ヘッケ作用素のソースを表示

'''ヘッケ作用素'''（ヘッケさようそ、{{lang-en-short|Hecke operator}}）とは、ウェイト<math>k</math>の[[正則保型形式]]に作用する[[作用素 (関数解析学)|作用素]]。[[モーデル作用素]]を拡張して定義される。

== 定義 ==
<math>f</math>をウェイト<math>k</math>の正則保型形式<math>M_{k}(\Gamma)</math>と仮定する。
(ただし、<math>\Gamma := SL_2(\mathbb{Z})</math>である。)
このとき、<math>m\ge 1</math>に対して、ヘッケ作用素<math>T_k(m): M_{k}(\Gamma)\rightarrow M_{k}(\Gamma)</math>は、
:<math>\begin{align}(T_k (m)f)(z) &:= m^{k-1}\sum_{ad=m}\sum^{d-1}_{b=0}d^{-k}f\left(\frac{az+b}{d}\right)\\
&=\sum^\infty_{n=0}\left(\sum_{d|(m,n)}d^{k-1}a\left(\frac{mn}{d^2}, f\right)\right)q^n\\
&=\sigma_{k-1}(m) a(0,f) + \sum^\infty_{n=1}\left(\sum_{d|(m,n)}d^{k-1}a\left(\frac{mn}{d^2}, f\right)\right)q^n,\end{align}
</math>
によって定義される{{Sfn|黒川他「数論Ⅱ」|p=454}}。
ただし、<math>\sigma_{k}(n) := \sum_{d|n}d^k</math>{{Sfn|黒川他「数論Ⅱ」|p=390}}、また、<math>a(n,f)</math>は
正則保型形式<math>f</math>のフーリエ係数である{{Sfn|黒川他「数論Ⅱ」|p=451}}。
:<math>f = \sum^\infty_{n=0} a(n,f) q^n.</math>

== ヘッケ環 ==
作用素<math>T_{k}(m)</math>は関係式
:<math>T_{k}(m) T_{k}(n) = T_{k}(n) T_{k} (m) = \sum_{d|(m,n)}d^{k-1} T_{k}\left(\frac{mn}{d^2}\right),</math>
を満足するので、<math>\mathbb{T}_{k}:=\mathbb{C}\left[T_{k}(m)|m=1,2\cdots\right]</math>は可換な<math>\mathbb{C}</math>
代数を構成する{{Sfn|黒川他「数論Ⅱ」|p=454}}。この<math>\mathbb{T}_{k}</math>を'''ヘッケ環'''と呼ぶ。
(ただし、[[ヘッケ環]]は、制限を加えたものや、局所的な類似など他にもいろいろとある{{Sfn|黒川他「数論Ⅱ」|p=454}}。)

== 出典 ==
{{reflist|2}}

== 参考文献 ==
* {{Cite book|和書
|author1=黒川信重|authorlink=黒川信重
|author2=栗原将人|authorlink2=栗原将人
|author3=斎藤毅|authorlink3=斎藤毅 (数学者)
|year=2005
|title=数論Ⅱ：岩澤理論と保型形式
|publisher=[[岩波書店]]
|isbn=4-00-005528-3|
|ref={{Sfnref|黒川他「数論Ⅱ」}} }}

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