ブレイド群のソースを表示

数学において'''ブレイド群'''（braid group、'''組みひも群'''とも呼ぶ）とは、直観的には平行に張られた複数の紐（braid）において、その隣り合う紐を交差させる操作を生成元とし、常に同じ絡まり方を生じる異なる交差操作の等式を関係式とする[[群 (数学)|群]]である。特に紐が{{mvar|n}}本のときこの群を{{math|''B<sub>n</sub>''}}と書く。

ブレイド群は1925年に[[エミール・アルティン]]により初めて明確に定義された。しかしそれ以前に[[配置空間]]の[[基本群]]として、1891年の[[アドルフ・フルヴィッツ]]の[[モノドロミー]]の論文において暗に現れており<ref>
{{cite book |series=Lecture Notes in Mathematics |volume=372 |first=Wilhelm |last=Magnus |chapter=Braid groups: A survey |chapterurl=https://link.springer.com/content/pdf/10.1007%2F978-3-662-21571-5_49.pdf |title=Proceedings of the Second International Conference on the Theory of Groups |editor=Newman M.F.| accessdate=2021-09-29|publisher=Springer |year=1974 |isbn=978-3-540-06845-7 |pages=463–487 |doi=10.1007/978-3-662-21571-5_49}}
</ref>、更に遡って[[ガウス]]もアルティンと同様の着想を得ていたとも考えられている。

==定義==

=== 特殊なnの場合 ===
以下n=4とする。

一列に並んだ4点が二組あり、それらの間を結ぶ平行な紐が4本ある下図（以下eにより参照）のような状況を考える。

{| style="text-align:center;"
| [[File:Braid e.png]]<br><math>e</math>
|}

これらの紐に対し隣同士の紐を交差させる以下の3つの操作<math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>を考える。

{| style="text-align:center;"
|-
| [[File:braid s1.png]]<br><math>\sigma_1</math>
| [[File:braid s2.png]]<br><math>\sigma_2</math>
| [[File:braid s3.png]]<br><math>\sigma_3</math>
|}

これらの紐の交差においては上下を区別しており、例えば以下は<math>\sigma_1</math>とは異なる操作と看做される（これは後述の積の定義により<math>\sigma_1</math>の逆元である<math>\sigma_1^{-1}</math>と看做せる）。

{| style="text-align:center;"
| [[File:Braid s1 inv.png]]
|}

<math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>及び、その交差の上下を逆にした操作を繰り返して得られる一つの具体的な紐の状態を'''ブレイド'''又は'''組紐'''と呼ぶ（以下上図の<math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>自身もブレイドとも看做すこととする）。

二つのブレイドa, bがあるとき、aの右にbを繋げaの元の左の端点とbの右の端点を新たな端点とするブレイドを、aとbの積abと定義する。
以下に例を示す。

{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|+ 積の例
! !! a !! b !! ab
|-
! 例1
| [[File:braid s3.png]]<br><math>\sigma_3</math>
| [[File:braid s2.png]]<br><math>\sigma_2</math>
| [[File:braid s3s2.png]]<br><math>\sigma_3 \sigma_2</math>
|-
! 例2
| [[File:braid s1 inv s3 inv.png]]<br><math>\sigma_1^{-1} \sigma_3^{-1}</math>
| [[File:braid s1 s3 inv.png]]<br><math>\sigma_1 \sigma_3^{-1}</math>
| [[File:braid s3 inv squared.png]]<br><math>\sigma_3^{-2}</math>
|}

任意のブレイドと、冒頭のブレイド<math>e</math>の積は元のブレイドを変えない（即ち<math>e</math>は単位元）。
また任意のブレイドに対し、その右端の全点を通る縦線を軸として鏡映反転させたブレイドとの積を取ると<math>e</math>となるため、常に[[逆元]]が存在することがわかる。
従ってブレイドは上記の積に関して群となり、この群が<math>B_4</math>である。
定義より<math>B_4</math>の任意のブレイドを<math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>及び、その逆元の積として表現することができる。

<!--
例えば下の2つのブレイドが同値であることは元の
{| style="text-align:center;"
|-
| [[File:Braid s1 inv alt.png]]<br><math>\sigma_1^{-1}\sigma_2\sigma_3^{-1}\sigma_3\sigma_2^{-1}</math>
| [[File:Braid s1 inv.png]]<br><math>\sigma_1^{-1}</math>
|}
-->

