プラスチック数のソースを表示

'''プラスチック数'''（Plastic number）は、
:<math>x^3=x+1,\;</math>
という[[代数方程式]]の唯一の実数解であり、<!-- 1928年に発見された。（発見とは何か。歴史およびこの数の意義について加筆を乞う）-->
:<math>\rho = \sqrt[3]{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}+\sqrt[3]{\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}</math> または <math>\rho = \sqrt[3]{\frac{9 + \sqrt{69}}{18}} + \sqrt[3]{\frac{9 - \sqrt{69}}{18}}</math>
と書ける。また、小数点以下27桁まで 1.324717957244746025960908854 と近似できる({{OEIS|A060006}})。

[[黄金比]]が[[フィボナッチ数列]]の隣接項比の、[[白銀比]]が[[ペル数]]の隣接項比の[[極限]]であるように、プラスチック数は[[パドヴァン数列]]及び[[ペラン数|ペラン数列]]の隣接項比の極限である。

== 性質 ==
[[File:Plastic number square spiral.svg |thumb|upright=1.25 |辺の比が {{math|''ρ''}} の[[正方形]]は閉じた[[螺旋]]を形成する。]]
[[File:PlasticSquare_6.png |thumb|upright=1.25 |[[アスペクト比|縦横比]] {{math|''ρ'', ''ρ''{{sup|2}}, ''ρ''{{sup|3}} }} （上部）および {{math|''ρ''{{sup|2}}, ''ρ'', ''ρ''{{sup|3}} }} （下部）の[[長方形]]は正方形を形成する。]]
* プラスチック数は以下の代数方程式の実数解である。
:<math display="block">\begin{align}
x^5 &= x^4 + 1 \\
x^5 &= x^2 + x + 1 \\ 
x^6 &= x^2 + 2x + 1 \\
x^6 &= x^4 + x + 1 \\
x^7 &= 2x^5 - 1 \\
x^7 &= 2x^4 + 1 \\
x^8 &= x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 \\
x^9 &= x^6 + x^4 + x^2 + x + 1 \\
x^{12} &= 2x^{10} - x^4 - 1 \\
x^{14} &= 4x^9 + 1
\end{align}</math>
* プラスチック数は{{仮リンク|ピゾ＝ヴィジャヤラガヴァン数|en|Pisot–Vijayaraghavan number}}の中で最小の数である。
* プラスチック数の平方 <math>\rho^2</math> は ''x'' についての方程式 <math>(x-1)^2=\frac{1}{x}</math> を満たす実数解である。
::<math>\rho^2 = 1.754877666246692760049508896\cdots</math> ({{OEIS|A109134}})
* 次のような様々な表現が知られている：
:<math display="block">\begin{align}
\rho &=\frac{2}{ \sqrt{3}} \cosh \left( \frac{1}{3} \operatorname{arcosh} \left( \frac{3 \sqrt{3}}{2} \right) \right) \\
     &=\sqrt{1 +\cfrac{1}{\sqrt{1 +\cfrac{1}{\sqrt{1 +\cfrac{1}{\ddots}}}}}} \\
     &=\sqrt[3]{1 +\sqrt[3]{1 +\sqrt[3]{1 +\cdots}}}
\end{align}</math>
* 自分自身の無限[[等比数列#等比級数|幾何級数]]として次のような表現が可能である：
::<math> \rho = \sum_{n=0}^{\infty} \rho^{-5n}</math> および <math>\rho^2 = \sum_{n=0}^{\infty} \rho^{-3n}</math>

== 外部リンク ==
* {{mathworld |urlname= PlasticConstant|title= Plastic constant}}

{{代数的数}}

{{DEFAULTSORT:ふらすちつくすう}}
[[Category:数学定数]]
[[Category:代数的数]]
[[Category:無理数]]
[[Category:数学に関する記事]]