ヘルダーの不等式のソースを表示

{{出典の明記|date=2023-04}}
[[解析学]]における'''ヘルダーの不等式'''（ヘルダーのふとうしき、{{lang-en-short|Hölder's inequality}}）とは、[[数列]]や[[可測関数]]の間に成り立つ最も基本的な[[不等式]]の一つであり、[[測度空間]]上の[[Lp空間|''L{{sup|p}}''空間]]の構造の解析などにしばしば用いられる。[[オットー・ヘルダー]]に因んでこの名前が付いている。

歴史的には1888年に[[レナード・ジェームス・ロジャース|レオナルド・J・ロジャーズ]]によって発見された。さらにその翌年に、ロジャースに触発されたヘルダーによって、[[イェンセンの不等式]]の紹介と[[凸関数]]と[[凹関数]]の発展に関する書籍内で別の証明がもたらされた{{sfn|Rogers|1888|p=}}<ref>{{citation|title=Why Hölder's inequality should be called Rogers' inequality|last=Maligranda|first=Lech|year=1998|journal=Mathematical Inequalities & Applications|volume=1|issue=1|pages=69–83|doi=10.7153/mia-01-05|mr=1492911|doi-access=free}}</ref><ref>{{citation|title=Necessary and sufficient conditions for the validity of Jensen's inequality|last1=Guessab|first1=A.|last2=Schmeisser|first2=G.|year=2013|quote=under the additional assumption that <math>\varphi''</math> exists, this inequality was already obtained by Hölder in 1889|journal=Archiv der Mathematik|volume=100|issue=6|pages=561–570|doi=10.1007/s00013-013-0522-3|mr=3069109|s2cid=253600514}}</ref>。

== 積分形のヘルダーの不等式 ==
(Ω, μ) を[[測度空間]]とし、{{math2|1 ≤ ''p'' ≤ ∞, 1 ≤ ''q'' ≤ ∞}} を {{math2|1={{sfrac|1|''p''}} + {{sfrac|1|''q''}} = 1}} なる[[実数]]とする。（{{math2|1=''p'' = 1}} のとき {{math2|1=''q'' = ∞}} とする。）Ω 上の[[可測関数]] {{math2|''f'', ''g''}} について、
:<math>\| fg \| _{L^1 (\Omega, \mu)} \le \| f \| _{L^p (\Omega, \mu)} \| g \| _{L^q (\Omega, \mu)}.</math>
が成り立つ。これは、左辺が無限大になる場合も込めて成立する不等式であり、特に {{mvar|f}} が ''L{{sup|p}}''級、{{mvar|g}} が ''L{{sup|q}}''級関数のときに {{mvar|fg}} は {{math|''L''{{sup|1}}}}級関数になることを主張している。このような {{mvar|p}} と {{mvar|q}} の関係は'''共役指数'''と呼ばれる。{{math2|1=''p'' = ''q'' = 2}} の場合のこの不等式は[[コーシー・シュワルツの不等式]]と呼ばれる。

この形でのヘルダーの不等式は[[積に対するヤングの不等式]]から以下のようにして導くことができる：{{math2|''f'', ''g''}} をノルム 1 のそれぞれ''L{{sup|p}}''関数、''L{{sup|q}}''関数とし、{{mvar|p}} と {{mvar|q}} を互いに共役な指数とする。ヤングの不等式によって
:<math>|fg(x)| \le \frac{|f(x)|^p}{p} + \frac{|g(x)|^q}{q}</math>
が成り立っており、{{mvar|x}} に関する積分によって
:<math>\|fg\|_1 \le \frac{\|f\|_p^p}p + \frac{\|g\|_q^q}q = 1 = \|f\|_p \|g\|_q</math>
が得られる。一般の関数に対するヘルダーの不等式は、2つの関数を定数倍する操作に対して両辺の項が同じ応答を示すことから、上の場合に帰着できる。

