math|''F<sup> e</sup>''}} acts on an element {{mvar|x}} by sending it to {{math|''x<sup>q</sup>''}}, and this is the identity on elements of {{math|'''F'''<sub>''q''</sub>}}. Every automorphism of {{math|'''F'''<sub>''q''</sub>}} is a power of {{mvar|F}}, and the generators are the powers {{math|''F<sup> i</sup>''}} with {{mvar|i}} coprime to {{mvar|e}}.--> ここで有限体 {{math|'''F'''<sub>q<sup> f</sup></sub>}} を {{math|'''F'''<sub>q</sub>}} の体の拡大と考える。{{math|'''F'''<sub>q<sup> f</sup></sub>}} のフロベニウス自己同型 {{math|F}} は、基礎体 {{math|'''F'''<sub>q</sub>}} を固定しないが、その {{math|e}}-番目の繰り返し {{math|F<sup> e</sup>}} を固定する。ガロア群 {{math|Gal('''F'''<sub>q<sup> f</sup></sub> /'''F'''<sub>q</sub>)}} は位数 {{math|f}} の巡回群で、{{math|''F<sup> e</sup>''}} により生成される。この群は {{math|Gal('''F'''<sub>q<sup> f</sup></sub> /'''F'''<sub>p</sub>)}} の部分群で、{{math|F<sup> e</sup>}} により生成される。{{math|Gal('''F'''<sub>q<sup> f</sup></sub> /'''F'''<sub>q</sub>)}} の生成元は、べき {{math|''F<sup> ei</sup>''}} である。ここの {{math|i}} は、{{math|f}} と互いに素である。 フロベニウス自己同型は、[[絶対ガロア群]] :<math>\operatorname{Gal} \left (\overline{\mathbf{F}_q}/\mathbf{F}_q \right )</math> の生成元ではない。何故ならば、このガロア群は、 :<math>\widehat{\mathbf{Z}} = \textstyle\varprojlim_n \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}</math> であり、巡回群ではない。しかしながら、フロベニウス自己同型は {{math|'''F'''<sub>q</sub>}} の全ての有限拡大のガロア群の生成元であるので、絶対ガロア群の全ての有限商の生成元である。結局、絶対ガロア群の上の普通のクルル位相でのトポロジカルな生成元である。 <!--Now consider the finite field {{math|'''F'''<sub>''q<sup> f</sup>''</sub>}} as an extension of {{math|'''F'''<sub>''q''</sub>}}. The Frobenius automorphism {{mvar|F}} of {{math|'''F'''<sub>''q<sup> f</sup>''</sub>}} does not fix the ground field {{math|'''F'''<sub>''q''</sub>}}, but its {{mvar|e}}-th iterate {{math|''F<sup> e</sup>''}} does. The Galois group {{math|Gal('''F'''<sub>''q<sup> f</sup>''</sub> /'''F'''<sub>''q''</sub>)}} is cyclic of order {{mvar|f}} and is generated by {{math|''F<sup> e</sup>''}}. It is the subgroup of {{math|Gal('''F'''<sub>''q<sup> f</sup>''</sub> /'''F'''<sub>''p''</sub>)}} generated by {{math|''F<sup> e</sup>''}}. The generators of {{math|Gal('''F'''<sub>''q<sup> f</sup>''</sub> /'''F'''<sub>''q''</sub>)}} are the powers {{math|''F<sup> ei</sup>''}} where {{mvar|i}} is coprime to {{mvar|f}}. The Frobenius automorphism is not a generator of the [[absolute Galois group]] :<math>\operatorname{Gal} \left (\overline{\mathbf{F}_q}/\mathbf{F}_q \right ),</math> because this Galois group is :<math>\widehat{\mathbf{Z}} = \textstyle\varprojlim_n \mathbf{Z}/n\mathbf{Z},</math> which is not cyclic. However, because the Frobenius automorphism is a generator of the Galois group of every finite extension of {{math|'''F'''<sub>''q''</sub>}}, it is a generator of every finite quotient of the absolute Galois group. Consequently it is a topological generator in the usual Krull topology on the absolute Galois group.--> == スキームのフロベニウス == スキームのフロベニウス写像の定義方法にはいくつかの異なる方法がある。絶対フロベニウス写像は最も基本的である。しかし、絶対フロベニウス写像は、ベーススキームに注意を払わないので、相対的な状況下ではうまい振る舞いをしない。相対的状況下でフロベニウス写像が適用する方法は、いくつかの異なる方法があり、それぞれ有用である場合が異なっている。 <!--== Frobenius for schemes == There are several different ways to define the Frobenius morphism for a scheme. The most fundamental is the absolute Frobenius morphism. However, the absolute Frobenius morphism behaves poorly in the relative situation because it pays no attention to the base scheme. There are several different ways of adapting the Frobenius morphism to the relative situation, each of which is useful in certain situations.--> === 絶対フロベニウス写像 === {{math|X}} を標数 {{math|p > 0}} のスキームとする。 {{math|X}} のアフィン開集合 {{math|U {{=}} Spec A}} を選ぶ。環 {{math|A}} は {{math|'''F'''<sub>p</sub>}}-代数であるので、フロベニウス自己準同型を持つ。{{math|V}} を {{math|U}} のアフィン開集合とすると、フロベニウスの自然性により、{{math|V}}上へ制限したときの {{math|U}} 上のフロベニウス写像は {{math|V}} 上のフロベニウス写像である。結局、フロベニウス写像を貼り合わせることは、{{math|X}} の自己準同型を与える。この準同型のことを'''絶対フロベニウス写像'''と言う。定義により絶対フロベニウス写像は、{{math|X}} から自分自身への準同型である。絶対フロベニウス写像は、 {{math|'''F'''<sub>p</sub>}}-スキーム上の恒等函手からそれ自身への自然な変換である。 <!