ブロッホ群のソースを表示

{{正確性|date=2015年3月}}
数学において、'''ブロッホ群'''（{{lang-en-short|Bloch group}}）はブロッホ・ウィグナーの関数の線形関係式を記述する群であり、高次のブロッホ群は一般にブロッホ・ススリン複体の[[コホモロジー群]]として定義される。複体の名前は{{仮リンク|スペンサー・ブロッホ|en|Spencer Bloch}} ({{en|Spencer Bloch}}) と{{仮リンク|アンドレイ・ススリン|en|Andrei Suslin}} ({{ru|Андре́й Су́слин}}) に因む。ブロッホ群は以下に述べるように[[多重対数関数]]、[[双曲幾何学]]、[[代数的K理論]]などと密接に関係している。 

==ブロッホ・ウィグナーの関数==
{{仮リンク|二重対数関数|en|dilogarithm}}は {{math|{{!}}''z''{{!}} < 1}} に対して次の冪級数で定義される。

:<math>
\operatorname{Li}_{2}(z)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{z^{k}}{k^{2}}
</math>

この冪級数から二重対数関数の積分表示

:<math>
\operatorname{Li}_{2}(z)=-\int_{0}^{z}\log(1-t)\;\frac{dt}{t}
</math>

が得られる。ただし二重対数関数は2点 {{math|0, 1}} で分岐し[[モノドロミー]]（多価性）を持つため、積分表示が冪級数表示に一致するためには 0 から {{mvar|z}} への積分路は <math>z \in \mathbb{C} \setminus \{0, 1\}</math> の非自明なサイクルを含まないようなものをとる必要がある。（一見すると {{math|''z'' {{=}} 0}} に分岐はないように見えるが、実は {{math|''z'' {{=}} 1}} を周回したシート上に {{math|''z'' {{=}} 0}} の分岐が現れる。）この積分表示によって {{math|Li<sub>2</sub>(''z'')}} は <math>z \in \mathbb{C} \setminus \{0, 1\}</math> の[[被覆空間#普遍被覆|普遍被覆空間]]に正則に解析接続される。

ブロッホ・ウィグナーの関数は二重対数関数を用いて次のように定義される。

:<math>D_{2}(z)=\Im(\operatorname{Li}_{2}(z))+\arg(1-z)\log\left|z\right|</math>

{{math|''D''<sub>2</sub>(''z'')}} には次のような著しい性質がある。

*{{math|''D''<sub>2</sub>(''z'')}} はモノドロミーを持たず <math>\mathbb{C} \setminus \{0, 1\}</math> 上の一価実解析的関数になる。
*<math>D_{2}(z)=D_{2}\left(\frac{z-1}{z}\right)=D_{2}\left(\frac{1}{1-z}\right)=-D_{2}\left(\frac{1}{z}\right)=-D_{2}(1-z)=-D_{2}\left(\frac{z}{z-1}\right).</math>
*<math>D_{2}(x)+D_{2}(y)+D_{2}\left(\frac{1-x}{1-xy}\right)+D_{2}\left(1-xy\right)+D_{2}\left(\frac{1-y}{1-xy}\right)=0.</math>

最後の恒等式は本質的に二重対数関数に対する[[アーベルの5項関係式]]である {{harv|Abel|1881}}。

==ブロッホ群の定義==

{{mvar|K}} を体とし、<math>\mathbb{Z} (K) = \mathbb{Z} [K \setminus \{0, 1\}]</math> を <math>K\setminus\{0,1\}</math> の元 {{mvar|x}} に対する {{math|[''x'']}} により '''Z''' 上生成された自由加群とする。また <math>\mathcal{D}(K)</math> を

:<math>[x]+[y]+\left[\frac{1-x}{1-xy}\right]+[1-xy]+\left[\frac{1-y}{1-xy}\right]</math>

の形の元の生成する {{math|'''Z'''(''K'')}} の部分加群とし、<math>\mathcal{A}(K)=\mathbb{Z}(K)/\mathcal{D}(K)</math> と定めよう。いまブロッホ・ウィグナーの関数の定義域を {{math|'''Z'''('''C''')}} に線形に拡張し、{{math|1=''x'' = Σ''n''<sub>''j''</sub>[''x''<sub>''j''</sub>] ∈ '''Z'''('''C''')}} に対して {{math|1=''D''<sub>2</sub>(''x'') = Σ''n''<sub>''j''</sub>''D''<sub>2</sub>(''x''<sub>''j''</sub>)}} と定める。すると {{math|''D''<sub>2</sub>}} の 5項関係式は

