群の表示

数学のとくに群論における、生成元と基本関係による群の表示（ぐんのひょうじ、テンプレート:Lang-en-short）とは、群をその生成元と生成元の間に成り立つ関係によって特定することを言う。一般に群はある自由群の全射準同型像なので必ず表示を持つが、それは一意的ではない。

定義

集合テンプレート:Mvar から生成された自由群をテンプレート:Mvar とし、テンプレート:Mvar をテンプレート:Mvar 上の語からなる集合とする。このときテンプレート:Mvar の正規閉包テンプレート:Mvar による商群をテンプレート:Math とおく。これを

G = ⟨ X ∣ R ⟩

と表し、（生成元と基本関係による）群の表示という。またこのとき、テンプレート:Mvar の元を生成元、テンプレート:Mvar の元を関係（または定義関係、基本関係）といい、群テンプレート:Mvar は生成元と基本関係によって与えられると言う。基本関係テンプレート:Math に対し、式テンプレート:Math (テンプレート:Math はテンプレート:Mvar の単位元) は基本関係式とも呼ばれる。略式の言い方をすれば、テンプレート:Mvar で割ることはテンプレート:Mvar が自由群テンプレート:Mvar の元のうち、テンプレート:Mvar に属する元を単位元テンプレート:Math に等しいものとみなして得られるものであることを意味している。

テンプレート:Mvar が有限集合であるときテンプレート:Mvar は有限生成であるといい、テンプレート:Mvar が有限集合であるときテンプレート:Mvar は有限関係であるという。またテンプレート:Mvar とテンプレート:Mvar が共に有限集合のとき、群テンプレート:Mvar は有限型であるまたは有限表示されるという。

具体的に与えられた群テンプレート:Mvar が、有限生成、有限関係、有限表示であるとは、それぞれ有限生成、有限関係、有限表示であるような適当な表示を持つときに言う。

例

歴史的な例

生成元と関係による群の表示が現れる最初期の例は、1856年にアイルランドの数学者ウィリアム・ローワン・ハミルトンが自身の本 icosian calculus（正二十面体群の解析）においてテンプレート:仮リンク（＝正十二面体群）の表示を与えたものである^[1]。

最初の系統的研究は、フェリックス・クラインの弟子であるテンプレート:仮リンクが1880年代前半に、テンプレート:仮リンクの基礎付けに基づいて与えた^[2]。

よくある例

テンプレート:Math はテンプレート:Mvar 上の自由群である。自由群が「自由」であるというのは、この場合基本関係が（したがって任意の関係が）無いことを意味する。
テンプレート:Math のときテンプレート:Math は無限巡回群、すなわち整数全体のなす加法群テンプレート:Math と同型である。
自然数テンプレート:Mvar に対してテンプレート:Math とすればテンプレート:Math は位数テンプレート:Mvar の巡回群テンプレート:Math と同型である。これをテンプレート:Math と書くこともある。
テンプレート:Mvar はテンプレート:Mvar の元の交換子全体の成す集合とすると、テンプレート:Math はテンプレート:Mvar 上の自由アーベル群である。
自然数テンプレート:Mvar に対してテンプレート:Math とすればテンプレート:Math はテンプレート:Mvar 次対称群テンプレート:Mvar と同型である
自然数テンプレート:Mvar に対してテンプレート:Math とすればテンプレート:Math はテンプレート:Mvar-次組み紐群テンプレート:Mvar に同型
素数テンプレート:Mvar に対してテンプレート:Math とすればテンプレート:Math はプリューファー群テンプレート:Math と同型である。これをテンプレート:Math と書くこともある

以下の表は、よく調べられている群に対する表示の例を一覧したものである。各々の場合においてこれとは異なる表示の取り方が複数可能であり、以下に挙げたものも可能な最も効果的な表示とは限らないことに注意すべきである。

