プリューファー群のソースを表示

[[File:Prüfer.png|thumb|300px|プリューファー 2-群。&lang;''g''<sub>''n''</sub>&nbsp;:&nbsp;''g''<sub>''n''+1</sub><sup>2</sup>&nbsp;=&nbsp;''g''<sub>''n''</sub>,&nbsp;''g''<sub>1</sub><sup>2</sup>&nbsp;=&nbsp;''e''&rang;]]
[[数学]]、とくに[[群論]]において、[[素数]] {{mvar|p}} に対して、'''プリューファー {{mvar|p}} 群''' (Prüfer {{mvar|p}}-group) あるいは '''{{mvar|p}} 準巡回群''' ({{mvar|p}}-quasi&shy;cyclic group) あるいは '''{{math|''p''<sup>∞</sup>}} 群''' ({{math|''p''<sup>∞</sup>}}-group)、{{math|'''Z'''(''p''<sup>∞</sup>)}} とは、すべての元が {{mvar|p}} 個の相異なる {{mvar|p}} 乗根を持つような唯一の[[p群| {{mvar|p}}-群]]である。群の名前は{{仮リンク|ハインツ・プリューファー|en|Heinz Prüfer}} (Heinz Prüfer) にちなんでいる。無限アーベル群を[[分類体系|分類する]]助けになる[[可算]][[アーベル群]]である。

== {{math|'''Z'''(''p''<sup>∞</sup>)}} の構成==
プリューファー {{mvar|p}} 群は[[円周群]] {{math|'''U'''(1)}} の部分群であって {{mvar|n}} がすべての非負の整数 {{math|'''Z'''<sup>+</sup>}} を走るときのすべての [[1の冪根|1 の {{mvar|p{{sup|n}}}} 乗根]]からなるものと同一視できる：
:<math>\mathbf{Z}(p^\infty)=\{\exp(2\pi i m/p^n) \mid m\in \mathbf{Z}^+,\,n\in \mathbf{Z}^+\}.</math>
ここで群の演算は複素数の乗法である。

あるいは、プリューファー {{mvar|p}} 群は[[商群]] {{math|'''Q'''/'''Z'''}} の、位数が {{mvar|p}} の冪のすべての元からなる[[シロー部分群|シロー {{mvar|p}} 部分群]]と見ることもできる{{sfn|Fuchs|1970|loc={{google books quote|id=Vb38GspKia8C|page=43|Example 2}}}}：
:<math>\mathbf{Z}(p^\infty) = \mathbf{Z}[1/p]/\mathbf{Z}</math>
（ここで {{math|'''Z'''{{bracket|1/''p''}}}} は、分母が {{mvar|p}}の冪であるようなすべての有理数からなる群、群演算は有理数の加法、を表す）。

次のように書くこともできる：
:<math>\mathbf{Z}(p^\infty)=\mathbf{Q}_p/\mathbf{Z}_p</math>
ここで {{math|'''Q'''<sub>''p''</sub>}} は [[p進数|''p'' 進数]]の加法群を表し、{{math|'''Z'''<sub>''p''</sub>}} はその[[p進整数| {{mvar|p}} 進整数]]からなる部分群である。

次のような[[群の表示|表示]]がある：
:<math>\mathbf{Z}(p^\infty) = \langle\, g_1, g_2, g_3, \ldots \mid g_1^p = 1, g_2^p = g_1, g_3^p = g_2, \dots\,\rangle.</math>
ここで、{{math|'''Z'''(''p''{{sup|∞}})}} の群演算は乗法的に書かれている。

==性質==
すべての素数 {{mvar|p}} に対するプリューファー {{mvar|p}} 群は部分群が包含によって[[全順序]]付けられている唯一の無限群である：
:<math>0 \subset \left({1 \over p}\mathbf{Z}\right)/\mathbf{Z} \subset \left({1 \over p^2}\mathbf{Z}\right)/\mathbf{Z} \subset \left({1 \over p^3}\mathbf{Z}\right)/\mathbf{Z} \subset \cdots \subset \mathbf{Z}(p^\infty)</math>
（ここで <math display="inline">({1 \over p^n}\mathbf{Z})/\mathbf{Z}</math> は {{mvar|p{{sup|n}}}} 個の元を持つ {{math|'''Z'''(''p''{{sup|∞}})}} の巡回部分群である。[[位数 (群論)|位数]]が {{mvar|p{{sup|n}}}} を割り切るような {{math|'''Z'''(''p''{{sup|∞}})}} の元全体からなり、{{math|1}} の {{mvar|p{{sup|n}}}} 乗根の集合に対応する。）この包含の列はプリューファー {{mvar|p}} 群を有限部分群の[[直極限]]として表現する。プリューファー {{mvar|p}} 群は{{仮リンク|極大部分群|en|maximal subgroup}}をもたないから、自分自身が[[フラッティーニ部分群]]である。

