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'''ブロカールの問題 (ブロカールのもんだい、{{lang-en-short|Brocard's problem}}''') とは、

:<math>n!+1 = m^2</math>

を満たす整数の組 (''n'', ''m'') がいくつ存在するか、という[[数学]]の問題である。ただし、 n! は[[階乗]]を表す。[[アンリ・ブロカール]]が1876年・1885年に自身の論文で提示した。1913年には[[シュリニヴァーサ・ラマヌジャン]]が同じ問題を独立に提示している。

==ブラウン数==
上式を満たす (''n'', ''m'') の組はブラウン数 ({{lang-en-short|'''Brown numbers'''}}) と呼ばれる。ブラウン数の組は
:(4,5), (5,11), (7,71)（小さい方の数は{{OEIS|A146968}}、大きい方の数は{{OEIS|A216071}}を参照）
の3つしか知られていない。[[ポール・エルデシュ]]は、これ以外の解は存在しないと予想した。{{harvtxt|Overholt|1993}} は、[[ABC予想]]が真だとすれば解の個数が有限であることを示した。{{harvtxt|Berndt|Galway|2000}} は10<sup>9</sup>までの ''n'' について計算を行い、その範囲で他の解がないことを確かめた。

==一般化==
{{harvtxt|Dabrowski|1996}}はOverholtの結果を一般化し、[[ABC予想]]が正しければ、任意の自然数 ''A'' に対し

:<math>n!+A = k^2</math>

を満たす解は有限組しか存在しないこと、''A'' が[[平方数]]でないときは[[ABC予想]]によらず解は有限個しか存在しないこと（実際 ''A'' が ''p'' を法として[[平方剰余]]ではないような最小の素数 ''p'' をとると <math>k^2-A</math> は ''p'' で決して割り切れないので ''n'' &lt; ''p'' でなければならない）を示した。

指数が2より大きい場合、および <math>x^2+y^2=n!</math> の形の方程式については {{harvtxt|Erdős|Obláth|1937}} が既に

:<math>x^m+y^m = n! (\gcd(x, y)=1, m\geq 2)</math>

は 1+1=2! 以外の解を持たないこと、および

:<math>x^m-y^m = n! (x>y, \gcd(x, y)=1, m\geq 3)</math>

は ''m'' が 4 以外のときには解を持たず ''m'' =4 の場合にも有限個の解しか持たないことを示している。また

:<math>m!\pm n!=x^k (m>n>0, k\geq 2)</math>

の解は有限個であることも示している。その後{{harvtxt|Pollack|Shapiro|1973}} が

:<math>x^4-1 = n! </math>

は解を持たないことを示している。

==参考文献==
* {{citation
 | last1 = Berndt | first1 = Bruce C.
 | last2 = Galway | first2 = William F.
 | title = The Brocard–Ramanujan diophantine equation ''n''! + 1 = ''m''<sup>2</sup>
 | journal = The Ramanujan Journal
 | url = http://www.math.uiuc.edu/~berndt/articles/galway.pdf
 | volume = 4 | year = 2000 | pages = 41–42
 | doi = 10.1023/A:1009873805276}}.
* {{citation
 | last = Brocard | first = H.
 | title = Question 166
 | journal = Nouv. Corres. Math. | volume = 2 | pages = 287 | year = 1876}}.
* {{citation
 | last = Brocard | first = H.
 | title = Question 1532
 | journal = Nouv. Ann. Math. | volume = 4 | pages = 391 | year = 1885}}.
* {{citation
 | last = Dabrowski | first = A.
 | title = On the Diophantine Equation ''x''! + ''A'' = ''y''<sup>2</sup>
 | journal = Nieuw Arch. Wisk.
 | volume = 14
 | pages = 321–324
 | year = 1996}}.
* {{citation
 | last1 = Erdős | first1 = Paul
 | last2 = Obláth | first2 = Richard
 | title = Über diophantische Gleichungen der Form <math>n! = x^p \pm y^p</math> und <math>n! \pm m! = x^p</math>
 | journal = Acta Litt. Sci. Szeged 
 | url = https://www.renyi.hu/~p_erdos/1937-09.pdf
 | volume = 8 | year = 1937 | pages = 241-255 }}.
* {{citation
 | last = Guy | first = R. K. 
 | contribution = D25: Equations Involving Factorial
 | title = Unsolved Problems in Number Theory
 | edition = 2nd
 | location = New York | publisher = Springer-Verlag | pages = 193–194 | year = 1994
 | isbn = 0-387-90593-6}}.
* {{citation
 | last = Luca | first = Florian
 | title = The diophantine equation ''P''(''x'') = ''n''! and a result of M. Overholt
 | journal = Glasnik Matematički
 | volume = 37
 | pages = 269–273
 | year = 2002
 | url = http://web.math.hr/glasnik/37.2/37(2)-04.pdf
| issue=57}}.
* {{citation
 | last = Overholt | first = Marius
 | title = The diophantine equation ''n''! + 1 = ''m''<sup>2</sup>
 | journal = Bull. London Math. Soc.
 | volume = 25
 | page = 104
 | year = 1993
 | doi = 10.1112/blms/25.2.104
 | issue = 2}}.
* {{citation
 | last1 = Pollack | first1 = Richard M.
 | last2 = Shapiro | first2 = Harold N.
 | title = The next to last case of a factorial diophantine equation
 | journal = Comm. Pure Appl. Math.
 | url = http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/cpa.3160260303/abstract
 | volume = 26 | year = 1973 | pages = 313-325 }}.

==外部リンク==
* {{mathworld|title=Brocard's Problem|urlname=BrocardsProblem}}
* {{mathworld|title=Brown Numbers|urlname=BrownNumbers}}
* {{cite web|last=Copeland|first=Ed|title=Brown Numbers|url=http://www.numberphile.com/videos/brown_numbers.html|work=Numberphile|publisher=Brady Haran|accessdate=2014-08-29}}

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[[Category:数学の問題]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:整数の類]]
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