--=== The absolute Frobenius morphism === Suppose that {{mvar|X}} is a scheme of characteristic {{math|''p'' > 0}}. Choose an open affine subset {{math|''U'' {{=}} Spec ''A''}} of {{mvar|X}}. The ring {{mvar|A}} is an {{math|'''F'''<sub>''p''</sub>}}-algebra, so it admits a Frobenius endomorphism. If {{mvar|V}} is an open affine subset of {{mvar|U}}, then by the naturality of Frobenius, the Frobenius morphism on {{mvar|U}}, when restricted to {{mvar|V}}, is the Frobenius morphism on {{mvar|V}}. Consequently the Frobenius morphism glues to give an endomorphism of {{mvar|X}}. This endomorphism is called the '''absolute Frobenius morphism''' of {{mvar|X}}. By definition, it is a homeomorphism of {{mvar|X}} with itself. The absolute Frobenius morphism is a natural transformation from the identity functor on the category of {{math|'''F'''<sub>''p''</sub>}}-schemes to itself.--> {{math|X}} が {{math|S}}-スキームで、{{math|S}} のフロベニウス写像が恒等写像であれば、絶対フロベニウス写像は {{math|S}}-スキームの射(morphism)である。しかし、一般には、そうとは言えない。例えば、環 <math>A = \mathbf{F}_{p^2}</math> を考える。{{math|X}} と {{math|S}} とを、双方とも、恒等射となる構造射 {{math|X → S}} をもつ {{math|Spec A}} とする。{{math|A}} 上のフロベニウス写像は、{{math|a}} を {{math|a<sup>p</sup>}} へ写す。 この写像は <math>\mathbf{F}_{p^2}</math>-代数の写像ではない。もしそうだとすると、<math>\mathbf{F}_{p^2}</math> での元 {{math|b}} による積がフロベニウス自己準同型を適用することと可換となってしまう。しかし、 :<math>b \cdot a = ba \neq F(b) \cdot a = b^p a</math> であるから、これは正しくない。前者は {{math|A}} の始まる <math>\mathbf{F}_{p^2}</math>-代数構造の {{math|b}} 作用であり、後者はフロベニウスにより引き起こされた <math>\mathbf{F}_{p^2}</math> 上の作用である。結局、{{math|Spec A}} 上のフロベニウス写像は <math>\mathbf{F}_{p^2}</math>-スキーム上の射ではない。 絶対フロベニウス写像は、次数 {{math|p}} の純粋な非分離射である。この微分は 0 である。絶対フロベニウス写像は積を保存し、このことは任意の 2つのスキーム {{math|X}} と {{math|Y}} に対し、{{math|F<sub>X×Y</sub> {{=}} F<sub>X</sub> × F<sub>Y</sub>}} であることを意味する。 <!--If {{mvar|X}} is an {{mvar|S}}-scheme and the Frobenius morphism of {{mvar|S}} is the identity, then the absolute Frobenius morphism is a morphism of {{mvar|S}}-schemes. In general, however, it is not. For example, consider the ring <math>A = \mathbf{F}_{p^2}</math>. Let {{mvar|X}} and {{mvar|S}} both equal {{math|Spec ''A''}} with the structure map {{math|''X'' → ''S''}} being the identity. The Frobenius morphism on {{mvar|A}} sends {{mvar|a}} to {{math|''a<sup>p</sup>''}}. It is not a morphism of <math>\mathbf{F}_{p^2}</math>-algebras. If it were, then multiplying by an element {{mvar|b}} in <math>\mathbf{F}_{p^2}</math> would commute with applying the Frobenius endomorphism. But this is not true because: :<math>b \cdot a = ba \neq F(b) \cdot a = b^p a.</math> The former is the action of {{mvar|b}} in the <math>\mathbf{F}_{p^2}</math>-algebra structure that {{mvar|A}} begins with, and the latter is the action of <math>\mathbf{F}_{p^2}</math> induced by Frobenius. Consequently, the Frobenius morphism on {{math|Spec ''A''}} is not a morphism of <math>\mathbf{F}_{p^2}</math>-schemes. The absolute Frobenius morphism is a purely inseparable morphism of degree {{mvar|p}}. Its differential is zero. It preserves products, meaning that for any two schemes {{mvar|X}} and {{mvar|Y}}, {{math|''F''<sub>''X''×''Y''</sub> {{=}} ''F<sub>X</sub>'' × ''F<sub>Y</sub>''}}.--> === フロベニウスによるスカラーの制限と拡大 === {{math|φ : X → S}} を {{math|S}}-スキーム {{math|X}} の構造射とする。基本スキーム {{math|S}} はフロベニウス写像 F<sub>S</sub> を持っている。F<sub>S</sub> と結合 {{math|φ}} は、'''フロベニウスによるスカラーの制限'''と呼ばれる {{math|S}}-スキーム X<sub>F</sub> を結果する。スカラーの制限は、実際、{{math|S}}-射 {{math|X → Y}} は{{math|S}}-射 {{math|X<sub>F</sub> → Y<sub>F</sub>}} を惹き起すので函手である。 <!--=== Restriction and extension of scalars by Frobenius === Suppose that {{math|''φ'' : ''X'' → ''S''}} is the structure morphism for an {{mvar|S}}-scheme {{mvar|X}}. The base scheme {{mvar|S}} has a Frobenius morphism ''F''<sub>''S''</sub>. Composing {{mvar|φ}} with ''F''<sub>''S''</sub> results in an {{mvar|S}}-scheme ''X''<sub>''F''</sub> called the '''restriction of scalars by Frobenius'''. The restriction of scalars is actually a functor, because an {{mvar|S}}-morphism {{math|''X'' → ''Y''}} induces an {{mvar|S}}-morphism {{math|''X<sub>F</sub>'' → ''Y<sub>F</sub>''}}.