フールマン円のソースを表示

[[ファイル:Fuhrmann_circle.svg|thumb|300px|right|フールマン円]]
[[ファイル:Fuhrmann_circle_triangle.svg|thumb|300px|right|フールマン円とフールマン三角形（赤色）。<math>N</math> および <math>H</math> はそれぞれ[[ナーゲル点]]と[[垂心]]を表し、元の三角形の[[内接円]]の半径を <math>r</math> とするとき、<math>|AP_a|=|BP_b|=|CP_c|=2r</math> が成り立つ。]]
[[幾何学|ユークリッド幾何学]]において、'''フールマン円'''（ふーるまんえん、{{Lang-en|Fuhrmann circle}}）は、[[ドイツ]]の数学者、[[ヴィルヘルム・フールマン]]にちなんで名づけられた、[[ナーゲル点]] <math> N</math>と[[垂心]] <math>H</math> を[[直径]]の両端とする[[円 (数学)|円]]である。また[[フールマン三角形]]の[[外接円]]でもある<ref> Roger A. Johnson: ''Advanced Euclidean Geometry''. Dover 2007, {{ISBN2|978-0-486-46237-0}}, pp.&nbsp;228–229,&nbsp;300 (originally published 1929 with Houghton Mifflin Company (Boston) as ''Modern Geometry'').</ref>。フールマン円の中心は「[[Encyclopedia of Triangle Centers]]」においてX(355)として登録されている<ref>{{Cite web |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html |title=Encyclopedia of Triangle Centers |access-date=2024-03-13 |publisher=エヴァンズビル大学}}</ref>。

任意の三角形について、その辺長をそれぞれ ''a'',''b'',''c''、内角をそれぞれ ''A'',''B'',''C''、[[半周長]]を''s''、[[外接円]]の[[半径]]を''R''、[[内接円]]の半径を''r''とすると、フールマン円の半径 <math>R_F</math> は

<math display="block">\begin{align}
R_F &= \sqrt{R(R-2r)} \\
&= R\sqrt{3-2(\cos A+\cos B+\cos C)} \\
&= R\sqrt{1-\frac{8(s-a)(s-b)(s-c)}{abc}} \\
&= \sqrt{\frac{abc\,}{2s}\left\{\frac{abc\,}{8(s-a)(s-b)(s-c)}-1 \right\}} \\
\end{align}</math>

である。これは[[オイラーの定理 (平面幾何学)|オイラーの定理]]により、[[外接円|外心]]と[[内心]]の距離と等しい。

また、垂心でないほうの、各[[頂垂線 (三角形)|頂垂線]]とフールマン円との交点について、同一頂垂線上に在る各頂点との距離が内接円の直径と等しくなる。 

フールマン円の中心と[[内接円|内心]]の中点は[[九点円]]の中心である<ref>{{Cite web |url=https://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201636.pdf |title=The Feuerbach Point and the Fuhrmann Triangle |access-date=2024/3/26 |publisher=[[Forum Geometricorum]]}}</ref>。 