<math>B_4</math>を<math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>を生成元とする群とみたとき、その基本関係式は下記1~3と定められる。これらは本質的に同じ絡まり方を表すブレイドに関する等式であり、1は対象に共通の紐がない交差操作は可換であることを示す条件で、2及び3は[[ライデマイスター移動]]III型の同値性に相当する。

[[File:ReidMoveIII fixed for wikipedia n-coloring page.png|thumb |right |[[ライデマイスター移動]]III型]]
# <math>\sigma_1 \sigma_3 = \sigma_3 \sigma_1</math>
# <math>\sigma_1 \sigma_2 \sigma_1 = \sigma_2 \sigma_1  \sigma_2</math>
# <math>\sigma_2 \sigma_3 \sigma_2 = \sigma_3 \sigma_2 \sigma_3</math>

=== 一般のnの場合 ===

この例を {{math|''n''}} 本の紐へ一般化して、群 {{math|''B<sub>n</sub>''}}は次の[[群の表示|表示]]により定義される。{{Refnest
|group="注"
|<math>n=\infty</math>に対して、即ち{{math |''B''<sub>∞</sub>}}を、屡々右のように定義することがある：
{{math|''B<sub>n</sub>''}} は、1本の新しい紐を最初の {{math|''n''}} 本の紐のいづれとも交差することなく加えることにより、{{math|(''n''+1)}}-本の糸のブレイド群 {{math|''B''<sub>''n''+1</sub>}} の[[部分群]]として埋め込める。
そのような包含関係を前提として、すべての {{math|''n'' ≥ 1}} に対するブレイド群の合併（[[帰納極限]]）を{{math|''B''<sub>∞</sub>}}とする。
}}

:<math>B_n= \left \langle
\sigma_1,\ldots,\sigma_{n-1}|
\sigma_i\sigma_j=\sigma_j\sigma_i
,\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i=\sigma_{i+1}\sigma_i\sigma_{i+1} \right
\rangle\ . </math>

ここに、最初の等式では{{math|{{!}}''i''&nbsp;−&nbsp;''j''{{!}} ≥ 2}} であり、第二の等式では{{math|1&nbsp;≤&nbsp;''i''&nbsp;≤&nbsp;''n''−2}}である。
{{Refnest |group="注"
|この表示は、{{仮リンク|アルティン群|en|Artin group}}(Artin group)と呼ばれるブレイド群の一般化を導く。}}
これらの関係式は'''ブレイド関係式'''（braid relations）と呼ばれている。{{Refnest |group="注"
|ブレイド関係式は、{{仮リンク|ヤン・バクスター方程式|en|Yang–Baxter equation}}(Yang–Baxter equation)の理論の中で重要な役目を担う。}}

==基本的性質==

* {{math|''B''<sub>1</sub>}} は[[自明群|自明な群]]、{{math|''B''<sub>2</sub>}} は[[無限巡回群]] {{math|'''Z'''}} であり、{{math|''B''<sub>3</sub>}} は[[三葉結び目]]の[[結び目群]]と同型である。

* {{math|''n'' ≥ 3}} に対し、{{math|''B<sub>n</sub>''}} は 2つの生成元を持つ[[自由群]]と同型な部分群を含む。従ってこれらの群は[[可換群|非可群]]な無限群である。

* 単位元を除くすべての {{math|''B<sub>n</sub>''}} の元は、その[[位数 (群論)|位数]]が無限である。即ち、{{math|''B<sub>n</sub>''}} は[[捩れ (代数)|捩れを持たない]]。

* {{math|''B<sub>n</sub>''}} 上には、{{仮リンク|Dehornoy順序|en|Dehornoy order}}と呼ばれる左不変な[[全順序]]が存在する。

==ブレイドの解釈==

===結び目としての解釈===
{{Main|組み紐 (数学)}}
ブレイドの両端をつなげることにより一つの結び目又は絡み目が得られる。
逆に、すべての[[結び目 (数学)|結び目]]と[[絡み目]]は少なくとも一つのブレイドとして表現可能であることが知られている（[[アレクサンダーの定理]]）。
ブレイドは生成子 {{math|σ<sub>''i''</sub>}}に関する語(word)として与えられるため、計算機プログラムで結び目を扱う方法として採用されている。

===写像類群とブレイドの分類への関係===
ブレイド群 {{math|''B<sub>n</sub>''}} は、{{math|''n''}} 個の穴を有する円板の{{仮リンク|写像類群|en|mapping class group}}(mapping class group)と同型であることを示すことができる。これは直感的には、写像類群の各元が穴同士を入れ替えるので、元の作用前後の同じ位置にある穴を繋ぐ紐の集合をブレイドと看做すことでブレイドと対応させることができることによる。