--> 例えば、標数 {{math|p > 0}} の環 A と A 上の有限な代数 :<math>R = A[X_1, \ldots, X_n] / (f_1, \ldots, f_m)</math> を考える。R 上の A の作用は、 :<math>c \cdot \sum a_\alpha X^\alpha = \sum c a_\alpha X^\alpha</math> により与えられる。ここに α は多重インデックスとする。{{math|X {{=}} Spec R}} とすると、{{math|X<sub>F</sub>}} はアフィンスキーム {{math|Spec R}} であるが、構造射 {{math|Spec R → Spec A}}、つまり、R 上の A の作用は異なっている。 :<math>c \cdot \sum a_\alpha X^\alpha = \sum F(c) a_\alpha X^\alpha = \sum c^p a_\alpha X^\alpha.</math> 何故ならば、フロベニウスによるスカラーの制限は単純な合成で、{{math|X}} の多くの性質はフロベニウス写像に対する適当な前提の下に X<sub>F</sub> により引き継がれるからである。例えば、{{math|X}} と S<sub>F</sub> が両方とも有限型であれば、X<sub>F</sub> も有限型である。 <!--For example, consider a ring ''A'' of characteristic {{math|''p'' > 0}} and a finitely presented algebra over ''A'': :<math>R = A[X_1, \ldots, X_n] / (f_1, \ldots, f_m).</math> The action of ''A'' on ''R'' is given by: :<math>c \cdot \sum a_\alpha X^\alpha = \sum c a_\alpha X^\alpha,</math> where α is a multi-index. Let {{math|''X'' {{=}} Spec ''R''}}. Then {{math|''X<sub>F</sub>''}} is the affine scheme {{math|Spec ''R''}}, but its structure morphism {{math|Spec ''R'' → Spec ''A''}}, and hence the action of ''A'' on ''R'', is different: :<math>c \cdot \sum a_\alpha X^\alpha = \sum F(c) a_\alpha X^\alpha = \sum c^p a_\alpha X^\alpha.</math> Because restriction of scalars by Frobenius is simply composition, many properties of {{mvar|X}} are inherited by ''X''<sub>''F''</sub> under appropriate hypotheses on the Frobenius morphism. For example, if {{mvar|X}} and ''S''<sub>''F''</sub> are both finite type, then so is ''X''<sub>''F''</sub>.--> '''フロベニウスによるスカラーの拡張'''(extension of scalars by Frobenius)は :<math>X^{(p)} = X \times_S S_F</math> と定義される。{{math|S}} 要素への射影は、{{math|X<sup>(p)</sup>}} を {{math|S}}-スキームとする。{{math|S}} が脈絡が明らかではない場合、{{math|X<sup>(p)</sup>}} は {{math|X<sup>(p/S)</sup>}} と書かれる。スカラーの制限のように、スカラーの拡張は、函手である。{{math|S}}-射 {{math|X → Y}} は {{math|S}}-射 {{math|X<sup>(p)</sup> → Y<sup>(p)</sup>}} を決定する。 <!--The '''extension of scalars by Frobenius''' is defined to be: :<math>X^{(p)} = X \times_S S_F.</math> The projection onto the {{mvar|S}} factor makes {{math|''X''<sup>(''p'')</sup>}} an {{mvar|S}}-scheme. If {{mvar|S}} is not clear from the context, then {{math|''X''<sup>(''p'')</sup>}} is denoted by {{math|''X''<sup>(''p''/''S'')</sup>}}. Like restriction of scalars, extension of scalars is a functor: An {{mvar|S}}-morphism {{math|''X'' → ''Y''}} determines an {{mvar|S}}-morphism {{math|''X''<sup>(''p'')</sup> → ''Y''<sup>(''p'')</sup>}}.--> 前にのべたように、環 A と A 上の有限生成な代数 R を考え、再び {{math|X {{=}} Spec R}} とおくと、 :<math>X^{(p)} = \operatorname{Spec} R \otimes_A A_F</math> となる。{{math|X<sup>(p)</sup>}} の大域的切断は、 :<math>\sum_i \left(\sum_\alpha a_{i\alpha} X^\alpha\right) \otimes b_i = \sum_i \sum_\alpha X^\alpha \otimes a_{i\alpha}^p b_i</math> の形をしている。ここに α は多重インデックスで、全ての a<sub>iα</sub> と b<sub>i</sub> は A の元である。この切断上のでの A の元 c の作用は、 :<math>c \cdot \sum_i \left (\sum_\alpha a_{i\alpha} X^\alpha\right) \otimes b_i = \sum_i \left(\sum_\alpha a_{i\alpha} X^\alpha\right) \otimes b_i c</math> である。結局、{{math|X<sup>(p)</sup>}} は、 :<math>\operatorname{Spec} A[X_1, \ldots, X_n] / \left (f_1^{(p)}, \ldots, f_m^{(p)} \right )</math> と同型である。ここに、 :<math>f_j = \sum_\beta f_{j\beta} X^\beta</math> であれば、 :<math>f_j^{(p)} = \sum_\beta f_{j\beta}^p X^\beta</math> である。任意の A-代数 R に対し同様なことが成り立つ。 スカラーの拡張はベースチェンジであるので、スカラーの拡張は極限や余積を保存する。特に、このことは {{math|X}} が（群スキームのように）有限の極限を持つことばの代数構造を持っているとすると、{{math|X<sup>(p)</sup>}} の形となることを意味する。さらにベースチェンジすることで、スカラーの拡大が有限タイプのときのように、有限表示、分離性、アフィン性などの性質を引き継ぐことを意味する。 スカラーの拡大は、ベースチェインジに対して、うまく振る舞う。射 {{math|S′ → S}} が与えられると、自然な同型:<math>X^{(p/S)} \times_S S' \cong (X \times_S S')^{(p/S')}</math> が存在する。 <!--As before, consider a ring ''A'' and a finitely presented algebra ''R'' over ''A'', and again let {{math|''X'' {{=}} Spec ''R''}}. Then: :<math>X^{(p)} = \operatorname{Spec} R \otimes_A A_F.