ブロッホ群

テンプレート:正確性 数学において、ブロッホ群（テンプレート:Lang-en-short）はブロッホ・ウィグナーの関数の線形関係式を記述する群であり、高次のブロッホ群は一般にブロッホ・ススリン複体のコホモロジー群として定義される。複体の名前はテンプレート:仮リンク (テンプレート:En) とテンプレート:仮リンク (テンプレート:Ru) に因む。ブロッホ群は以下に述べるように多重対数関数、双曲幾何学、代数的K理論などと密接に関係している。

ブロッホ・ウィグナーの関数

テンプレート:仮リンクは テンプレート:Math に対して次の冪級数で定義される。

${\mathrm{Li}}_2(z)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{k^2}$

この冪級数から二重対数関数の積分表示

${\mathrm{Li}}_2(z)=-\underset{0}{\overset{z}{\int }}\log (1-t)\frac{dt}{t}$

が得られる。ただし二重対数関数は2点 テンプレート:Math で分岐しモノドロミー（多価性）を持つため、積分表示が冪級数表示に一致するためには 0 から テンプレート:Mvar への積分路は $z\in ℂ\setminus \{0,1\}$ の非自明なサイクルを含まないようなものをとる必要がある。（一見すると テンプレート:Math に分岐はないように見えるが、実は テンプレート:Math を周回したシート上に テンプレート:Math の分岐が現れる。）この積分表示によって テンプレート:Math は $z\in ℂ\setminus \{0,1\}$ の普遍被覆空間に正則に解析接続される。

ブロッホ・ウィグナーの関数は二重対数関数を用いて次のように定義される。

$D_2(z)=\mathrm{\Im }({\mathrm{Li}}_2(z))+\arg (1-z)\log \left|z\right|$

テンプレート:Math には次のような著しい性質がある。

• テンプレート:Math はモノドロミーを持たず $ℂ\setminus \{0,1\}$ 上の一価実解析的関数になる。
• $D_2(z)=D_2\left(\frac{z-1}{z}\right)=D_2\left(\frac{1}{1-z}\right)=-D_2\left(\frac{1}{z}\right)=-D_2(1-z)=-D_2\left(\frac{z}{z-1}\right).$
• $D_2(x)+D_2(y)+D_2\left(\frac{1-x}{1-xy}\right)+D_2(1-xy)+D_2\left(\frac{1-y}{1-xy}\right)=0.$

最後の恒等式は本質的に二重対数関数に対するアーベルの5項関係式である テンプレート:Harv。

ブロッホ群の定義

テンプレート:Mvar を体とし、$\mathbb{Z}(K)=\mathbb{Z}[K\setminus \{0,1\}]$ を $K\setminus \{0,1\}$ の元 テンプレート:Mvar に対する テンプレート:Math により Z 上生成された自由加群とする。また $𝒟(K)$ を

$[x]+[y]+\left[\frac{1-x}{1-xy}\right]+[1-xy]+\left[\frac{1-y}{1-xy}\right]$

の形の元の生成する テンプレート:Math の部分加群とし、$𝒜(K)=\mathbb{Z}(K)/𝒟(K)$ と定めよう。いまブロッホ・ウィグナーの関数の定義域を テンプレート:Math に線形に拡張し、テンプレート:Math に対して テンプレート:Math と定める。すると テンプレート:Math の 5項関係式は

$x\in 𝒟(ℂ)\Rightarrow D_2(x)=0$

と言い換えられ、従って テンプレート:Math は $𝒜(ℂ)$ 上定義される。さて、

$d:𝒜(K)⟶{\wedge }^2(K^{\times })$

を、$x\in K\setminus \{0,1\}$ に対しては テンプレート:Math と定め、これを テンプレート:Math に線形に拡張したものとする。（テンプレート:Mvar が $𝒜$ 上 well-defined であることをみるには $𝒟(K)\subset \ker d$ をチェックする必要がある。）このときブロッホ群 ${ℬ}_2(K)$ を

${ℬ}_2(K)=\ker d$

と定義する テンプレート:Harv。松本の定理により ${𝒦}_2(K)$ を 2次の代数的K群として ${𝒦}_2(K)=\mathrm{coker}d$ が知られている。${ℬ}_2(ℂ)$ は テンプレート:Math の線形関係式を完全に記述する群である。すなわち次が成り立つ。

$x\in {ℬ}_2(ℂ)\iff D_2(x)=0.$

K₃ とブロッホ群の関係

テンプレート:Mvar を無限体とする。このとき $c=[x]+[1-x]\in {ℬ}_2(K)$ は テンプレート:Mvar の取り方に依らない。テンプレート:Math を無限次単項行列のなす テンプレート:Math の部分群、テンプレート:Math をキレンのプラス構成とすると、