== ヘルダーの不等式の特別な形 ==
測度空間 {{math2|(Ω, ''μ'')}} が可算集合とその上の[[数え上げ測度]]によって与えられるとき、{{math|Ω}} 上の可測関数とは {{math|Ω}} の元によって添字づけられた数列のことになり、''L{{sup|p}}''ノルムは 数列の ''l{{sub|p}}''ノルムのことになる。{{math2|1 ≤ ''p'' ≤ ∞, 1 ≤ ''q'' ≤ ∞}} を共役指数の対、{{math2|1=Ω = '''N'''}} とするとヘルダーの不等式は
:<math>\textstyle\sum\limits_{k=1}^{\infty} |a_k b_k | \le \left( \sum\limits_{k=1}^{\infty} |a_k |^p \right)^{1/p} \left( \sum\limits_{k=1}^{\infty} |b_k |^q \right)^{1/q}</math>
の形に表される。また {{math2|0 < ''p'' < 1}} のときは、逆向きの不等式が成り立つ。

また、{{math2|1=''b{{sub|k}}'' = 1}} とすれば、
:<math>\textstyle \left( \sum\limits_{k=1}^n |a_k| \right)^p \le n^{p-1} \sum\limits_{k=1}^n |{a_k}|^p</math>
を得ることができる。例えば {{math2|1=''n'' = 2}} のときは、正の[[実数]] {{math2|''a'', ''b''}} に対して
:<math>(a+b)^p \le 2^{p-1}(a^p + b^p)</math>
となる。またこれらは {{math2|0 < ''p'' < 1}} のときには同様に逆向きの不等式が成り立つ。
:<math>\textstyle\sum\limits_{i=1}^n \dfrac{1}{p_i}=1</math> のとき、
:<math>\textstyle\sum\limits_{k=1}^{\infty} \left| \prod\limits_{i=1}^n a_{ki} \right| \le \prod\limits_{i=1}^n \left( \sum\limits_{k=1}^{\infty} |a_{ki} |^{p_i} \right)^{1/{p_i}}</math>
が成り立つ。ただし、各 {{mvar|p{{sub|i}}}} は正とする。

確率空間 {{math2|(Ω, Σ, ''μ'')}} 上の期待値を与える作用素を ''E'' とすると、確率変数 {{math2|''X'', ''Y''}} についてのヘルダーの不等式は
:<math>E|XY| \le (E|X|^p)^{\frac1p} (E|Y|^p)^{\frac{1}{p}}</math>
となる。この特別な場合として、{{math|0 < ''r'' < ''s''}} なる数について
:<math>E|X|^r \le (E|X|^s)^{\frac{r}{s}}</math>
が成り立つ。これは {{math2|1=''p'' = {{sfrac|''s''|''r''}}}} と確率変数 {{math|{{abs|''X''}}{{sup|''r''}}}} と {{math|1{{sub|Ω}}}} について上の式を適用することによって得られる。

=== 一般化 ===
{{math2|0 < ''p''{{sub|1}}, …, ''p{{sub|n}}'' ≤ ∞, 0 < ''p'' < ∞}} で {{math2|1={{sfrac|1|''p''}} = {{sfrac|1|''p''{{sub|1}}}} + … + {{sfrac|1|''p{{sub|n}}''}}}} とし、{{math2|1 ≤ ''k'' ≤ ''n''}} に対して {{mvar|f{{sub|k}}}} が {{mvar|L{{sup|p{{sub|k}}}}}} に属しているとする。このとき {{math2|''f''{{sub|1}}, …, ''f{{sub|n}}''}} までの[[積]]は {{mvar|L{{sup|p}}}} に属し、
:<math>\left\| \textstyle\prod\limits_{k=1}^n f_k \right\| _{L^p} \le \textstyle\prod\limits_{k=1}^n \| f_k \| _{L^{p_k}}</math>
が成り立つ。

=== 例 ===
{{math2|''f{{sup|α}}'', ''f''{{sup|1&minus;''α''}}}} に対して、一般化されたヘルダーの不等式を適用することにより次を得る。

