ブルン定数のソースを表示

{{出典の明記|date=2015年12月}}
{{Expand English|Brun's theorem|date=2024年5月}}
'''ブルン定数''' (Brun's constant) は[[数学定数]]の一つで {{math|''B''{{sub|2}}}} と表記されることが多い。この数は、[[双子素数]]の[[逆数]]の和の[[極限]]として定義される。すなわち、
:<math>B_2 =\left( \frac{1}{3} +\frac{1}{5} \right)
+\left(\frac{1}{5} +\frac{1}{7} \right)
+\left(\frac{1}{11} +\frac{1}{13} \right)
+\left(\frac{1}{17} +\frac{1}{19} \right)
+\left(\frac{1}{29} +\frac{1}{31} \right) +\cdots</math>
である。素数の逆数和が（[[無限|無限大]]に）発散することは[[レオンハルト・オイラー|オイラー]]により知られていたが、双子素数については[[ヴィーゴ・ブルン]]が[[1919年]]にこの級数は収束することを示した。そのため、双子素数は無数に存在するかどうかは引き続き未解決である。また、この極限が[[無理数]]であるか[[有理数]]であるかも未解決である（もし無理数ならば双子素数は無数に存在すると分かる）。<!-- この数は、[[ジョン・バークリー・ロッサー]]らによりさらに研究された。
英語版によれば、Brun sieve を改良したとのこと。数そのものを研究したと言ってよいのか。 -->

1996年、Thomas R. Nicely は {{math|10{{sup|14}}}} 以下の双子素数までの部分和を計算した（部分和は {{math|1.902160578}}）<ref name=sebah_demichel>[https://web.archive.org/web/20180808073240/https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.464.1118&rep=rep1&type=pdf]</ref>。なお、その過程で彼は有名なCPUに関するバグである [[Pentium FDIV バグ]]を発見した。2002年の Pascal Sebah と Xavier Gourdon の2人の論文では {{math|10{{sup|16}}}} までの部分和を計算（{{math|1.902160583104…}}）し、ブルン定数は
:{{math|''B''{{sub|2}} {{=}} 1.902160583…}}
であると推定した<ref name=sebah_demichel/>。

また、同様の数が[[四つ子素数]]についても定義される。これは'''四つ子素数に対するブルン数'''と呼ばれ、しばしば {{math|''B''{{sub|4}}}} と表記される。四つ子素数とは値が 4 離れた2つの双子素数の組で、小さい方から {{math|(5, 7, 11, 13)}}, {{math|(11, 13, 17, 19)}}, {{math|(101, 103, 107, 109)}} となる。すなわち {{math|''B''{{sub|4}}}} は次の式で与えられる。
:<math>B_4 =\left(\frac{1}{5} +\frac{1}{7} +\frac{1}{11} +\frac{1}{13}\right)
+\left( \frac{1}{11} +\frac{1}{13} +\frac{1}{17} +\frac{1}{19} \right)
+\left( \frac{1}{101} +\frac{1}{103} +\frac{1}{107} +\frac{1}{109} \right) +\cdots</math>
この値はおよそ
:{{math|''B''{{sub|4}} {{=}} 0.87058 83800 ± 0.00000 00005}}
と推計されている。

==脚注==
{{Reflist}}

{{DEFAULTSORT:ふるんていすう}}
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