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'''ブロッホ方程式'''（ブロッホほうていしき、{{lang-en-short|Bloch equations}}）とは、[[磁気共鳴]]の[[現象論]]的記述をする[[方程式]]を指す。[[1946年]]に[[フェリックス・ブロッホ]]によって発表された<ref>{{cite journal|author=Bloch, F.|title=Nuclear Induction|journal= Phys. Rev.|volume= 70|pages= 460-473 |year=1946|url=http://www.physast.uga.edu/classes/phys8900/qzhao/PDF8500_08/PR_70_460.pdf|doi=10.1103/PhysRev.70.460}}</ref>。[[1957年]]に米国の物理学者[[リチャード・ファインマン]]はブロッホ方程式がより一般的な[[量子力学]]の[[2状態系]]における[[密度行列]]の[[時間発展]]の記述に適用できることを示し、[[アンモニア]][[メーザー]]の解析に応用した<ref name="FeynmanVernon1957">{{cite journal|last1=Feynman|first1=Richard P.|last2=Vernon|first2=Frank L.|last3=Hellwarth|first3=Robert W.|authorlink3=ロバート・ヘルワース|title=Geometrical Representation of the Schrödinger Equation for Solving Maser Problems|journal=J. Appl. Phys.|volume=28|year=1957|pages=49–52|doi=10.1063/1.1722572|url=http://unicorn.ps.uci.edu/249/pdfs/FeynmanPaper.pdf}}</ref>。

== 概要 ==
[[スピン角運動量|核スピン]]の集団があって、[[静磁場]]の中に置かれたとする。[[磁場]]の方向に {{mvar|z}} 軸を一致させた[[直交座標]]を選ぶ。核スピン全体の {{mvar|z}} 成分を {{math|''S<sub>z</sub>''}}  、その[[熱平衡]]値を {{math|{{langle}}''S<sub>z</sub>''{{rangle}}}}  と書く。核スピン全体の {{mvar|x}} 成分 {{math|''S<sub>x</sub>''}} の熱平衡値は 0 である。 {{mvar|y}} 成分も同様である。核スピンは静磁場のまわりを[[ラーモア歳差運動]]しているが、高周波に共鳴するとスピンの向きが逆転する。こうして熱平衡でなくなった核スピン集団は急速に熱平衡状態に戻ろうとする。静磁場を {{math|''H<sub>z</sub>''}}、高周波の中の磁場成分を {{math|''H<sub>x</sub>'' , ''H<sub>y</sub>''}} とするとこの様子は
:<math>\begin{align}
\frac{dS_z}{dt}&=\gamma(S_xH_y-S_yH_x)-\frac{S_z-\langle S_z\rangle}{T_1}\\
\frac{dS_x}{dt}&=\gamma(S_yH_z-S_zH_y)-\frac{S_x}{T_2}\\
\frac{dS_y}{dt}&=\gamma(S_zH_x-S_xH_z)-\frac{S_y}{T_2}
\end{align}</math>
で記述される。これらを'''ブロッホ方程式'''という。{{math|&gamma;}} は[[核磁気モーメント]]、{{math|''T''<sub>1</sub>}} は[[縦緩和時間]]、{{math|''T''<sub>2</sub>}} は[[横緩和時間]]である。

== 量子力学における2状態系 ==
ブロッホ方程式は共鳴波長光に応答する原子の2[[準位]]系、[[光子]]の[[偏光]]状態、磁場に応答する[[スピン角運動量|スピン]]1/2の系等の一般的な量子力学における2状態系の記述に用いられる<ref>[[#kitano2010|北野 (2010)、第8章]]</ref>。

[[正規直交系|正規直交化]]された2状態を {{math|{{ket|1}}, {{ket|2}}}} とすると、系の[[量子状態]] {{math|{{ket|''&psi;''(''t'')}}}} と[[密度行列]] {{math|{{hat|''&rho;''}}}} は

:<math>| \psi(t) \rangle = c_1(t)| 1 \rangle + c_2(t)| 2 \rangle  \quad (|c_1(t)|^2+|c_2(t)|^2=1)</math>
:<math>
\hat{\rho}= | \psi(t) \rangle \langle \psi(t)|
=|c_1|^2  |1 \rangle \langle 1| + c_1c_2^{\, \ast}  |1 \rangle \langle 2| + c_2c_1^{\, \ast}  |2 \rangle \langle 1| +|c_2|^2  |2 \rangle \langle 2|
</math>

