プリューファー群

プリューファー 2-群。⟨g_n : g_n+1² = g_n, g₁² = e⟩

数学、とくに群論において、素数 テンプレート:Mvar に対して、プリューファー テンプレート:Mvar 群 (Prüfer テンプレート:Mvar-group) あるいは テンプレート:Mvar 準巡回群 (テンプレート:Mvar-quasi­cyclic group) あるいは テンプレート:Math 群 (テンプレート:Math-group)、テンプレート:Math とは、すべての元が テンプレート:Mvar 個の相異なる テンプレート:Mvar 乗根を持つような唯一の[[p群| テンプレート:Mvar-群]]である。群の名前はテンプレート:仮リンク (Heinz Prüfer) にちなんでいる。無限アーベル群を分類する助けになる可算アーベル群である。

テンプレート:Math の構成

プリューファー テンプレート:Mvar 群は円周群 テンプレート:Math の部分群であって テンプレート:Mvar がすべての非負の整数 テンプレート:Math を走るときのすべての [[1の冪根|1 の テンプレート:Mvar 乗根]]からなるものと同一視できる：

$𝐙(p^{\mathrm{\infty }})=\{\exp (2\pi im/p^n)\mid m\in {𝐙}^{+},n\in {𝐙}^{+}\}.$

ここで群の演算は複素数の乗法である。

あるいは、プリューファー テンプレート:Mvar 群は商群 テンプレート:Math の、位数が テンプレート:Mvar の冪のすべての元からなる[[シロー部分群|シロー テンプレート:Mvar 部分群]]と見ることもできるテンプレート:Sfn：

$𝐙(p^{\mathrm{\infty }})=𝐙[1/p]/𝐙$

（ここで テンプレート:Math は、分母が テンプレート:Mvarの冪であるようなすべての有理数からなる群、群演算は有理数の加法、を表す）。

次のように書くこともできる：

$𝐙(p^{\mathrm{\infty }})={𝐐}_p/{𝐙}_p$

ここで テンプレート:Math は p 進数の加法群を表し、テンプレート:Math はその[[p進整数| テンプレート:Mvar 進整数]]からなる部分群である。

次のような表示がある：

$𝐙(p^{\mathrm{\infty }})=⟨g_1,g_2,g_3,\dots \mid g_1^p=1,g_2^p=g_1,g_3^p=g_2,\dots ⟩.$

ここで、テンプレート:Math の群演算は乗法的に書かれている。

性質

すべての素数 テンプレート:Mvar に対するプリューファー テンプレート:Mvar 群は部分群が包含によって全順序付けられている唯一の無限群である：

$0\subset \left(\frac{1}{p}𝐙\right)/𝐙\subset \left(\frac{1}{p^2}𝐙\right)/𝐙\subset \left(\frac{1}{p^3}𝐙\right)/𝐙\subset \cdots \subset 𝐙(p^{\mathrm{\infty }})$

（ここで $(\frac{1}{p^n}𝐙)/𝐙$ は テンプレート:Mvar 個の元を持つ テンプレート:Math の巡回部分群である。位数が テンプレート:Mvar を割り切るような テンプレート:Math の元全体からなり、テンプレート:Math の テンプレート:Mvar 乗根の集合に対応する。）この包含の列はプリューファー テンプレート:Mvar 群を有限部分群の直極限として表現する。プリューファー テンプレート:Mvar 群はテンプレート:仮リンクをもたないから、自分自身がフラッティーニ部分群である。

部分群のこのリストが与えられると、プリューファー テンプレート:Mvar 群が直既約である（真の部分群の直和として書けない）ことは明らかである。さらに次のことが正しい。プリューファー テンプレート:Mvar 群は テンプレート:仮リンク である。アーベル群が subdirectly irreducible であることと有限巡回 テンプレート:Mvar 群あるいはプリューファー群に同型であることは同値である。

プリューファー テンプレート:Mvar 群はテンプレート:仮リンク（元の任意の有限集合が巡回群を生成する）唯一の無限 [[p群|テンプレート:Mvar 群]]である。上で見たように、テンプレート:Math のすべての真の部分群は有限である。一方、この性質を持った無限アーベル群はプリューファー テンプレート:Mvar 群だけである。

プリューファー テンプレート:Mvar 群は可除である。可除群の分類で重要な役割を果たす。有理数とプリューファー群は共に最も単純な可除群である。正確にはアーベル群が可除であることと テンプレート:Mathbf の（無限個でもよい）コピーたちと各素数 テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math の（無限個でもよい）コピーたちの直和であることは同値である。この直和に使われる テンプレート:Mathbf と テンプレート:Math のコピーの数は同型を除いて可除群を決定するテンプレート:Sfnテンプレート:Sfn。

アーベル群として（つまり [[環上の加群|テンプレート:Mathbf 加群]]として）、テンプレート:Math はアルティン加群であるがネーター加群ではないテンプレート:Sfn。したがって テンプレート:Math はすべてのアルティン加群はネーター加群であるという命題の反例を与える（一方すべてのアルティン環はネーター環である）。

テンプレート:Math の自己準同型環は [[p進整数|テンプレート:Mvar 進整数]]の環 Z_p に同型である。

局所コンパクト位相群の理論において、プリューファー テンプレート:Mvar 群（に離散位相を入れたもの）は [[p進整数|テンプレート:Mvar 進整数]]のコンパクト群のポントリャーギン双対であり、テンプレート:Mvar 進整数の群はプリューファー テンプレート:Mvar 群のポントリャーギン双対である。

参考文献

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
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関連項目

• p 進整数。プリューファー p 群の有限部分群の逆極限として定義できる。
• テンプレート:仮リンク。a/2^b の形の有理数。プリューファー 2-群は 1 を法とした二進有理数と見ることができる。

外部リンク

• テンプレート:Nlab
• テンプレート:PlanetMath
• テンプレート:SpringerEOM