</math> A global section of {{math|''X''<sup>(''p'')</sup>}} is of the form: :<math>\sum_i \left(\sum_\alpha a_{i\alpha} X^\alpha\right) \otimes b_i = \sum_i \sum_\alpha X^\alpha \otimes a_{i\alpha}^p b_i,</math> where α is a multi-index and every ''a''<sub>''i''α</sub> and ''b''<sub>''i''</sub> is an element of ''A''. The action of an element ''c'' of ''A'' on this section is: :<math>c \cdot \sum_i \left (\sum_\alpha a_{i\alpha} X^\alpha\right) \otimes b_i = \sum_i \left(\sum_\alpha a_{i\alpha} X^\alpha\right) \otimes b_i c.</math> Consequently, {{math|''X''<sup>(''p'')</sup>}} is isomorphic to: :<math>\operatorname{Spec} A[X_1, \ldots, X_n] / \left (f_1^{(p)}, \ldots, f_m^{(p)} \right ),</math> where, if: :<math>f_j = \sum_\beta f_{j\beta} X^\beta,</math> then: :<math>f_j^{(p)} = \sum_\beta f_{j\beta}^p X^\beta.</math> A similar description holds for arbitrary ''A''-algebras ''R''. Because extension of scalars is base change, it preserves limits and coproducts. This implies in particular that if {{mvar|X}} has an algebraic structure defined in terms of finite limits (such as being a group scheme), then so does {{math|''X''<sup>(''p'')</sup>}}. Furthermore, being a base change means that extension of scalars preserves properties such as being of finite type, finite presentation, separated, affine, and so on. Extension of scalars is well-behaved with respect to base change: Given a morphism {{math|''S''′ → ''S''}}, there is a natural isomorphism: :<math>X^{(p/S)} \times_S S' \cong (X \times_S S')^{(p/S')}.</math>--> === 相対的フロベニウス === {{math|S}}-スキーム ''X'' の'''相対的フロベニウス写像'''(relative Frobenius morphism)とは、 :<math>F_{X/S} = (F_X, 1_S)</math> により定義される射 :<math>F_{X/S} : X \to X^{(p)}</math> である。絶対フロベニウス写像は自然であるので、相対的フロベニウス写像は、{{math|S}}-スキームの射である。<!--=== Relative Frobenius === The '''relative Frobenius morphism''' of an {{mvar|S}}-scheme ''X'' is the morphism: :<math>F_{X/S} : X \to X^{(p)}</math> defined by: :<math>F_{X/S} = (F_X, 1_S).</math> Because the absolute Frobenius morphism is natural, the relative Frobenius morphism is a morphism of {{mvar|S}}-schemes.--> 例えば、A-代数 :<math>R = A[X_1, \ldots, X_n] / (f_1, \ldots, f_m).</math> を考える。すると、 :<math>R^{(p)} = A[X_1, \ldots, X_n] / (f_1^{(p)}, \ldots, f_m^{(p)})</math> を得る。相対的フロベニウス写像は、 :<math>\sum_i \sum_\alpha X^\alpha \otimes a_{i\alpha} \mapsto \sum_i \sum_\alpha a_{i\alpha}X^{p\alpha}</math> により定義される準同型写像 {{math|''R''<sup>(p)</sup> → R}} である。 相対的フロベニウス写像は、ベースチェインジと整合性を持ち、その意味は、{{math|X<sup>(p/S)</sup> ×<sub>S</sub> S′}} と {{math|(X ×<sub>S</sub> S′)<sup>(p/S′)</sup>}} との自然な同型の下で、 :<math>F_{X / S} \times 1_{S'} = F_{X \times_S S' / S'}</math> を得る。 <!--Consider, for example, the ''A''-algebra: :<math>R = A[X_1, \ldots, X_n] / (f_1, \ldots, f_m).</math> We have: :<math>R^{(p)} = A[X_1, \ldots, X_n] / (f_1^{(p)}, \ldots, f_m^{(p)}).</math> The relative Frobenius morphism is the homomorphism {{math|''R''<sup>(''p'')</sup> → ''R''}} defined by: :<math>\sum_i \sum_\alpha X^\alpha \otimes a_{i\alpha} \mapsto \sum_i \sum_\alpha a_{i\alpha}X^{p\alpha}.</math> Relative Frobenius is compatible with base change in the sense that, under the natural isomorphism of {{math|''X''<sup>(''p''/''S'')</sup> ×<sub>''S''</sub> ''S''′}} and {{math|(''X'' ×<sub>''S''</sub> ''S''′)<sup>(''p''/''S''′)</sup>}}, we have: :<math>F_{X / S} \times 1_{S'} = F_{X \times_S S' / S'}.</math>--> 相対的フロベニウス写像は、普遍的な同相写像である。{{math|X → S}} を開埋め込みとすると、恒等写像となる。{{math|X → S}} が {{math|O<sub>S</sub>}} のイデアル I により決まる閉埋め込みとすると、{{math|X<sup>(p)</sup>}} はイデアル層 {{math|I<sup>p</sup>}} より決定され、相対的フロベニウスは、増強された写像 {{math|O<sub>S</sub>/I<sup>p</sup> → O<sub>S</sub>/I}} である。 X が {{math|S}} 上に不分岐であることと、F<sub>X/S</sub> が不分岐であること、F<sub>X/S</sub> が単射準同型(monomorphism)であることとは同値である。X が {{math|S}} 上でエタールであることと、F<sub>X/S</sub> がエタールであること、F<sub>X/S</sub> が同型であることとは同値である。 <!