{{math2|1 ≤ ''p'' ≤ ''q'' ≤ ∞}} で、{{mvar|f}} が {{mvar|L{{sup|p}}}} かつ {{mvar|L{{sup|q}}}} に属しているとすると、任意の {{math2|''p'' ≤ ''r'' ≤ ''q''}} に対して {{mvar|f}} は {{mvar|L{{sup|r}}}} に属し、{{math2|1={{sfrac|1|''r''}} = {{sfrac|''α''|''p''}} + {{sfrac|1 &minus; ''α''|''q''}}}} なる {{math2|0 ≤ ''α'' ≤ 1}} に対して
:<math>\| f \|_{L^r} \le \| f \|_{L^p} ^\alpha \| f \|_{L^q}^{1- \alpha }</math>
が成り立つ。

== 関連項目 ==
* [[不等式]]
* [[コーシー＝シュワルツの不等式]]
* [[ミンコフスキーの不等式]]
* [[積に対するヤングの不等式|ヤングの不等式]]
* [[Lp空間]]

== 脚注 ==
{{Reflist|30em}}

== 参考文献 ==

* {{Citation|title=Weighted inequalities and negative binomials|last1=Grinshpan|first1=A. Z.|year=2010|journal=Advances in Applied Mathematics|volume=45|issue=4|pages=564–606|doi=10.1016/j.aam.2010.04.004|doi-access=free}}
* {{citation|title=Inequalities|last1=Hardy|first1=G. H.|author-link=Godfrey Harold Hardy|last2=Littlewood|first2=J. E.|author2-link=John Edensor Littlewood|last3=Pólya|first3=G.|author3-link=George Pólya|year=1934|publisher=[[Cambridge University Press]]|pages=XII+314|isbn=0-521-35880-9|jfm=60.0169.01|zbl=0010.10703}}.
* {{citation|title=Ueber einen Mittelwertsatz|last=Hölder|first=O.|author-link=Otto Hölder|year=1889|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN00252421X|journal=Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen|series=Band|volume=1889|issue=2|pages=38–47|language=de|jfm=21.0260.07}}. Available at [https://web.archive.org/web/20090908025223/http://www.digizeitschriften.de/index.php?id=64&L=2 Digi Zeitschriften]
* {{springer|last=Kuptsov|first=L. P.|id=H/h047514|title=Hölder inequality}}.
* {{Narici Beckenstein Topological Vector Spaces|edition=2}}<!--{{sfn | Narici | 2011 | p=}}-->
* {{Citation|和書|title=An extension of a certain theorem in inequalities|last=Rogers|first=L. J.|author-link=レナード・ジェームス・ロジャース|date=February|year=1888|url=https://archive.org/details/messengermathem01unkngoog|archive-url=https://archive.org/stream/messengermathem01unkngoog#page/n183/mode/1up|archive-date=August 21, 2007|journal=[[Messenger of Mathematics]]|series=New Series|volume=XVII|issue=10|pages=145–150|jfm=20.0254.02}}.
* {{Citation|title=Advanced Linear Algebra|last=Roman|first=Stephen|author-link=Steven Roman|date=2008|edition=Third|publisher=Springer|series=[[Graduate Texts in Mathematics]]|pages=|isbn=978-0-387-72828-5}}
* {{Citation|title=Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels|last=Trèves|first=François|year=1967|publisher=Academic Press|series=Pure and Applied Mathematics. A Series of Monographs and Textbooks|volume=25|place=New York, London|mr=0225131|zbl=0171.10402}}.

== 外部リンク ==
* {{高校数学の美しい物語|640|ヘルダーの不等式の証明と例題}}
* {{高校数学の美しい物語|811|ヘルダーの不等式の数学オリンピックへの応用}}

{{DEFAULTSORT:へるたのふとうしき}}
[[Category:解析学]]
[[Category:不等式]]
[[Category:オットー・ヘルダー]]
[[Category:人名を冠した数式]]
[[Category:数学に関する記事]]