写像類群の元に関する{{仮リンク|ニールセン・サーストン分類|en|Nielsen-Thurston classification}}(Nielsen-Thurston classification)によって、ブレイドを周期的、可約、擬アノソフの3種類に分類することができる。

==ブレイド群の作用==
置換による対称群の作用と類似して、様々な数学的設定における{{math|''n''}}個の対象の組や{{math|''n''}}重の[[テンソル積]]に対して、ブレイド群は以下の自然な作用を有する。

{{math|''G''}} を任意の群、{{math|''X''}} を {{math|''G''}} の元のすべての {{math|''n''}}個の組の集合で、それらの積が {{math|''G''}} の単位元となる集合とすると、<math>\sigma \in B_n, \{x_i\}\in X</math>に対する以下の写像は{{math|''X''}} の上への{{math|''B<sub>n</sub>''}}の[[群の作用|作用]]である。

: <math> \sigma_i \left (x_1,\ldots,x_{i-1},x_i, x_{i+1},\ldots, x_n \right)= \left (x_1,\ldots, x_{i-1}, x_{i+1}, x_{i+1}^{-1}x_i x_{i+1}, x_{i+2},\ldots,x_n \right ). </math>

この対応は、成分{{math|''x<sub>i</sub>''}} と {{math|''x''<sub>''i''+1</sub>}} の位置を交換し、更に{{math|''x<sub>i</sub>''}}を{{math|''x''<sub>''i''+1</sub>}}に関する[[内部自己同型]]を付加しただけであるため、作用後の元の成分の積が再び単位元であることが保証される。また、これがブレイド群の関係式を満たすことも確認できる。

別な例として、ブレイド群の作用を持つ[[モノイダル圏]]として{{仮リンク|ブレイドモノイダル圏|en|braided monoidal category}}(braided monoidal category)が考えられている。そのような構造は、現代の[[数理物理学]]で重要な役目を果し、量子[[結び目不変量]]を導く。

==ブレイド群の表現==
ブレイド群 {{math|''B<sub>n</sub>''}} の線形[[群の表現|表現]]として古典的な{{仮リンク|Burau表現|en|Burau representation}}や、{{仮リンク|Lawrence-Krammer(-Bigelow)表現|en|Lawrence–Krammer representation}}が知られている。{{Refnest |group="注" |これらはより一般的なLawrence表現の特殊化である。}}

Burau表現は、1変数の整係数[[ローラン多項式]]環の一般線形群への表現と看做せる：
:<math> B_n \to GL_{n-1}(\Z[\Z]). </math>

Burau表現が[[忠実表現|忠実]]であるか否かは長い間問題となっていたが、{{math|''n''&nbsp;≥&nbsp;5}} に対しては否定的であることが判明した。

Lawrence-Krammer(-Bigelow)表現は、2変数の整係数[[ローラン多項式]]環の一般線形群への表現と看做せる：
:<math> B_n \to GL_{\binom n2}(\Z[\Z^2]). </math>

2001年頃Stephen BigelowとDaan Krammerが独立に、この表現を用いてすべてのブレイド群が線型であることを証明した。

1996年、C. Nayakと[[フランク・ウィルチェック|フランツ・ウィルチェック]](Frank Wilczek)は、{{math|SO(3)}}の射影表現の類似として、ブレイド群の射影表現が[[分数量子ホール効果]]における[[準粒子]]に関する物理的意味を有することを提唱した<ref>{{citation |first1=Chetan |last1=Nayak |first2=Frank |last2=Wilczek | author-link2=Frank Wilczek|title={{math|2''n''}} Quasihole States Realize {{math|2<sup>''n''-1</sup>}}-Dimensional Spinor Braiding Statistics in Paired Quantum Hall States |date=1996 |doi=10.1016/0550-3213(96)00430-0 |arxiv=cond-mat/9605145 |volume=479 |issue=3 |journal=Nuclear Physics B |pages=529–553|bibcode=1996NuPhB.479..529N |s2cid=18726223 }}  Some of Wilczek-Nayak's proposals subtly violate known physics; see the discussion {{citation |first=N. |last=Read |title=Nonabelian braid statistics versus projective permutation statistics |journal=Journal of Mathematical Physics |volume=44 |issue=2 |pages=558–563 |year=2003 |arxiv=hep-th/0201240 |doi=10.1063/1.1530369|bibcode=2003JMP....44..558R |s2cid=119388336 }}</ref>。