--Relative Frobenius is a universal homeomorphism. If {{math|''X'' → ''S''}} is an open immersion, then it is the identity. If {{math|''X'' → ''S''}} is a closed immersion determined by an ideal sheaf ''I'' of {{math|''O<sub>S</sub>''}}, then {{math|''X''<sup>(''p'')</sup>}} is determined by the ideal sheaf {{math|''I<sup>p</sup>''}} and relative Frobenius is the augmentation map {{math|''O<sub>S</sub>''/''I<sup>p</sup>'' → ''O<sub>S</sub>''/''I''}}. ''X'' is unramified over {{mvar|S}} if and only if ''F''<sub>''X''/''S''</sub> is unramified and if and only if ''F''<sub>''X''/''S''</sub> is a monomorphism. ''X'' is étale over {{mvar|S}} if and only if ''F''<sub>''X''/''S''</sub> is étale and if and only if ''F''<sub>''X''/''S''</sub> is an isomorphism.--> === 数論的フロベニウス === :''{{仮リンク|数論的フロベニウスと幾何学的フロベニウス|en|Arithmetic and geometric Frobenius}}(Arithmetic and geometric Frobenius)も参照'' {{math|S}}-スキーム {{math|X}} の'''数論的フロベニウス写像'''(arithmetic Frobenius morphism)は、 :<math>F^a_{X/S} = 1_X \times F_S</math> により定義される同型 :<math>F^a_{X/S} : X^{(p)} \to X \times_S S \cong X</math> である。すなわち、1<sub>''X''</sub> による F<sub>S</sub> のベースチェインジである。 <!--=== Arithmetic Frobenius === :''See also: [[Arithmetic and geometric Frobenius]].'' The '''arithmetic Frobenius morphism''' of an {{mvar|S}}-scheme {{mvar|X}} is a morphism: :<math>F^a_{X/S} : X^{(p)} \to X \times_S S \cong X</math> defined by: :<math>F^a_{X/S} = 1_X \times F_S.</math> That is, it is the base change of ''F''<sub>''S''</sub> by 1<sub>''X''</sub>.--> 繰り返すと、 :<math>R = A[X_1, \ldots, X_n] / (f_1, \ldots, f_m),</math> :<math>R^{(p)} = A[X_1, \ldots, X_n] / (f_1, \ldots, f_m) \otimes_A A_F,</math> であれば、数論的フロベニウスは準同型 :<math>\sum_i \left(\sum_\alpha a_{i\alpha} X^\alpha\right) \otimes b_i \mapsto \sum_i \sum_\alpha a_{i\alpha} b_i^p X^\alpha</math> である。{{math|R<sup>(p)</sup>}} を :<math>R^{(p)} = A[X_1, \ldots, X_n] / \left (f_1^{(p)}, \ldots, f_m^{(p)} \right )</math> のように置きなおすと、この準同型は :<math>\sum a_\alpha X^\alpha \mapsto \sum a_\alpha^p X^\alpha</math> となる。 <!--Again, if: :<math>R = A[X_1, \ldots, X_n] / (f_1, \ldots, f_m),</math> :<math>R^{(p)} = A[X_1, \ldots, X_n] / (f_1, \ldots, f_m) \otimes_A A_F,</math> then the arithmetic Frobenius is the homomorphism: :<math>\sum_i \left(\sum_\alpha a_{i\alpha} X^\alpha\right) \otimes b_i \mapsto \sum_i \sum_\alpha a_{i\alpha} b_i^p X^\alpha.</math> If we rewrite {{math|''R''<sup>(''p'')</sup>}} as: :<math>R^{(p)} = A[X_1, \ldots, X_n] / \left (f_1^{(p)}, \ldots, f_m^{(p)} \right ),</math> then this homomorphism is: :<math>\sum a_\alpha X^\alpha \mapsto \sum a_\alpha^p X^\alpha.</math>--> === 幾何学的フロベニウス === {{math|S}} の絶対フロベニウス写像が <math>F_S^{-1}</math> を持ち[[可逆]]であるとする。<math>S_{F^{-1}}</math> を {{math|S}}-スキーム <math>F_S^{-1} : S \to S</math> と書くと、<math>F_S^{-1}</math> により {{math|X}} の拡張スカラーが存在する。 :<math>X^{(1/p)} = X \times_S S_{F^{-1}}.</math> もし、 :<math>R = A[X_1, \ldots, X_n] / (f_1, \ldots, f_m)</math> であれば、<math>F_S^{-1}</math> による拡張は :<math>R^{(1/p)} = A[X_1, \ldots, X_n] / (f_1, \ldots, f_m) \otimes_A A_{F^{-1}}.</math> を与える。もし、 :<math>f_j = \sum_\beta f_{j\beta} X^\beta,</math> であれば :<math>f_j^{(1/p)} = \sum_\beta f_{j\beta}^{1/p} X^\beta,</math> と書くことができ、従って、同型 :<math>R^{(1/p)} \cong A[X_1, \ldots, X_n] / (f_1^{(1/p)}, \ldots, f_m^{(1/p)})</math> が存在する。 <!--=== Geometric Frobenius === Assume that the absolute Frobenius morphism of {{mvar|S}} is invertible with inverse <math>F_S^{-1}</math>. Let <math>S_{F^{-1}}</math> denote the {{mvar|S}}-scheme <math>F_S^{-1} : S \to S</math>. Then there is an extension of scalars of {{mvar|X}} by <math>F_S^{-1}</math>: :<math>X^{(1/p)} = X \times_S S_{F^{-1}}.</math> If: :<math>R = A[X_1, \ldots, X_n] / (f_1, \ldots, f_m),</math> then extending scalars by <math>F_S^{-1}</math> gives: :<math>R^{(1/p)} = A[X_1, \ldots, X_n] / (f_1, \ldots, f_m) \otimes_A A_{F^{-1}}.</math> If: :<math>f_j = \sum_\beta f_{j\beta} X^\beta,</math> then we write: :<math>f_j^{(1/p)} = \sum_\beta f_{j\beta}^{1/p} X^\beta,</math> and then there is an isomorphism: :<math>R^{(1/p)} \cong A[X_1, \ldots, X_n] / (f_1^{(1/p)}, \ldots, f_m^{(1/p)}).</math>--> {{math|S}}-スキーム {{math|X}} の'''幾何学的フロベニウス写像'''(geometric Frobenius morphism)は、射 :<math>F^g_{X/S} : X^{(1/p)} \to X \times_S S \cong X</math> であり、 :<math>F^g_{X/S} = 1_X \times F_S^{-1}</math> で定義される。