群	表示	補足
位数テンプレート:Math の二面体群テンプレート:Mvar	$⟨ r, f ∣ r^{n}, f^{2}, (r f)^{2} ⟩$	ここでテンプレート:Mvar は回転、テンプレート:Mvar は鏡映を表す
テンプレート:仮リンクテンプレート:Math	$⟨ r, f ∣ f^{2}, (r f)^{2} ⟩$
二重巡回群テンプレート:Math	$⟨ r, f ∣ r^{2 n}, r^{n} = f^{2}, f r f^{- 1} = r^{- 1} ⟩$	テンプレート:Mvar は上と同様。テンプレート:仮リンクはテンプレート:Math の場合
テンプレート:Math	$⟨ x, y ∣ x y = y x ⟩$
テンプレート:Math	$⟨ x, y ∣ x^{m}, y^{n}, x y = y x ⟩$
テンプレート:仮リンクテンプレート:Math	$⟨ s, t ∣ s^{2}, t^{3}, (s t)^{3} ⟩$
テンプレート:仮リンクテンプレート:Math	$⟨ s, t ∣ s^{2}, t^{3}, (s t)^{4} ⟩$
テンプレート:仮リンクテンプレート:Math	$⟨ s, t ∣ s^{2}, t^{3}, (s t)^{5} ⟩$
テンプレート:仮リンクテンプレート:Math	$⟨ i, j ∣ j i j = i, i j i = j ⟩$	別の表示についてはテンプレート:Math の欄を参照
テンプレート:Math	$⟨ a, b ∣ a b a = b a b, (a b a)^{4} ⟩$	位相的にはテンプレート:Mvar はトーラス上のテンプレート:仮リンク
テンプレート:Math	$⟨ a, b, j : \binom{a b a = b a b, (a b a)^{4},}{j^{2}, (j a)^{2}, (j b)^{2}} ⟩$	テンプレート:Math の非自明なテンプレート:Math-拡大
モジュラー群テンプレート:Math	$⟨ a, b ∣ a^{2}, b^{3} ⟩$	テンプレート:Math は二つの巡回群テンプレート:Math とテンプレート:Math の自由積に同型
ハイゼンベルク群	$⟨ x, y, z : \binom{z = x y x^{- 1} y^{- 1},}{x z = z x, y z = z y} ⟩$
テンプレート:仮リンクテンプレート:Math	$⟨ a, b ∣ a^{n} = b a^{m} b^{- 1} ⟩$
テンプレート:仮リンク	$⟨ a, b : \binom{a^{2}, b^{3}, (a b)^{13}, [a, b]^{5},}{[a, b a b]^{4}, (a b a b a b a b a b^{- 1})^{6}} ⟩$	テンプレート:Math は交換子

有限表示を持たない有限生成群の例として、無限巡回群テンプレート:Math 同士の輪積テンプレート:Math が挙げられる。

性質

定理: 任意の群は生成元と基本関係による表示を持つ

これを見るには与えられた群テンプレート:Mvar に対しテンプレート:Mvar 上の自由群テンプレート:Mvar を作ればよい。実際、自由群の普遍性により、群準同型テンプレート:Math でそのテンプレート:Mvar への制限が恒等写像となるものが一意に存在する。この準同型の核をテンプレート:Mvar とすればテンプレート:Mvar はテンプレート:Mvar の正規部分群（したがってその正規包はテンプレート:Mvar 自身）であるから、テンプレート:Math となる。恒等写像は全射ゆえテンプレート:Mvar もそうで、ゆえに第一同型定理によりテンプレート:Math を得る。この表示は、テンプレート:Mvar およびテンプレート:Mvar が必要以上に大きいときには極めて非効率なものとなり得ることに注意。

系: 任意の有限群は有限表示を持つ

これは与えられた群の元すべてを生成元とし、乗積表を基本関係に置けばよい。

Novikov–Boone の定理: テンプレート:仮リンクに対する否定的な解答として、任意の有限表示テンプレート:Math に対して、与えられた二つの語テンプレート:Mvar がその群の同じ元を定めるか否かを決定するアルゴリズムは存在しないことが知られている。これはテンプレート:仮リンクが1955年に^[3]、また別証明をテンプレート:仮リンクが1958年に^[4]それぞれ得ている。

別な表示の構成

テンプレート:Math, テンプレート:Math を群の表示とする。

群の自由積: テンプレート:Math
アーベル化: テンプレート:Math
- ただし左辺のテンプレート:Math は交換子部分群で、右辺のテンプレート:Math はテンプレート:Math である
群の直積: テンプレート:Math

不足数

有限表示テンプレート:Math の不足数 (deficiency) とはテンプレート:Math のことを言い、有限生成群の不足数テンプレート:Math はテンプレート:Mvar の任意の表示に対する不足数の最大値を言う。有限群の不足数は非正になる。群テンプレート:Mvar のテンプレート:仮リンクはテンプレート:Math 個の元を用いて生成することができる（十分条件）ことが知られており、テンプレート:Mvar が充足 (efficient) であるとは、この数が必要条件でもあるときに言う^[5]

幾何学的群論

幾何学的群論の意味において、群の表示はある種の幾何を決定する。それはケイリーグラフであったり、テンプレート:仮リンクであったりといったものである。これらは二種類の順序（弱順序およびテンプレート:仮リンク）を与え、ハッセ図と対応する。その重要な例はコクセター群である。

さらにいえば、このグラフの適当な性質（粗構造）は生成元の取り方に依らないという意味で内在的である。

参考文献

テンプレート:Reflist

テンプレート:Cite book

外部リンク

[1] テンプレート:Cite journal

[stillwell374-2] テンプレート:Cite book

[3] テンプレート:Citation

[4] テンプレート:Citation

[5] テンプレート:Cite book

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

群の表示

目次

定義

例

歴史的な例

よくある例

性質

別な表示の構成

不足数

幾何学的群論

参考文献

関連項目

外部リンク

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例

歴史的な例

よくある例

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別な表示の構成

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