== その他 ==
===計算関係===
ブレイドには生成元{{math|σ<sub>1</sub>, ..., σ<sub>''n''</sub>}}による[[正規化 (項書き換え)|正規化表現]]が存在し、ブレイドの{{仮リンク|群の語の問題|label=語の問題|en|word problem for groups}}(word problem)を効率的に処理することができる。
実際[[GAP (数式処理システム)|数式処理システム]]には、生成元で与えられたブレイドに対してこの問題を解くことができるものがある。{{Refnest
|group="注"
|例えばGAP3 の CHEVIE と呼ばれるシステムでは、特別な種類のブレイド群をサポートしている。
}}
語の問題は、{{仮リンク|ローレンス・クラマー表現|en|Lawrence-Krammer representation}}(Lawrence-Krammer representation)を通しても効率的に解くことができる。

その他、ブレイド群に関する計算論的に難しい問題があるため、[[暗号理論]]への応用が提案されている。<ref>{{cite arXiv |last=Garber |first=David |eprint=0711.3941v2 |title=Braid Group Cryptography |class=cs.CR |date=2009 }}</ref>

=== {{math|''B''<sub>3</sub>}} とモジュラー群の関係 ===

{{Main|モジュラー群#群論的な性質}}

ブレイド群 B<sub>3</sub>は、[[モジュラー群]]<math>\Gamma</math>の中心拡大（central extension）である。即ち、<math>B_3</math>の[[中心 (代数学)#群の中心|中心]]を<math>Z(B_3)</math>により表すとき以下の[[完全系列#短完全列|短完全列]]を満たす：

:<math>1 \to Z(B_3) \to B_3 \to \Gamma \to 1</math>

従って<math>\Gamma \cong B_3/Z(B_3)</math>である。

==関連する群==

===純粋ブレイド群===
ブレイドの紐の交差の上下を無視すると、{{math|''n''}} 本の紐のブレイドは {{math|''n''}} 個の元の置換を定める。実際ブレイド <math>\sigma_i \in B_n</math>の像を[[対称群#互換|隣接互換]] {{math|''s''<sub>''i''</sub> {{=}} (''i'', ''i''+1) ∈ ''S<sub>n</sub>''}} とする写像は、ブレイド群から[[対称群]]への[[全射]][[群準同型]] {{math|''B<sub>n</sub>'' → ''S<sub>n</sub>''}} である。
この準同型 {{math|''B<sub>n</sub>'' → ''S<sub>n</sub>''}} の[[核 (代数学)|核]]を'''純粋ブレイド群'''（pure braid group）と呼び、{{math|''P<sub>n</sub>''}} と書く。即ち純粋ブレイド群は以下の[[完全系列#短完全列|短完全列]]を満たすものである。

: <math>1\to P_n \to B_n \to S_n \to 1.</math>

純粋ブレイド群は、その元が単位置換に写像されるものであるため、幾何学的には各々の紐において起点と終点が必ず同じ位置にあるブレイドの全体と解釈することができる。

また純粋ブレイド群は、以下の分裂する[[完全系列|短完全系列]]を満たすため、一般論から[[自由群]]の[[半直積]]を繰り返し取ったものと看做すこともできる。

: <math>1\to F_{n-1} \to P_n \to P_{n-1}\to 1.</math>

<!--
=== コホモロジー ===
{{See also|Configuration space (mathematics)#Connection to braid groups}}

The [[Group cohomology|cohomology of a group]] <math>G</math> is defined as the cohomology of the corresponding [[Eilenberg–MacLane space|Eilenberg–MacLane]] [[classifying space]], <math>K(G, 1)</math>, which is a [[CW複体]] uniquely determined by <math>G</math> up to homotopy. A classifying space for the braid group <math>B_n</math> is the {{var|n}}<sup>th</sup> unordered [[Configuration space (mathematics)|configuration space]] of <math>\R^2</math>, that is, the set of <math>n</math> distinct unordered points in the plane:<ref>{{Cite book|title=Braids|last=Ghrist|first=Robert|author-link=Robert Ghrist|date=2009-12-01|publisher=[[World Scientific]]|
isbn=9789814291408|series=Lecture Notes Series, Institute for Mathematical Sciences, National University of Singapore|volume=19|pages=263–304|doi=10.1142/9789814291415_0004|chapter = Configuration Spaces, Braids, and Robotics}}</ref> 
:<math>\operatorname{UConf}_n(\R^2) = \{ \{u_1, ..., u_n\} : u_i \in \R^2, u_i \neq u_j \text{ for } i \neq j \}</math>.
So by definition
:<math> H^*(B_n) = H^*(K(B_n, 1)) = H^*(\operatorname{UConf}_n(\R^2)). </math>