これは {{math|1<sub>X</sub>}} による <math>F_S^{-1}</math> のベースチェインジである。 上の A と R の例につづいて、幾何学的フロベニウスは :<math>\sum_i \left(\sum_\alpha a_{i\alpha} X^\alpha\right) \otimes b_i \mapsto \sum_i \sum_\alpha a_{i\alpha} b_i^{1/p} X^\alpha</math> であると定義される。<math>\{f_j^{(1/p)}\}</math> の項で R<sup>(1/p)</sup> を書き換えた後、幾何学的フロベニウスは :<math>\sum a_\alpha X^\alpha \mapsto \sum a_\alpha^{1/p} X^\alpha</math> となる。 <!--The '''geometric Frobenius morphism''' of an {{mvar|S}}-scheme {{mvar|X}} is a morphism: :<math>F^g_{X/S} : X^{(1/p)} \to X \times_S S \cong X</math> defined by: :<math>F^g_{X/S} = 1_X \times F_S^{-1}.</math> It is the base change of <math>F_S^{-1}</math> by {{math|1<sub>''X''</sub>}}. Continuing our example of ''A'' and ''R'' above, geometric Frobenius is defined to be: :<math>\sum_i \left(\sum_\alpha a_{i\alpha} X^\alpha\right) \otimes b_i \mapsto \sum_i \sum_\alpha a_{i\alpha} b_i^{1/p} X^\alpha.</math> After rewriting ''R''<sup>(1/''p'')</sup> in terms of <math>\{f_j^{(1/p)}\}</math>, geometric Frobenius is: :<math>\sum a_\alpha X^\alpha \mapsto \sum a_\alpha^{1/p} X^\alpha.</math>--> === ガロア作用としての数論的フロベニウスと幾何学的フロベニウス === {{math|S}} のフロベニウス写像を同型とすると、フロベニウス写像は {{math|S}} の群の自己同型の部分群を生成する。{{math|S {{=}} Spec k}} が有限体のスペクトルとすると、自己同型は素体上の体のガロア群となり、フロベニウス写像とその逆は、双方とも自己同型群を生成する。加えて、{{math|X<sup>(p)</sup>}} と {{math|X<sup>(1/p)</sup>}} は {{math|X}} と同一視される。従って、数論的フロベニウス写像と幾何学的フロベニウス写像は、{{math|X}} の自己準同型であり、それらは X 上の k のガロア群の作用を導く。 <!--=== Arithmetic and geometric Frobenius as Galois actions === Suppose that the Frobenius morphism of {{mvar|S}} is an isomorphism. Then it generates a subgroup of the automorphism of group of {{mvar|S}}. If {{math|''S'' {{=}} Spec ''k''}} is the spectrum of a finite field, then its automorphism group is the Galois group of the field over the prime field, and the Frobenius morphism and its inverse are both generators of the automorphism group. In addition, {{math|''X''<sup>(''p'')</sup>}} and {{math|''X''<sup>(1/''p'')</sup>}} may be identified with {{mvar|X}}. The arithmetic and geometric Frobenius morphisms are then endomorphisms of {{mvar|X}}, and so they lead to an action of the Galois group of ''k'' on ''X''.--> K-点 {{math|X(K)}} の集合を考える。この集合はガロア作用を伴う。そのような各々の点 x は、構造層から x での剰余体への準同型 {{math|O<sub>X</sub> → k(x) ≅ K}} に対応し、x へのフロベニウス作用は剰余体へフロベニウス準同型を適用することである。このガロア作用は、数論的フロベニウスの作用に一致する。合成写像 :<math>\mathcal{O}_X \to k(x) \xrightarrow{F} k(x)</math> は、合成写像 :<math>\mathcal{O}_X \xrightarrow{F^a_{X/S}} \mathcal{O}_X \to k(x)</math> と、数論的フロベニウスの定義により、同じものとなる。結局、数論的フロベニウスは、明らかに X の自己準同型として、ガロア群の作用を示している。 <!--Consider the set of ''K''-points {{math|''X''(''K'')}}. This set comes with a Galois action: Each such point ''x'' corresponds to a homomorphism {{math|''O<sub>X</sub>'' → ''k''(''x'') ≅ ''K''}} from the structure sheaf to the residue field at ''x'', and the action of Frobenius on ''x'' is the application of the Frobenius morphism to the residue field. This Galois action agrees with the action of arithmetic Frobenius: The composite morphism :<math>\mathcal{O}_X \to k(x) \xrightarrow{F} k(x)</math> is the same as the composite morphism: :<math>\mathcal{O}_X \xrightarrow{F^a_{X/S}} \mathcal{O}_X \to k(x)</math> by the definition of the arithmetic Frobenius. Consequently, arithmetic Frobenius explicitly exhibits the action of the Galois group on points as an endomorphism of ''X''.--> == 局所体のフロベニウス == [[局所体]]の[[分岐 (数学)#不分岐|不分岐]][[有限拡大]] {{math|''L''/''K''}} が与えられると、'''フロベニウス自己準同型'''(Frobenius endomorphism)の概念が存在し、[[剰余体]]の対応する拡大の中のフロベニウス準同型を誘導する<ref name=FT144>{{cite book | last1=Fröhlich | first1=A. | author1-link=Albrecht Fröhlich | last2=Taylor | first2= M.J. | author2-link=Martin J. Taylor | title=Algebraic number theory | series=Cambridge studies in advanced mathematics | volume=27 | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=1991 | isbn=0-521-36664-X | zbl=0744.11001 | page=144 }}</ref>。 {{math|''L''/''K''}} を {{mvar|K}} の [[整数環]] ''O<sub>K</sub>'' を持つ局所体の不分岐拡大で、剰余体である最大イデアル {{mvar|φ}} を modulo とする {{mvar|K}} の整数が位数 {{mvar|q}} の有限体であるとする。