:<math>x\in\mathcal{D}(\mathbb{C})\Rightarrow D_{2}(x)=0</math>

と言い換えられ、従って {{math|''D''<sub>2</sub>}} は <math>\mathcal{A}(\mathbb{C})</math> 上定義される。さて、

:<math>d\colon\mathcal{A}(K)\longrightarrow\wedge^{2}(K^{\times})</math>

を、<math>x\in K\setminus\{0,1\}</math> に対しては {{math|1=''d''[''x''] = ''x''∧(1&minus;''x'')}} と定め、これを {{math|'''Z'''(''K'')}} に線形に拡張したものとする。（{{mvar|d}} が <math>\mathcal{A}</math> 上 well-defined であることをみるには <math>\mathcal{D}(K)\subset\ker d </math> をチェックする必要がある。）このときブロッホ群 <math>\mathcal{B}_{2}(K) </math> を

:<math>\mathcal{B}_{2}(K)=\ker d</math>

と定義する {{harv|Bloch|1978}}。[[代数的K-理論#松本の定理|松本の定理]]により <math>\mathcal{K}_{2}(K)</math> を 2次の[[代数的K-群|代数的K群]]として <math>\mathcal{K}_{2}(K)=\operatorname{coker} d</math> が知られている。<math>\mathcal{B}_{2}(\mathbb{C})</math> は {{math|''D''<sub>2</sub>}} の線形関係式を完全に記述する群である。すなわち次が成り立つ。

:<math>x\in\mathcal{B}_{2}(\mathbb{C})\Leftrightarrow D_{2}(x)=0.</math>

==K<sub>3</sub> とブロッホ群の関係==

{{mvar|K}} を無限体とする。このとき <math>c=[x]+[1-x]\in \mathcal{B}_{2}(K)</math> は {{mvar|x}} の取り方に依らない。{{math|GM(''K'')}} を無限次[[単項行列]]のなす {{math|GL(''K'')}} の部分群、{{math|BGM(''K'')<sup>+</sup>}} を[[代数的K-理論#プラス構成|キレンのプラス構成]]とすると、

:<math>\operatorname{coker}\left[\pi_{3}(\operatorname{BGM}(K)^{+})\rightarrow\mathcal{K}_{3}(K)\right]=(2c)^{-1}\mathcal{B}_{2}(K)</math>

が成り立つ {{harv|Suslin|1990}}。ここで <math>\mathcal{K}_{3}(K)=\pi_{3}(\operatorname{BGL}(K)^{+})</math> は 3次の[[代数的K理論|代数的K群]]である。
さらに、[[ミルナーのK-理論|ミルナーのK群]]を <math>\mathcal{K}_{3}^{M}</math> として、<math>\mathcal{K}_{3}(K)_{\mathrm{ind}}=\operatorname{coker}(\mathcal{K}_{3}^{M}(K)\rightarrow\mathcal{K}_{3}(K)),\;</math>　<math>\operatorname{Tor}(K^{\times},K^{\times})^{\sim}</math> を <math>\operatorname{Tor}(K^{\times},K^{\times})</math> のただ一つの非自明な {{math|'''Z'''/2'''Z'''}} 拡大とする。このとき以下の[[完全列]]が知られている。

:<math>0\longrightarrow\operatorname{Tor}(K^{\times},K^{\times})^{\sim}\longrightarrow\mathcal{K}_{3}(K)_{\mathrm{ind}}\longrightarrow\mathcal{B}_{2}(K)\longrightarrow0.</math>

==3次元双曲幾何学との関係==
{{正確性|date=2015年10月|section=1}}
ブロッホ・ウィグナー関数 <math>D_{2}(z)</math> は <math>\mathbb{C}\setminus\{0,1\}=\mathbb{C}P^{1}\setminus\{0,1,\infty\}</math> 上の関数であり、次のような双曲幾何学的な意味を持つ。<math>\mathbb{H}^{3}</math> を実3次元の[[双曲幾何学|双曲空間]]とし、<math>\mathbb{H}^{3}=\mathbb{C}\times\mathbb{R}_{>0}</math> と半空間表示する。<math>\mathbb{H}^{3}</math> の無限遠点の全体 <math>\overline{\mathbb{H}^{3}}\setminus\mathbb{H}^{3}</math> は <math>\mathbb{C}\cup\{\infty\}=\mathbb{C}P^{1}</math> とみなすことができる。無限遠点のみを頂点とする四面体を理想的四面体と呼び、<math>(p_{1},\ldots,p_{3}\in\mathbb{C}P^{1})</math> を無限遠点上の頂点として <math>(p_{0},p_{1},p_{2},p_{3})\;</math> で表す。四面体の(符号付き)[[双曲体積|体積]]を <math>\left\langle p_{0},p_{1},p_{2},p_{3}\right\rangle </math> と表す。このとき、計量の定数倍を適切にとれば、四面体の複比は、

