ヘリーの選択定理のソースを表示

[[数学]]における'''ヘリーの選択定理'''（ヘリーのせんたくていり、{{Lang-en-short|Helly's selection theorem}}）は、局所的に[[有界変動函数]]であり、ある点において[[一様有界性|一様有界]]であるような函数は収束{{仮リンク|部分列|en|subsequence}}を持つ、ということを述べた定理である。言い換えると、空間 BV<sub>loc</sub> に対する[[コンパクト性定理]]である。[[オーストラリア]]の[[数学者]]である[[エードゥアルト・ヘリー]]の名にちなむ。

この定理は[[解析学]]において広く応用されている。[[確率論]]において、この結果は[[測度の緊密性|緊密な測度の族]]のコンパクト性を意味する。

== 定理の内容 ==

''U'' を[[実数直線]]のある[[開集合|開部分集合]]とし、''f''<sub>''n''</sub>&nbsp;:&nbsp;''U''&nbsp;→&nbsp;'''R''', ''n''&nbsp;∈&nbsp;'''N''' を函数列とする。次を仮定する。
* (''f''<sub>''n''</sub>) は ''U'' に[[コンパクトな埋め込み|コンパクトに埋め込まれる]]任意の ''W'' 上の一様有界{{仮リンク|全変動|en|total variation}}とする。すなわち、[[コンパクト空間|コンパクト]]な[[閉包 (位相空間論)|閉包]]を持つすべての集合 ''W''&nbsp;⊆&nbsp;''U'' に対して
::<math>\sup_{n \in \mathbb{N}} \left( \left\| f_{n} \right\|_{L^{1} (W)} + \left\| \frac{\mathrm{d} f_{n}}{\mathrm{d} t} \right\|_{L^{1} (W)} \right) < + \infty,</math>
:が成り立つ。ここで微分は[[シュワルツ超函数|緩増加超函数]]の意味で取られる；
* (''f''<sub>''n''</sub>) はある点において一様有界である。すなわち、ある ''t''&nbsp;∈&nbsp;''U'' に対して {&nbsp;''f''<sub>''n''</sub>(''t'')&nbsp;|&nbsp;''n''&nbsp;∈&nbsp;'''N'''&nbsp;}&nbsp;⊆&nbsp;'''R''' は[[有界集合|有界]]である。

このとき、''f''<sub>''n''</sub> のある{{仮リンク|部分列|en|subsequence}} ''f''<sub>''n''<sub>''k''</sub></sub>, ''k''&nbsp;∈&nbsp;'''N''' と、局所的に有界変動であるような函数 ''f''&nbsp;:&nbsp;''U''&nbsp;→&nbsp;'''R''' が存在して、次が成立する。
* ''f''<sub>''n''<sub>''k''</sub></sub> は ''f'' に各点収束する；
* ''f''<sub>''n''<sub>''k''</sub></sub> は ''L''<sup>1</sup> において局所的に ''f'' に収束する（[[局所可積分函数]]を参照）。すなわち、''U'' 内のすべてのコンパクトな埋め込み ''W'' に対して次が成り立つ。
::<math>\lim_{k \to \infty} \int_{W} \big| f_{n_{k}} (x) - f(x) \big| \, \mathrm{d} x = 0;</math>
* また ''U'' 内のコンパクトな埋め込み ''W'' に対して、次が成り立つ。
::<math>\left\| \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} t} \right\|_{L^{1} (W)} \leq \liminf_{k \to \infty} \left\| \frac{\mathrm{d} f_{n_{k}}}{\mathrm{d} t} \right\|_{L^{1} (W)}. </math>

== 一般化 ==

ヘリーの選択定理には多くの一般化と拡張が存在する。[[バナッハ空間]]に値を取る BV 函数に対する次の定理は、Barbu and Precupanu によるものである。

''X'' を[[回帰的空間|回帰的]]かつ[[可分空間|可分]]なヒルベルト空間とし、''E'' を ''X'' の閉凸集合とする。Δ&nbsp;:&nbsp;''X''&nbsp;→&nbsp;[0,&nbsp;+∞) を正定かつ[[斉次函数|次数1の斉次函数]]とする。すべての ''n''&nbsp;∈&nbsp;'''N''' と ''t''&nbsp;∈&nbsp;[0,&nbsp;''T''] に対して ''z''<sub>''n''</sub> は BV([0,&nbsp;''T''];&nbsp;''X'') 内の一様有界列で、''z''<sub>''n''</sub>(''t'')&nbsp;∈&nbsp;''E'' とする。このとき、ある部分列 ''z''<sub>''n''<sub>''k''</sub></sub> と函数 ''δ'',&nbsp;''z''&nbsp;∈&nbsp;BV([0,&nbsp;''T''];&nbsp;''X'') が存在して、次が成り立つ。
* すべての ''t''&nbsp;∈&nbsp;[0,&nbsp;''T''] に対して
::<math>\int_{[0, t)} \Delta (\mathrm{d} z_{n_{k}}) \to \delta(t);</math>
* すべての ''t''&nbsp;∈&nbsp;[0,&nbsp;''T''] に対して
::<math>z_{n_{k}} (t) \rightharpoonup z(t) \in E;</math>
* すべての 0&nbsp;≤&nbsp;''s''&nbsp;&lt;&nbsp;''t''&nbsp;≤&nbsp;''T'' に対して
::<math>\int_{[s, t)} \Delta(\mathrm{d} z) \leq \delta(t) - \delta(s).</math>

== 関連項目 ==

* [[有界変動函数]]
* {{仮リンク|フランコヴァ＝ヘリーの選択定理|en|Fraňková-Helly selection theorem}}
* {{仮リンク|全変動|en|Total variation}}

== 参考文献 ==

* {{cite book
| last = Barbu
| first = V.
|author2=Precupanu, Th.
| title = Convexity and optimization in Banach spaces
| series = Mathematics and its Applications (East European Series)
| volume = 10
| edition = Second Romanian Edition
| publisher = D. Reidel Publishing Co.
| location = Dordrecht
| year = 1986
| isbn = 90-277-1761-3
| nopp = true
| page = xviii+397
}} {{MathSciNet|id=860772}}

{{DEFAULTSORT:へりいのせんたくていり}}
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