ヘルダー平均のソースを表示

'''ヘルダー平均'''（ヘルダーへいきん、{{lang-en|Hölder mean}}）、または'''べき平均'''（べきへいきん）、'''一般化平均'''（いっぱんかへいきん、{{lang-en|generalized mean}}）、<ref name=sykora/>とは、数の集合を集計する関数の族である。特別な場合として[[ピタゴラス平均]]（[[算術平均]]、[[幾何平均]]、[[調和平均]]）を含む。名称は[[オットー・ヘルダー]]にちなむ。

== 定義 ==
{{math|''p''}} を0でない実数とする。正の実数 {{math|''x''{{sub|1}}, ... , ''x{{sub|n}}''}} に対して指数 {{math|''p''}} のヘルダー平均は次で定義される<ref name="Bullen1"/>：
:<math>M_p(x_1,\dots,x_n) := \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^p \right)^{1/p}</math>
{{See also|[[ノルム#p-ノルム|{{math|''p''}}-ノルム]]}}
{{math|''p'' {{=}} 0}} のときは、幾何平均（指数が0に向かうときの極限）で定義する。
:<math>M_0(x_1, \dots, x_n) := \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i}</math>
さらに、重み {{math|''w<sub>i</sub>''}} （正の数のセット。ただし<math>\sum w_i = 1</math>）に対して重み付きヘルダー平均は次で定義される：
:<math>\begin{align}
  M_p(x_1,\dots,x_n) &:= \left(\sum_{i=1}^n w_i x_i^p \right)^{1/p} \\
  M_0(x_1,\dots,x_n) &:= \prod_{i=1}^n x_i^{w_i}
\end{align}</math>
重みを考えない平均は、すべての重みを {{math|''w<sub>i</sub>'' {{=}} 1/''n''}} としたものに相当する。

== 特別な場合 ==
[[Image:MathematicalMeans.svg|thumb|{{math|1=''n'' = 2}}、{{math|1=''a'' = ''x''{{sub|1}} = ''M''{{sub|∞}}, ''b'' = ''x''{{sub|2}} = ''M''{{sub|−∞}}}}の場合の図示。
{{legend|magenta|調和平均、{{math|''H'' {{=}} ''M''{{sub|−1}}(''a'', ''b'')}},}}
{{legend|blue|幾何平均、{{math|''G'' {{=}} ''M''{{sub|0}}(''a'', ''b'')}}}}
{{legend|red|算術平均、{{math|''A'' {{=}} ''M''{{sub|1}}(''a'', ''b'')}}}}
{{legend|lime|二乗平均、{{math|''Q'' {{=}} ''M''{{sub|2}}(''a'', ''b'')}}}}]]
いくつかの特定の {{math|''p''}} の値に対しては、特別の名前が付けられている<ref name="mw"> {{MathWorld|title=Power Mean|urlname=PowerMean}} (retrieved 2019-08-17)</ref>。
; [[最小値]]: <math>M_{-\infty}(x_1,\dots,x_n) \equiv \lim_{p\to-\infty} M_p(x_1,\dots,x_n) = \min \{x_1,\dots,x_n\}</math>
; [[調和平均]]: <math>M_{-1}(x_1,\dots,x_n) = \frac{n}{\frac{1}{x_1}+\dots+\frac{1}{x_n}}</math>
; [[幾何平均]]: <math>M_0(x_1,\dots,x_n) \equiv \lim_{p\to0} M_p(x_1,\dots,x_n) = \sqrt[n]{x_1\dots x_n}</math>
; [[算術平均]]: <math>M_1(x_1,\dots,x_n) = \frac{x_1 + \dots + x_n}{n}</math>
; [[二乗平均平方根]]: <math>M_2(x_1,\dots,x_n) = \sqrt{\frac{x_1^2 + \dots + x_n^2}{n}}</math>
; [[立方平均]]: <math>M_3(x_1,\dots,x_n) = \sqrt[3]{\frac{x_1^3 + \dots + x_n^3}{n}}</math>
; [[最大値]]: <math>M_{+\infty}(x_1,\dots,x_n) \equiv \lim_{p\to\infty} M_p(x_1,\dots,x_n) = \max \{x_1,\dots,x_n\}</math>