:<math>\left\langle p_{0},p_{1},p_{2},p_{3}\right\rangle =D_{2}\left(\frac{(p_{0}-p_{2})(p_{1}-p_{3})}{(p_{0}-p_{1})(p_{2}-p_{3})}\right)</math>

であり、特に <math>D_{2}(z)=\left\langle 0,1,z,\infty\right\rangle </math> である。<math>D_{2}(z)</math> の5項関係式は、退化した理想的 4単体 <math>(p_{0},p_{1},p_{2},p_{3},p_{4})</math> の境界の体積が 0 であることと

:<math>\left\langle \partial(p_{0},p_{1},p_{2},p_{3},p_{4})\right\rangle =\sum_{i=0}^{4}(-1)^{i}\left\langle p_{0},\dots,\hat{p}_{i},\dots,p_{4}\right\rangle =0</math>

とは同値である。
<!--The Bloch-Wigner function <math>D_{2}(z)</math> , which is defined on <math>\mathbb{C}\setminus\{0,1\}=\mathbb{C}P^{1}\setminus\{0,1,\infty\}</math> , has the following meaning: Let <math>\mathbb{H}^{3}</math> be 3-dimensional [[hyperbolic space]] and <math>\mathbb{H}^{3}=\mathbb{C}\times\mathbb{R}_{>0}</math> its half space model. One can regard elements of <math>\mathbb{C}\cup\{\infty\}=\mathbb{C}P^{1}</math> as points at infinity on <math>\mathbb{H}^{3}</math>. A tetrahedron, all of whose vertices are at infinity, is called an '''ideal tetrahedron'''. We denote such a tetrahedron by <math>(p_{0},p_{1},p_{2},p_{3})</math>  and its (signed) [[hyperbolic volume|volume]] by <math>\left\langle p_{0},p_{1},p_{2},p_{3}\right\rangle </math> where <math>p_{1},\ldots,p_{3}\in\mathbb{C}P^{1}</math> are the vertices. Then under the appropriate metric up to constants we can obtain its cross-ratio:

:<math>\left\langle p_{0},p_{1},p_{2},p_{3}\right\rangle =D_{2}\left(\frac{(p_{0}-p_{2})(p_{1}-p_{3})}{(p_{0}-p_{1})(p_{2}-p_{3})}\right)\ .</math>

In particular, <math>D_{2}(z)=\left\langle 0,1,z,\infty\right\rangle </math> . Due to the five terms relation of <math>D_{2}(z)</math> , the volume of the boundary of non-degenerate ideal tetrahedron  <math>(p_{0},p_{1},p_{2},p_{3},p_{4})</math> equals 0 if and only if

:<math>\left\langle \partial(p_{0},p_{1},p_{2},p_{3},p_{4})\right\rangle =\sum_{i=0}^{4}(-1)^{i}\left\langle p_{0},..,\hat{p}_{i},..,p_{4}\right\rangle =0\ .</math>-->

加えて、3次元双曲多様体 <math>X=\mathbb{H}^{3}/\Gamma</math> が与えられると、
:<math> X=\bigcup^n_{j=1}\Delta(z_j)</math>
と分解する。ここに <math>\Delta(z_j)</math> は、'''理想四面体'''であり、それらの頂点はすべて <math>\partial\mathbb{H}^3</math> 上の無限遠点にある。ここに <math>z_j</math> は <math>\operatorname{Im} z_j>0</math> となるある複素数である。各々の理想四面体は、<math>\operatorname{Im} z>0</math> となる複素数 <math>z</math> （四面体の頂点の複比となるが、）に対し <math>0, 1, z, \infty</math> を頂点とする理想四面体のひとつにアイソメトリック(isometric)である。このように、四面体の体積は一つのパラメータ <math>z</math> にのみ依存する。{{harv|Neumann|Zagier|1985}} は、理想四面体 <math>\Delta</math> に対し <math>vol(\Delta(z))=D_{2}(z),</math> ただし <math>D_{2}(z)</math> はブロッホ・ウィグナーの二重対数、となることを示した。一般の 3次元双曲多様体に対し、理想四面体を互いに張り合わせることにより、
:<math>vol(X)=\sum^n_{j=1}</math>
を得る。[[モストウの剛性定理]]は、<math>\text{Im}\ z_j>0</math> であるすべての <math>j</math> に対する四面体の体積の値が一意に定まることを保証している。
<!--In addition, given a hyperbolic manifold <math>X=\mathbb{H}^{3}/\Gamma</math> , one can decompose
:<math> X=\bigcup^n_{j=1}\Delta(z_j)</math>
where the <math>\Delta(z_j)</math> are ''ideal tetrahedra''. whose all vertices are at infinity on <math>\partial\mathbb{H}^3</math> . Here the <math>z_j</math> are certain complex numbers with <math>\text{Im}\ z>0</math> . Each ideal tetrahedron is isometric to one with its vertices at <math>0, 1, z, \infty</math> for some <math>z</math> with <math>\text{Im}\ z>0</math> . Here <math>z</math> is the cross-ratio of the vertices of the tetrahedron. Thus the volume of the tetrahedron depends only one single parameter <math>z</math> . {{harv|Neumann|Zagier|1985}} showed that for ideal tetrahedron <math>\Delta</math> , <math>vol(\Delta(z))=D_{2}(z)</math> where <math>D_{2}(z)</math> is the Bloch-Wigner dilogarithm. For general hyperbolic 3-manifold one obtains
:<math>vol(X)=\sum^n_{j=1}</math>
by gluing them. The [[Mostow rigidity theorem]] guarantees only single value of the volume with <math>\text{Im}\ z_j>0</math> for all <math>j</math> .-->