{{math|Φ}} が {{mvar|φ}} 上にある {{mvar|L}} の素イデアルにならば、つまり、{{math|L/K}} が {{math|Φ}} を modulo として {{mvar|L}} の整数であるという定義により不分岐であるならば、{{mvar|L}} の剰余体は、{{mvar|K}} の剰余体を拡張である環 {{math|q<sup>f</sup>}} の有限体となる。ここに {{mvar|f}} は、{{math|''L/K''}} の次数である。{{mvar|L}} の整数環 {{math|O<sub>L</sub>}} の元に対するフロベニウス写像を :<math>s_\Phi(x) \equiv x^q \mod \Phi</math> となる {{mvar|L}} の自己同型 {{math|s<sub>Φ</sub>}} として定義する。 <!--== Frobenius for local fields == Given an [[unramified]] [[finite extension]] {{math|''L/K''}} of [[local field]]s, there is a concept of '''Frobenius endomorphism''' which induces the Frobenius endomorphism in the corresponding extension of [[residue field]]s.<ref name=FT144>{{cite book | last1=Fröhlich | first1=A. | author1-link=Albrecht Fröhlich | last2=Taylor | first2= M.J. | author2-link=Martin J. Taylor | title=Algebraic number theory | series=Cambridge studies in advanced mathematics | volume=27 | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=1991 | isbn=0-521-36664-X | zbl=0744.11001 | page=144 }}</ref> Suppose {{math|''L/K''}} is an unramified extension of local fields, with [[ring of integers]] ''O<sub>K</sub>'' of {{mvar|K}} such that the residue field, the integers of {{mvar|K}} modulo their unique maximal ideal {{mvar|φ}}, is a finite field of order {{mvar|q}}. If {{math|Φ}} is a prime of {{mvar|L}} lying over {{mvar|φ}}, that {{math|''L/K''}} is unramified means by definition that the integers of {{mvar|L}} modulo {{math|Φ}}, the residue field of {{mvar|L}}, will be a finite field of order {{math|''q<sup>f</sup>''}} extending the residue field of {{mvar|K}} where {{mvar|f}} is the degree of {{math|''L/K''}}. We may define the Frobenius map for elements of the ring of integers {{math|''O<sub>L</sub>''}} of {{mvar|L}} as an automorphism {{math|''s''<sub>Φ</sub>}} of {{mvar|L}} such that :<math>s_\Phi(x) \equiv x^q \mod \Phi.</math>--> ==大域体のフロベニウス== [[代数的整数論]]では、'''フロベニウス元'''(Frobenius elements)は、有限次[[ガロア拡大]]{{math|L/K}}において不分岐な {{mvar|L}} の[[素イデアル]] {{math|Φ}}に対して定義である。拡大は不分岐であるので、{{math|Φ}} の[[ガロア拡大での素イデアルの分解|分解群]]は剰余体の拡大のガロア群である。よって局所的な場合のように、フロベニウス元は {{mvar|L}} の整数環の元に対して次のように定義することができる。 :<math>s_\Phi(x) \equiv x^q \mod \Phi</math> ここに {{mvar|q}} は剰余体 {{math|O<sub>K</sub>}}/({{math|Φ ∩ O<sub>K</sub>}}) の位数である。 フロベニウスの持ち上げは{{仮リンク|p-微分|en|p-derivations}}(p-derivations)に対応している。 <!--==Frobenius for global fields== In [[algebraic number theory]], '''Frobenius elements''' are defined for extensions {{math|''L/K''}} of [[global field]]s that are finite [[Galois extension]]s for [[prime ideal]]s {{math|Φ}} of {{mvar|L}} that are unramified in {{math|''L/K''}}. Since the extension is unramified the [[decomposition group]] of {{math|Φ}} is the Galois group of the extension of residue fields. The Frobenius element then can be defined for elements of the ring of integers of {{mvar|L}} as in the local case, by :<math>s_\Phi(x) \equiv x^q \mod \Phi,</math> where {{mvar|q}} is the order of the residue field {{math|''O<sub>K</sub>''}} mod {{math|Φ}}. Lifts of the Frobenius are in correspondence with [[p-derivations]].--> ==例== 多項式 :{{math|x<sup>5</sup> − x − 1}} の[[判別式]]は :{{math|19 × 151}}, であるので、素数 3 上で不分岐である。また、mod 3 で既約でもある。従って、{{math|3}}-進数 {{math|'''Q'''<sub>3</sub>}} の体への根 {{math|ρ}} の添加は、{{math|'''Q'''<sub>3</sub>}} の不分岐拡大 {{math|'''Q'''<sub>3</sub>(''ρ'')}} を与える。{{math|ρ<sup>3</sup>}} に最も近い根をとることによりフロベニウス写像の {{math|ρ}} の像を見つけることができ、この方法を[[ニュートン法]](Newton's method)と呼ばれることもある。このようにして、整数の環 {{math|'''Z'''<sub>3</sub>[ρ]}} の元である、{{math|3}}-進整数に係数を持つ {{math|ρ}} で次数 4 を持つ多項式である。この多項式は、modulo {{math|3<sup>8</sup>}} では、 :<math>\rho^3 + 3(460+183\rho-354\rho^2-979\rho^3-575\rho^4)</math> である。 <!