== 一般化 ==
{{Math|△''ABC''}}について、その辺上にない点{{Math|''P''}}の[[擬調和三角形]]を{{Math|△''A'B'C' ''}}とする。また、{{Mvar|A',B',C'}}をそれぞれ{{Mvar|BC,CA,AB}}で鏡映した点を{{Mvar|P<sub>a</sub>,P<sub>b</sub>,P<sub>c</sub>}}とする。{{Mvar|△P<sub>a</sub>P<sub>b</sub>P<sub>c</sub>}}（[[フールマン三角形#一般化|{{Math|''P''}}フールマン三角形]]）の外接円を{{Math|''P''}}の'''ヘギー円'''（{{Math|''P''}}-Hagge circle）または{{Math|''P''}}のフールマン円（{{Math|''P''}}-Fuhrmann circle）と言う<ref>{{Cite web |title=The Hagge Circle - Wolfram Demonstrations Project |url=http://demonstrations.wolfram.com/TheHaggeCircle/ |website=demonstrations.wolfram.com |access-date=2024-03-31}}</ref><ref>{{Cite web |url=https://forumgeom.fau.edu/FG2007volume7/FG200730.pdf |title=On a Construction of Hagge |access-date=2024/4/1 |publisher=[[Forum Geometricorum]] |author=Christopher J. Bradley ,Geoff C. Smith}}</ref><ref>{{Cite web |url=https://arxiv.org/pdf/1007.2761 |title=The Four Hagge Circles |access-date=2024/6/26 |publisher=[[arXiv]]}}</ref><ref>{{Cite web |url=https://arxiv.org/pdf/1007.1220 |title=Omega Circles |access-date=2024/6/26 |publisher=[[arXiv]]}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Bradley|first=C. J.|last2=Smith|first2=G. C.|last3=Bradley|first3=Christopher|last4=Smith|first4=Geoff|date=2007|title=Hagge Circles and Isogonal Conjugation|url=https://www.jstor.org/stable/40378342|journal=The Mathematical Gazette|volume=91|issue=521|pages=202–207|issn=0025-5572}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Peiser|first=A. M.|date=1942-10|title=The Hagge Circle of a Triangle|url=https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/00029890.1942.11991276|journal=The American Mathematical Monthly|volume=49|issue=8|pages=524–527|language=en|doi=10.1080/00029890.1942.11991276|issn=0002-9890}}</ref>。名称は[[カール・ヘギー]]に由来する<ref>{{Cite web |url=https://arxiv.org/pdf/2311.15645 |title=Hagge configurations and a projective  generalization of inversion |access-date=2024/6/26 |publisher=[[arXiv]] |author=Zoltan Szilasi}}</ref>。{{Math|''P''}}が内心のとき、ヘギー円はフールマン円となる。フールマン円と同様、ヘギー円は以下の性質を満たす<ref>{{Cite web |url=https://people.bath.ac.uk/masgcs/Article1.pdf |title=The Story of Hagge and Speckman |access-date=2024/4/1 |publisher=[[バース大学]] |author=Christopher J Bradley}}</ref>。

* ヘギー円は垂心を通る（First Hagge theorem<ref name=":0">{{Cite web |url=https://arxiv.org/pdf/1007.2762 |title=Generalizations of Hagge’s Theorems |access-date=2024/6/26 |publisher=[[arXiv]]}}</ref>）。
* {{Math|''P''}}の[[等角共役点]]{{Math|''P*''}}と{{Math|''P''}}のヘギー円の中心の中点は、九点円の中心である。
* ヘギー円の半径は{{Math|''P*''}}と外心の距離に等しい。
* 垂心のヘギー円に対する対蹠点、重心、{{Math|''P*''}}は共線である。
Christopher J Bradleyは[[対垂三角形]]を用いたヘギー円の一般化を発表している<ref name=":0" />。

2020年、Vu Thanh Tungはさらなる一般化を示した<ref>{{Cite web |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETCpart19.html#X37806 |title=[[Encyclopedia of Triangle Centers]] X(37806) preamble |access-date=2024-10-30 |author=[[Clark Kimberling]]}}</ref>。

点{{Mvar|P,U}}に対して、{{Mvar|AU,BC}}の交点を{{math|''A''{{sub|0}}}}、円{{Mvar|PBC}}と直線{{Mvar|AP}}の{{Mvar|P}}でない方の交点を{{math|''A''{{sub|1}}}}、直線{{math|''A''{{sub|0}}''A''{{sub|1}}}}と円{{Mvar|PBC}}の{{math|''A''{{sub|1}}}}でない方の交点を{{math|''A''{{sub|2}}}}とする。同様に{{math|''B''{{sub|2}},''C''{{sub|2}}}}も定義したとき、{{math|''P'',''A''{{sub|2}},''B''{{sub|2}},''C''{{sub|2}}}}は共円である。この円をVu Circleという。{{Mvar|P}}を垂心とすれば、ヘギー円となる。

== 注釈 ==
<references responsive="1"></references>
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* J. A. Scott: ''An Eight-Point Circle''. In: ''The Mathematical Gazette'', Volume 86, No. 506 (Jul., 2002), pp. 326–328 ([https://www.jstor.org/stable/3621878 JSTOR])

== 外部リンク ==
* {{Cite web |url=http://jwilson.coe.uga.edu/EMT668/EMAT6680.2000/Westmoreland/gems/fuhrmann/fuhrmann.html |title=Fuhrmann circle |access-date=2024-03-21 |author=Doug Westmoreland |publisher=the University of Georgia}}
* {{MathWorld|urlname=FuhrmannCircle|title=Fuhrmann Circle}}
{{デフォルトソート:ふうるまんえん}}
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