==一般化==

二重対数の代わりに、三重対数やさらに高次の多重対数を用いることで、ブロッホ群の概念は {{harv| Goncharov |1991}} と {{harv|Zagier|1990}} により拡張された。これらの一般化ブロッホ群 <math>\mathcal{B}_n</math> が、[[代数的K理論]]や{{仮リンク|モチヴィックコホモロジー|en|motivic cohomology}}と関係するということが、広く予想されている。また、{{harv| Neumann |2004}}により定義された拡大されたブロッホ群のように、別の方向への一般化もある。

==参考文献==

* {{cite book | last= Abel | first= N.H. | author-link= ニールス・アーベル | contribution= Note sur la fonction <math>\scriptstyle \psi x = x+ \frac{x^2}{2^2}+ \frac{x^3}{3^2}+ \cdots+ \frac{x^n}{n^2}+ \cdots</math> | language= French | contribution-url= http://www.abelprisen.no/verker/oeuvres_1881_del2/oeuvres_completes_de_abel_nouv_ed_2_kap14_opt.pdf | chapter-format= PDF | editor1-last= Sylow | editor1-first= L. | editor2-last= Lie | editor2-first= S. | title= Œuvres complètes de Niels Henrik Abel − Nouvelle édition, Tome II | location= Christiania [Oslo] | publisher= Grøndahl & Søn | origyear= 1826 | year= 1881 | pages= 189–193 | ref= harv}} (this 1826 manuscript was only published posthumously.)

* {{cite book | last= Bloch | first= S. | contribution= Applications of the dilogarithm function in algebraic K-theory and algebraic geometry | title= Proc. Int. Symp. on Alg. Geometry | editor-last= Nagata | editor-first= M | location= Tokyo | publisher= Kinokuniya | year= 1978 | pages= 103–114 | ref= harv}}

* {{cite book | last= Goncharov | first= A.B. | contribution= The classical trilogarithm, algebraic K-theory of fields, and Dedekind zeta-functions | contribution-url= http://www.ams.org/journals/bull/1991-24-01/S0273-0979-1991-15975-6/S0273-0979-1991-15975-6.pdf | chapter-format= PDF | title= Bull. AMS | year= 1991 | pages= 155–162 | ref= harv}}

* {{cite book | last= Neumann | first= W.D. | contribution= Extended Bloch group and the Cheeger-Chern-Simons class | contribution-url= https://arxiv.org/abs/math/0307092 | title= Geometry and Topology | year= 2004 | pages= 413–474 | ref= harv}}

* {{cite journal | last1= Neumann | first1= W.D. | last2= Zagier | first2= D. | title= Volumes of hyperbolic three-manifolds | journal=Topology | volume= 24 | year= 2004 | pages= 307-332 | ref= harv}}

* {{cite book | last= Suslin | first= A.A. | contribution= <math>\operatorname{K}_3</math> of a field, and the Bloch group | language= Russian | contribution-url= http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=tm&paperid=1914&option_lang=eng | title= Trudy Mat. Inst. Steklov | year= 1990 | pages= 180–199 | ref= harv}}

* {{cite book | last=Zagier | first= D. | contribution= Polylogarithms, Dedekind zeta functions, and the algebraic K-theory of fields | title= Arithmetic Algebraic  Geometry | editor1-last= van der Geer | editor1-first= G. | editor2-last= Oort | editor2-first= F. | editor3-last= Steenbrink | editor3-first= J | location= Boston | publisher= Birkhäuser | year= 1990 | pages= 391–430 | ref= harv}}

{{DEFAULTSORT:ふろつほくん}}
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