The calculations for coefficients in <math>\Z/2\Z</math> can be found in Fuks (1970).<ref>{{cite journal|last=Fuks|first=Dmitry B.| author-link=Dmitry Fuchs|title=Cohomology of the braid group mod 2| journal=Functional Analysis and Its Applications |volume=4|issue=2|year=1970 |pages=143–151| doi=10.1007/BF01094491| mr=0274463|s2cid=123442457 |language=en}}</ref>

Similarly, a classifying space for the pure braid group <math>P_n</math> is <math>\operatorname{Conf}_n(\R^2)</math>, the {{var|n}}<sup>th</sup> ''ordered'' [[Configuration space (mathematics)|configuration space]] of <math>\R^2</math>.

In 1968 [[Vladimir Arnold]] showed that the integral cohomology of the pure braid group <math>P_n</math> is the quotient of the [[exterior algebra]] generated by the collection of degree-one classes <math>\omega_{ij} \; \; 1 \leq i < j \leq n</math>, subject to the relations<ref>{{cite journal|last=Arnol'd|first=Vladimir|author-link=Vladimir Arnold|title=The cohomology ring of the colored braid group|journal=Mat. Zametki |volume=5|year= 1969|pages= 227–231|mr=0242196 |
url=http://www.pdmi.ras.ru/~arnsem/Arnold/arnold_MZ69e.pdf}}</ref>
:<math>\omega_{k,\ell} \omega_{\ell,m} + \omega_{\ell,m} \omega_{m,k} + \omega_{m,k} \omega_{k,\ell} =0.</math>

-->

==関連事項==
* [[組み紐 (数学)|組みひも理論]]
* {{仮リンク|非可換暗号理論|en|Non-commutative cryptography}}(Non-commutative cryptography）

==脚注==
===注釈===
{{Reflist |group="注"}}
===出典===
<references/>

==さらに先の書籍==
{{refbegin}}
*{{citation |last=Birman |first=Joan |last2=Brendle |first2=Tara E. |title=Braids: A Survey |date=26 February 2005 |arxiv=math.GT/0409205}}. In {{harvnb|Menasco|Thistlethwaite|2005}}
*{{citation |last=Carlucci |first=Lorenzo |last2=Dehornoy |first2=Patrick |last3=Weiermann |first3=Andreas |title=Unprovability results involving braids |date=23 November 2007 |arxiv=0711.3785}}
*{{citation |last=Kassel |first=Christian |last2=Turaev |first2=Vladimir |title=Braid Groups |publisher=Springer |year=2008 |isbn=0-387-33841-1 |url=https://books.google.co.jp/books?id=y6Cox3XjdroC&redir_esc=y&hl=ja}}
*{{citation |editor-last=Menasco |editor-first=W. |editor2-last=Thistlethwaite |editor2-first=M. |title=Handbook of Knot Theory |publisher=Elsevier |year=2005 |isbn=0-444-51452-X }}
{{refend}}

== 外部リンク ==
*{{planetmath reference|id=4604|title=Braid group}}
*[http://www.acc.stevens.edu/downloads.php CRAG: CRyptography and Groups] at [http://www.acc.stevens.edu Algebraic Cryptography Center] Contains extensive library for computations with Braid Groups
*{{SpringerEOM| title=Braid theory | id=Braid_theory | oldid=1855 | first=A.V. | last=Chernavskii }}
*Stephen Bigelow's [http://math.ucsb.edu/~bigelow/braids.html exploration of B5] Java applet.
*{{citation |first=Helger |last=Lipmaa |title=Cryptography and Braid Groups page |url=http://research.cyber.ee/~lipmaa/crypto//link/public/braid/ |archiveurl=https://web.archive.org/web/20090803144521/http://research.cyber.ee/~lipmaa/crypto/link/public/braid/ |archivedate=2009年8月3日 |deadurldate=2017年9月 }}
*[http://xstructure.inr.ac.ru/x-bin/auththeme3.py?level=1&index1=-63234&skip=0 Braid group: List of Authority Articles on arxiv.org].

{{Normdaten}}
{{Knot theory}}
{{DEFAULTSORT:ふれいとくん}}
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[[Category:数学に関する記事]]