部分群のこのリストが与えられると、プリューファー {{mvar|p}} 群が[[直既約加群|直既約]]である（真の部分群の[[直和]]として書けない）ことは明らかである。さらに次のことが正しい。プリューファー {{mvar|p}} 群は {{仮リンク|subdirectly irreducible algebra|en|subdirectly irreducible algebra|label=subdirectly irreducible}} である。アーベル群が subdirectly irreducible であることと有限巡回 {{mvar|p}} 群あるいはプリューファー群に同型であることは同値である。

プリューファー {{mvar|p}} 群は{{仮リンク|局所巡回群|label=局所巡回な|en|locally cyclic group}}（元の任意の有限集合が巡回群を生成する）唯一の無限 [[p群|{{mvar|p}} 群]]である。上で見たように、{{math|'''Z'''(''p''{{sup|∞}})}} のすべての真の部分群は有限である。一方、この性質を持った無限アーベル群はプリューファー {{mvar|p}} 群だけである<ref name="EOM">{{harvtxt|Vil'yams|2001}}</ref>。 

プリューファー {{mvar|p}} 群は[[可除群|可除]]である。可除群の分類で重要な役割を果たす。有理数とプリューファー群は共に最も単純な可除群である。正確にはアーベル群が可除であることと {{mathbf|Q}} の（無限個でもよい）コピーたちと各素数 {{mvar|p}} に対して {{math|'''Z'''(''p''{{sup|∞}})}} の（無限個でもよい）コピーたちの[[直和]]であることは同値である。この直和に使われる {{mathbf|Q}} と {{math|'''Z'''(''p''{{sup|∞}})}} のコピーの数は同型を除いて可除群を決定する{{sfn|Kaplansky|1965}}{{sfn|Fuchs|1970|loc={{google books quote|id=Vb38GspKia8C|page=104|Theorem 23.1}}}}。

アーベル群として（つまり [[環上の加群|{{mathbf|Z}} 加群]]として）、{{math|'''Z'''(''p''{{sup|∞}})}} は[[アルティン加群]]であるが[[ネーター加群]]ではない{{sfn|Jacobson|2009|loc={{google books quote|id=4WU_AwAAQBAJ|page=102|Example 2}}}}。したがって {{math|'''Z'''(''p''{{sup|∞}})}} はすべてのアルティン加群はネーター加群であるという命題の反例を与える（一方すべての[[アルティン環|アルティン''環'']]は[[ネーター環]]である）。

{{math|'''Z'''(''p''{{sup|∞}})}} の[[自己準同型環]]は [[p進整数|{{mvar|p}} 進整数]]の環 '''Z'''<sub>''p''</sub> に同型である<ref name="EOM" />。

[[局所コンパクト群|局所コンパクト位相群]]の理論において、プリューファー {{mvar|p}} 群（に[[離散位相]]を入れたもの）は [[p進整数|{{mvar|p}} 進整数]]のコンパクト群の[[ポントリャーギン双対]]であり、{{mvar|p}} 進整数の群はプリューファー {{mvar|p}} 群のポントリャーギン双対である<ref>D. L. Armacost and W. L. Armacost,"[http://projecteuclid.org/Dienst/UI/1.0/Summarize/euclid.pjm/1102968274 On ''p''-thetic groups]",  ''Pacific J. Math.'', '''41''', no. 2 (1972), 295–301</ref>。

==脚注==
{{reflist|2}}

==参考文献==
* {{cite book
|last1      = Fuchs
|first1     = László
|year       = 1970
|title      = Infinite abelian groups. Vol. I
|series     = Pure and Applied Mathematics
|volume     = 36
|url        = {{google books|Vb38GspKia8C|plainurl=yes}}
|publisher  = Academic Press
|isbn       = 9780122696015
|mr         = 0255673
|zbl        = 0209.05503 
|ref        = harv
}}
* {{cite book|last=Jacobson|first=Nathan|year=2009|origyear=1980|title=Basic algebra|edition=2nd|volume=2|publisher=[[ドーヴァー出版|Dover]]|isbn=978-0-486-47187-7|url={{google books|4WU_AwAAQBAJ|plainurl=yes}}|ref=harv}}
* {{cite book|author=Pierre Antoine Grillet|title=Abstract algebra|year=2007|publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|isbn=978-0-387-71567-4}}
* {{cite book|title=Infinite Abelian Groups|last=Kaplansky|first=Irving|publisher=University of Michigan Press|year=1965|ref=harv}}

==関連項目==
* [[p-進整数|''p'' 進整数]]。プリューファー ''p'' 群の有限部分群の[[逆極限]]として定義できる。
* {{仮リンク|二進有理数|en|Dyadic rational}}。''a''/2<sup>''b''</sup> の形の有理数。プリューファー 2-群は 1 を法とした二進有理数と見ることができる。

== 外部リンク ==
* {{nlab|urlname=Prüfer+group|title=Prüfer group}}
* {{PlanetMath|urlname=QuasicyclicGroup|title=quasicyclic group}}
* {{SpringerEOM|urlname=Quasi-cyclic_group|title=Quasi-cyclic group|first=N.N.|last=Vil'yams}}

{{DEFAULTSORT:ふりゆうふああくん}}
[[Category:アーベル群論]]
[[Category:無限群論]]
[[Category:P-群]]
[[Category:数学に関する記事]]