ブルン定数

テンプレート:出典の明記 テンプレート:Expand English ブルン定数 (Brun's constant) は数学定数の一つで テンプレート:Math と表記されることが多い。この数は、双子素数の逆数の和の極限として定義される。すなわち、

$B_2=(\frac{1}{3}+\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}+\frac{1}{7})+(\frac{1}{11}+\frac{1}{13})+(\frac{1}{17}+\frac{1}{19})+(\frac{1}{29}+\frac{1}{31})+\cdots$

である。素数の逆数和が（無限大に）発散することはオイラーにより知られていたが、双子素数についてはヴィーゴ・ブルンが1919年にこの級数は収束することを示した。そのため、双子素数は無数に存在するかどうかは引き続き未解決である。また、この極限が無理数であるか有理数であるかも未解決である（もし無理数ならば双子素数は無数に存在すると分かる）。

1996年、Thomas R. Nicely は テンプレート:Math 以下の双子素数までの部分和を計算した（部分和は テンプレート:Math）。なお、その過程で彼は有名なCPUに関するバグである Pentium FDIV バグを発見した。2002年の Pascal Sebah と Xavier Gourdon の2人の論文では テンプレート:Math までの部分和を計算（テンプレート:Math）し、ブルン定数は

テンプレート:Math

であると推定した。

また、同様の数が四つ子素数についても定義される。これは四つ子素数に対するブルン数と呼ばれ、しばしば テンプレート:Math と表記される。四つ子素数とは値が 4 離れた2つの双子素数の組で、小さい方から テンプレート:Math, テンプレート:Math, テンプレート:Math となる。すなわち テンプレート:Math は次の式で与えられる。

$B_4=(\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{11}+\frac{1}{13})+(\frac{1}{11}+\frac{1}{13}+\frac{1}{17}+\frac{1}{19})+(\frac{1}{101}+\frac{1}{103}+\frac{1}{107}+\frac{1}{109})+\cdots$

この値はおよそ

テンプレート:Math

と推計されている。