と表せる。このとき、[[恒等演算子]]と[[パウリ行列]]に対応する[[演算子 (物理学)|演算子]]<ref>2状態 {{math|{{ket|1}}, {{ket|2}}}} を特定の[[基底 (線型代数学)|基底]]
:<math> | 1 \rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \, | 2 \rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
と一致させたときに、{{math|{{hat|''&sigma;''}}<sub>''k''</sub>}} はパウリ行列そのものになる。</ref>

:<math> \hat{\sigma_{0}}= |1 \rangle \langle 1| + |2 \rangle \langle 2| =\hat{I} </math>
:<math> \hat{\sigma_{1}}= |1 \rangle \langle 2| + |2 \rangle \langle 1| </math>
:<math> \hat{\sigma_{2}}=-i (|1 \rangle \langle 2| - |2 \rangle \langle 1|)</math> 
:<math> \hat{\sigma_{3}}= |1 \rangle \langle 1| - |2 \rangle \langle 2| </math>

を導入すると、密度行列は

:<math>\hat{\rho}=s_0\frac{\hat{I}}{2}+ s_1\frac{\hat{\sigma}_1}{2} + s_2\frac{\hat{\sigma}_2}{2} + s_3\frac{\hat{\sigma}_3}{2}</math>
:
と展開できる。但し、展開係数は

:<math> s_0=\operatorname{Tr}( \hat{\rho})=|c_1|^2+|c_2|^2=1</math>
:<math> s_1=\operatorname{Tr}(\hat{\sigma}_1 \hat{\rho})=c_1^{\,\ast}c_2+c_2^{\,\ast}c_1</math>
:<math> s_2=\operatorname{Tr}(\hat{\sigma}_2 \hat{\rho})=i(c_1c_2^{\,\ast}-c_2c_1^{\,\ast})</math>
:<math> s_3=\operatorname{Tr}(\hat{\sigma}_3 \hat{\rho})=|c_1|^2-|c_2|^2</math>

で与えられる。ここで

:<math>\vec{s}(t)=s_1 \vec{e_1} + s_2 \vec{e_2} + s_2 \vec{e_3}</math>

で定義される3次元[[単位ベクトル]]を'''ブロッホベクトル'''といい、ブロッホベクトルがなす[[単位球面]]を'''ブロッホ球'''という。

系の[[ハミルトニアン]]を

:<math>
\hat{H}=\hbar \Omega_0 \frac{\hat{I}}{2}+\hbar \Omega_1 \frac{\hat{\sigma}_1}{2}+\hbar \Omega_2 \frac{\hat{\sigma}_2}{2}+\hbar \Omega_3 \frac{\hat{\sigma}_3}{2}
=\hbar \Omega_0 \frac{\hat{I}}{2}+\hbar \vec{\Omega}(t) \cdot \frac{\vec{\sigma}(t)}{2}
</math>

とすると、ブロッホベクトル {{math|{{vec|''s''}}(''t'')}} の[[時間発展]]は緩和項の無いブロッホ方程式

:<math>\frac{d}{dt}\vec{s}(t)=\vec{\Omega}(t) \times \vec{s}(t)</math>

で与えられる<ref>密度行列が満たす[[フォン・ノイマン方程式]]
:<math> i \hbar {\partial \hat{\rho} \over {\partial t}} = [\hat{H}, \hat{\rho}] </math>
から導かれる。</ref>。こうした2状態系のブロッホ方程式による記述は、1957年にリチャード・ファインマンによって導入された{{R|FeynmanVernon1957}}。

== 脚注 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* 『物理学辞典』 培風館、1984年
*{{Cite book|和書 |author= 北野正雄|authorlink= 北野正雄|title = 量子力学の基礎|date= 2010|publisher= 共立出版|isbn=978-4320034624|ref= kitano2010}}

== 関連項目 ==
* [[ブロッホ球]]

{{DEFAULTSORT:ふろつほほうていしき}}
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[[Category:物理学の方程式]]
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