$\mathrm{coker}[{\pi }_3(\mathrm{BGM}(K{)}^{+})\to {𝒦}_3(K)]=(2c{)}^{-1}{ℬ}_2(K)$

が成り立つ テンプレート:Harv。ここで ${𝒦}_3(K)={\pi }_3(\mathrm{BGL}(K{)}^{+})$ は 3次の代数的K群である。 さらに、ミルナーのK群を ${𝒦}_3^M$ として、${𝒦}_3(K{)}_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}}=\mathrm{coker}({𝒦}_3^M(K)\to {𝒦}_3(K)),$　$\mathrm{Tor}(K^{\times },K^{\times }{)}^{\sim }$ を $\mathrm{Tor}(K^{\times },K^{\times })$ のただ一つの非自明な テンプレート:Math 拡大とする。このとき以下の完全列が知られている。

$0⟶\mathrm{Tor}(K^{\times },K^{\times }{)}^{\sim }⟶{𝒦}_3(K{)}_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}}⟶{ℬ}_2(K)⟶0.$

3次元双曲幾何学との関係

テンプレート:正確性 ブロッホ・ウィグナー関数 $D_2(z)$ は $ℂ\setminus \{0,1\}=ℂP^1\setminus \{0,1,\mathrm{\infty }\}$ 上の関数であり、次のような双曲幾何学的な意味を持つ。${ℍ}^3$ を実3次元の双曲空間とし、${ℍ}^3=ℂ\times {ℝ}_{>0}$ と半空間表示する。${ℍ}^3$ の無限遠点の全体 $\overline{{ℍ}^3}\setminus {ℍ}^3$ は $ℂ\cup \{\mathrm{\infty }\}=ℂP^1$ とみなすことができる。無限遠点のみを頂点とする四面体を理想的四面体と呼び、$(p_1,\dots ,p_3\in ℂP^1)$ を無限遠点上の頂点として $(p_0,p_1,p_2,p_3)$ で表す。四面体の(符号付き)体積を $⟨p_0,p_1,p_2,p_3⟩$ と表す。このとき、計量の定数倍を適切にとれば、四面体の複比は、

$⟨p_0,p_1,p_2,p_3⟩=D_2\left(\frac{(p_0-p_2)(p_1-p_3)}{(p_0-p_1)(p_2-p_3)}\right)$

であり、特に $D_2(z)=⟨0,1,z,\mathrm{\infty }⟩$ である。$D_2(z)$ の5項関係式は、退化した理想的 4単体 $(p_0,p_1,p_2,p_3,p_4)$ の境界の体積が 0 であることと

$⟨\partial (p_0,p_1,p_2,p_3,p_4)⟩=\sum _{i=0}^4(-1{)}^i⟨p_0,\dots ,{\hat{p}}_i,\dots ,p_4⟩=0$

とは同値である。

加えて、3次元双曲多様体 $X={ℍ}^3/\mathrm{\Gamma }$ が与えられると、

$X=\bigcup _{j=1}^n\mathrm{\Delta }(z_j)$

と分解する。ここに $\mathrm{\Delta }(z_j)$ は、理想四面体であり、それらの頂点はすべて $\partial {ℍ}^3$ 上の無限遠点にある。ここに $z_j$ は $\mathrm{Im}{z}_j>0$ となるある複素数である。各々の理想四面体は、$\mathrm{Im}z>0$ となる複素数 $z$ （四面体の頂点の複比となるが、）に対し $0,1,z,\mathrm{\infty }$ を頂点とする理想四面体のひとつにアイソメトリック(isometric)である。このように、四面体の体積は一つのパラメータ $z$ にのみ依存する。テンプレート:Harv は、理想四面体 $\mathrm{\Delta }$ に対し $vol(\mathrm{\Delta }(z))=D_2(z),$ ただし $D_2(z)$ はブロッホ・ウィグナーの二重対数、となることを示した。一般の 3次元双曲多様体に対し、理想四面体を互いに張り合わせることにより、

$vol(X)=\sum _{j=1}^n$

を得る。モストウの剛性定理は、$\text{Im}{z}_j>0$ であるすべての $j$ に対する四面体の体積の値が一意に定まることを保証している。

一般化

二重対数の代わりに、三重対数やさらに高次の多重対数を用いることで、ブロッホ群の概念は テンプレート:Harv と テンプレート:Harv により拡張された。これらの一般化ブロッホ群 ${ℬ}_n$ が、代数的K理論やテンプレート:仮リンクと関係するということが、広く予想されている。また、テンプレート:Harvにより定義された拡大されたブロッホ群のように、別の方向への一般化もある。

参考文献

• テンプレート:Cite book (this 1826 manuscript was only published posthumously.)

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