フールマン三角形のソースを表示

[[ファイル:Fuhrmann_triangle.svg|サムネイル|フールマン三角形(赤): {{Mvar|△M'<sub>a</sub>M'<sub>b</sub>M'<sub>c</sub>}}<br />弧の中点: {{Mvar|M<sub>a</sub>,M<sub>b</sub>,M<sub>c</sub>}}]]
[[ファイル:Fuhrmann_triangle2.svg|サムネイル|フールマン三角形 (赤):<br />{{Mvar|△M'<sub>a</sub>M'<sub>b</sub>M'<sub>c</sub>}}<br /> {{Mvar|△M<sub>a</sub>M<sub>b</sub>M<sub>c</sub>~△M'<sub>a</sub>M'<sub>b</sub>M'<sub>c</sub>}}]]
[[ファイル:Fuhrmann_circle_triangle.svg|thumb|300px|right|フールマン三角形とフールマン円（赤色）。<math>N</math> および <math>H</math> はそれぞれ[[ナーゲル点]]と[[垂心]]を表し、元の三角形の[[内接円]]の半径を <math>r</math> とするとき、<math>|AP_a|=|BP_b|=|CP_c|=2r</math> が成り立つ。]]
'''フールマン三角形'''（フールマンさんかくけい、{{Lang-en-short|Fuhrmann triangle}}）は、[[ヴィルヘルム・フールマン]] (1833–1904)にちなんで名付けられた特別な三角形である<ref>{{Cite web |url=https://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201636.pdf |title=The Feuerbach Point and the Fuhrmann Triangle |access-date=2024/4/20 |publisher=Nguyen Thanh Dung}}</ref>。

{{Math|△''ABC''}}について、その[[外接円]]の、それぞれ{{Math|''A,B,C''}}を含まない[[弧 (幾何学)|円弧]]{{Math|''BC,CA,AB''}}の[[中点]]をそれぞれ{{Mvar|M<sub>a</sub>,M<sub>b</sub>,M<sub>c</sub>}}とする。これらの点を三角形の[[辺]]{{Math|''BC,CA,AB''}}で[[鏡映]]した点{{Mvar|M'<sub>a</sub>,M'<sub>b</sub>,M'<sub>c</sub>}}が作る三角形をフールマン三角形という<ref name="raj"> Roger A. Johnson: ''Advanced Euclidean Geometry''. Dover 2007, {{ISBN2|978-0-486-46237-0}}, pp.&nbsp;228–229,&nbsp;300 (originally published 1929 with Houghton Mifflin Company (Boston) as ''Modern Geometry'').</ref>。

フールマン三角形の外接円は、[[フールマン円]]と呼ばれる。フールマン三角形は弧の中点が成す三角形と逆向きに[[図形の相似|相似]]、つまり{{Mvar|△M<sub>a</sub>M<sub>b</sub>M<sub>c</sub>~△M'<sub>a</sub>M'<sub>b</sub>M'<sub>c</sub>}} である<ref name="raj" />。フールマン三角形の[[面積]]について、以下の式が成り立つ 。

: <math>|\triangle M^\prime_c M^\prime_b M^\prime_a| = \frac{s|OI|^2}{2R}=\frac{s(R-2r)}{2}</math>

ここで、 {{Mvar|O}}は[[外接円|外心]]、{{Mvar|R}}は外接円の半径、{{Mvar|I}}は[[内接円|内心]]、{{Mvar|s}}は[[半周長]]、{{Mvar|r}}は内接円の半径である。右辺は[[オイラーの定理 (平面幾何学)|オイラーの定理]]<math>|OI|^2=R(R-2r)</math>による変形である。フールマン三角形の辺については以下の式が成り立つ<ref name="mw"> <templatestyles src="Module:Citation/CS1/styles.css"></templatestyles>{{MathWorld|title=Fuhrmann triangle|urlname=FuhrmannTriangle}} (retrieved 2019-11-12)</ref>。

: <math>a^\prime=2\sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}}|OI|=\sqrt{\frac{a(s-a)(R-2r)}{r}}</math>
: <math>b^\prime=2\sqrt{\frac{s(s-b)}{ac}}|OI|=\sqrt{\frac{b(s-b)(R-2r)}{r}}</math>
: <math>c^\prime=2\sqrt{\frac{s(s-c)}{ab}}|OI|=\sqrt{\frac{c(s-c)(R-2r)}{r}}</math>

ここで、{{Mvar|a,b,c}}は各辺の長さである。 

フールマン三角形と、基準三角形の対応は以下のとおりである<ref name="mw" />。 
{| class="wikitable"
|+
!フールマン三角形
!基準三角形
|-
|外心X<sub>3</sub>
|フールマン円の中心X<sub>355</sub>
|-
|[[垂心]]X<sub>4</sub>
|内心X<sub>1</sub>
|-
|[[九点円]]の中心X<sub>5</sub>
|九点円の中心X<sub>5</sub>
|-
|[[キーペルト円錐曲線#キーペルト放物線|キーペルト放物線]]の焦点X<sub>110</sub>
|垂心X<sub>4</sub>
|-
|[[ジェラベク双曲線]]の中心X<sub>125</sub>
|[[シュピーカー点]]X<sub>10</sub>
|-
|[[オイラー線]]
|IN線(X<sub>1</sub>とX<sub>5</sub>を結ぶ線<ref>{{Cite web |title=CENTRAL LINES |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/CentralLines.html |website=faculty.evansville.edu |access-date=2024-04-20}}</ref>)
|}

== 一般化 ==
{{Math|△''ABC''}}と点{{Mvar|P}}について、{{Mvar|P}}の[[擬調和三角形]]を{{Mvar|△M<sub>a</sub>M<sub>b</sub>M<sub>c</sub>}}、{{Math|''BC,CA,AB''}}で{{Mvar|M<sub>a</sub>,M<sub>b</sub>,M<sub>c</sub>}}を鏡映した点を{{Mvar|M'<sub>a</sub>,M'<sub>b</sub>,M'<sub>c</sub>}}とする。{{Mvar|△M'<sub>a</sub>M'<sub>b</sub>M'<sub>c</sub>}}を{{Mvar|P}}'''フールマン三角形'''（P-Fuhrmann triangle）という<ref>{{Cite web |title=ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS Part4 X(5613) |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETCPart4.html#X5613 |website=faculty.evansville.edu |access-date=2024-04-19}}</ref>。{{Mvar|P}}の擬調和三角形とフールマン三角形は逆向きに相似である<ref>{{Cite web |url=https://forumgeom.fau.edu/FG2007volume7/FG200730.pdf |title=On a Construction of Hagge |access-date=2024/4/20 |publisher=Christopher J. Bradley and Geoff C. Smith}}</ref>。{{Mvar|P}}フールマン三角形の外接円は{{Mvar|P}}フールマン円、または{{Mvar|P}}[[フールマン円#一般化|ヘギー円]]と呼ばれる。{{Mvar|P}}が内心のときは単にフールマン三角形、フールマン円である。

== 出典 ==
<references />

{{デフォルトソート:ふうるまんさんかくけい}}
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[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]