--==Examples== The polynomial :{{math|''x''<sup>5</sup> − ''x'' − 1}} has [[discriminant]] :{{math|19 × 151}}, and so is unramified at the prime 3; it is also irreducible mod 3. Hence adjoining a root {{mvar|ρ}} of it to the field of {{math|3}}-adic numbers {{math|'''Q'''<sub>3</sub>}} gives an unramified extension {{math|'''Q'''<sub>3</sub>(''ρ'')}} of {{math|'''Q'''<sub>3</sub>}}. We may find the image of {{mvar|ρ}} under the Frobenius map by locating the root nearest to {{math|''ρ''<sup>3</sup>}}, which we may do by [[Newton's method]]. We obtain an element of the ring of integers {{math|'''Z'''<sub>3</sub>[''ρ'']}} in this way; this is a polynomial of degree four in {{mvar|ρ}} with coefficients in the {{math|3}}-adic integers {{math|'''Z'''<sub>3</sub>}}. Modulo {{math|3<sup>8</sup>}} this polynomial is :<math>\rho^3 + 3(460+183\rho-354\rho^2-979\rho^3-575\rho^4)</math>.--> これは {{math|'''Q'''}} 上の代数的数であり、{{math|'''Q'''}} の {{math|'''Q'''<sub>3</sub>}} への埋め込みのことばで、大域的フロベニウスの像を正しく表したものである。さらに、係数は代数的であり、結果は代数的に表すことができる。しかし、これらはガロア群の位数である次数は 120 であり、{{math|p}}-進の結果が成り立てば、明らかに計算が非常に簡単に遂行できるという結果を示している。 {{math|L/K}} が大域体のアーベル拡大であれば、基礎体 {{math|K}} の素イデアル {{math|φ}} に依存するので、非常に強い合同関係が得られる。例えば、 :<math>\beta^5+\beta^4-4\beta^3-3\beta^2+3\beta+1=0</math> を満たす根 {{math|β}} を {{math|'''Q'''}} へ添加することで得られる {{math|'''Q'''}} の拡大 {{math|'''Q'''(β)}} を考える。この拡大は位数 5 の巡回拡大で、整数 {{math|n}} に対し根 :<math>2 \cos \tfrac{2 \pi n}{11}</math> を持っている。これは、{{math|β}} の[[チェビシェフ多項式]]の根を持っている。 :{{math|''β''<sup>2</sup> − 2, ''β''<sup>3</sup> − 3''β'', ''β''<sup>5</sup> − 5''β''<sup>3</sup> + 5''β''}} は素数 2, 3, 5 に対するフロベニウス写像の結果を与えるので、より大きな素数で 11 ではない素数、もしくは {{math|22n + 1}}（これは分解する）の形の素数に対しての結果となる。このことは、直ちに、どのようにしてフロベニウス写像が、根 {{math|β}} を p-番目のべきに mod {{math|p}} で等しいとする結果を与えるかを示している。 <!--This is algebraic over {{math|'''Q'''}} and is the correct global Frobenius image in terms of the embedding of {{math|'''Q'''}} into {{math|'''Q'''<sub>3</sub>}}; moreover, the coefficients are algebraic and the result can be expressed algebraically. However, they are of degree 120, the order of the Galois group, illustrating the fact that explicit computations are much more easily accomplished if {{mvar|p}}-adic results will suffice. If {{math|''L/K''}} is an abelian extension of global fields, we get a much stronger congruence since it depends only on the prime {{mvar|φ}} in the base field {{mvar|K}}. For an example, consider the extension {{math|'''Q'''(''β'')}} of {{math|'''Q'''}} obtained by adjoining a root {{mvar|β}} satisfying :<math>\beta^5+\beta^4-4\beta^3-3\beta^2+3\beta+1=0</math> to {{math|'''Q'''}}. This extension is cyclic of order five, with roots :<math>2 \cos \tfrac{2 \pi n}{11}</math> for integer {{mvar|n}}. It has roots which are [[Chebyshev polynomials]] of {{mvar|β}}: :{{math|''β''<sup>2</sup> − 2, ''β''<sup>3</sup> − 3''β'', ''β''<sup>5</sup> − 5''β''<sup>3</sup> + 5''β''}} give the result of the Frobenius map for the primes 2, 3 and 5, and so on for larger primes not equal to 11 or of the form {{math|22''n'' + 1}} (which split). It is immediately apparent how the Frobenius map gives a result equal mod {{mvar|p}} to the {{mvar|p}}-th power of the root {{mvar|β}}.--> == 脚注 == === 注釈 === {{notelist}} === 出典 === {{reflist|2}} ==参考文献== * {{cite book |last1 = Hungerford |first1 = Thomas W. |year = 1974 |title = Algebra |url = {{google books|e-YlBQAAQBAJ|plainurl=yes}} |publisher = Springer-Verlag |isbn = 978-1-4612-6103-2 |mr = 0354211 |zbl = 0293.12001 |ref = harv }} * {{cite book |last1 = Rotman |first1 = Joseph J. |year = 2010 |title = Advanced Modern Algebra |edition = Second |series = Graduate Studies in Mathematics |volume = 114 |url = {{google books|PhvhAwAAQBAJ|plainurl=yes}} |publisher = American Mathematical Society |isbn = 978-0-8218-4741-1 |mr = 2674831 |zbl = 1206.00007 |ref = harv }} ==関連項目== *[[完全体]] *[[フロベニオイド]](Frobenioid) == 外部リンク == *{{SpringerEOM|title=Frobenius automorphism|urlname=Frobenius_automorphism}} *{{SpringerEOM|title=Frobenius endomorphism|urlname=Frobenius_endomorphism}} {{デフォルトソート:ふろへにうすしこしゆんとうけい}} [[Category:ガロア理論]] [[Category:代数的整数論]] [[Category:有限群]] [[Category:有限体]] [[Category:フェルディナント・ゲオルク・フロベニウス]] [[Category:数学のエポニム]] [[Category:数学に関する記事]]
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フロベニウス自己準同型
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