:{| class="toccolours collapsible collapsed" width="90%" style="text-align:left"
!<math>\textstyle \lim_{p \to 0} M_p = M_0</math>の証明 (幾何平均)
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指数関数を使って{{math|''M<sub>p</sub>''}} の定義式を書き変える。
:<math>M_p(x_1,\dots,x_n) = \exp{\left( \ln{\left[\left(\sum_{i=1}^n w_ix_{i}^p \right)^{1/p}\right]} \right) } = \exp{\left( \frac{\ln{\left(\sum_{i=1}^n w_ix_{i}^p \right)}}{p} \right) }</math>
{{math|''p'' &rarr; 0}} の極限で指数関数の引数に[[ロピタルの定理]]を適用する。分子と分母をそれぞれ {{math|''p''}} で微分することで
:<math display=block>\begin{align}
 \lim_{p \to 0} \frac{\ln{\left(\sum_{i=1}^n w_ix_{i}^p \right)}}{p} &= \lim_{p \to 0} \frac{\frac{\sum_{i=1}^n w_i x_i^p \ln{x_i}}{\sum_{j=1}^n w_j x_j^p}}{1} \\
 &= \lim_{p \to 0} \frac{\sum_{i=1}^n w_i x_i^p \ln{x_i}}{\sum_{j=1}^n w_j x_j^p} \\
 &= \frac{\sum_{i=1}^n w_i \ln{x_i}}{\sum_{j=1}^n w_j} \\
 &= \sum_{i=1}^n w_i \ln{x_i} \\
 &= \ln{\left(\prod_{i=1}^n x_i^{w_i} \right)}
\end{align}</math>
を得る（重み {{math|''w<sub>j</sub>''}} の合計が必ず1になることを利用した）。指数関数の連続性により上の関係を代入し直して
:<math>\lim_{p \to 0} M_p(x_1,\dots,x_n) = \exp{\left( \ln{\left(\prod_{i=1}^n x_i^{w_i} \right)} \right)} = \prod_{i=1}^n x_i^{w_i} = M_0(x_1,\dots,x_n)</math>
を得る<ref name="Bullen1">P. S. Bullen: ''Handbook of Means and Their Inequalities''. Dordrecht, Netherlands: Kluwer, 2003, pp. 175-177</ref>。
|}
:{| class="toccolours collapsible collapsed" width="90%" style="text-align:left"
! <math>\textstyle \lim_{p \to \infty} M_p = M_\infty</math> および <math>\textstyle \lim_{p \to -\infty} M_p = M_{-\infty}</math>の証明
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（必要なら添え字を付けなおすなどして）<math>x_1 \geq \dots \geq x_n</math>と仮定する。すると
:<math display=block>\begin{align}
 \lim_{p \to \infty} M_p(x_1,\dots,x_n) &= \lim_{p \to \infty} \left( \sum_{i=1}^n w_i x_i^p \right)^{1/p} \\
 &= x_1 \lim_{p \to \infty} \left( \sum_{i=1}^n w_i \left( \frac{x_i}{x_1} \right)^p \right)^{1/p} \\
 &= x_1 = M_\infty (x_1,\dots,x_n)
\end{align}</math>
を得る。<math>M_{-\infty}</math>については 
:<math display="block">M_{-\infty} (x_1,\dots,x_n) = \frac{1}{M_\infty (1/x_1,\dots,1/x_n)} = x_n</math>
より導出できる。
|}

== 性質 ==
ヘルダー平均は次の性質をもつ<ref name=sykora>{{cite book|last=Sýkora|first=Stanislav|year=2009|title=Mathematical means and averages: basic properties|publisher=Stan’s Library: Castano Primo, Italy|volume=3|doi=10.3247/SL3Math09.001 }}</ref>：
* 引数 {{math|''x''{{sub|1}}, ... , ''x{{sub|n}}''}} の最小値と最大値の間にある。
*: <math>\min(x_1, \dots, x_n) \le M_p(x_1, \dots, x_n) \le \max(x_1, \dots, x_n)</math>
* 引数に対して対称である。つまり引数を並べ替えてもその値を変えない。引数の[[置換 (数学)|置換]]演算子を {{math|''P''}} とすると次式で表される：
*: <math>M_p(x_1, \dots, x_n) = M_p(P(x_1, \dots, x_n))</math>
* 他の平均と同様、引数 {{math|''x''{{sub|1}}, ... , ''x{{sub|n}}''}} に対して[[斉次函数|斉次]]である。つまり {{math|''b''}} を正の実数として次式が成り立つ：
*: <math>M_p(b x_1, \dots, b x_n) = b M_p(x_1, \dots, x_n)</math>
* {{仮リンク|準算術平均|en|quasi-arithmetic mean}}と同様に、平均の計算は同じサイズのサブブロックの計算に分割できる。これにより、必要に応じて[[分割統治法]]を使用して平均を計算できる。
*: <math>M_p(x_1, \dots, x_{nk}) = M_p\left[M_p(x_1, \dots, x_{k}), M_p(x_{k + 1}, \dots, x_{2k}), \dots, M_p(x_{(n - 1)k + 1}, \dots, x_{nk})\right]</math>

=== 異なるヘルダー平均の間に成り立つ不等式 ===
一般に {{math|-&#x221E; &le; ''p'' < ''q'' &le; +&#x221E;}} ならば
:<math>M_p(x_1, \dots , x_n) \le M_q(x_1, \dots , x_n)</math>
である。また2つの平均が等しいのは {{math| ''x''<sub>1</sub> {{=}} ''x''<sub>2</sub> {{=}} &#x22EF; {{=}} ''x<sub>n</sub>''}} の[[とき、かつそのときに限る]]。これは[[イェンセンの不等式]]より、任意の実数 {{math|''p''}} に対して
: <math>\frac{\partial}{\partial p}M_p(x_1, \dots, x_n) \geq 0</math>
が成り立つためである。

特に {{math|''p'' {{=}} -1, 0, 1}} の場合を考えると、この不等式は[[平均#関係式|調和平均 &le; 幾何平均 &le; 相加平均]]
:<math>
\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots\frac{1}{x_n}}
\le \sqrt[n]{x_1x_2\cdots{}x_n} 
\le \frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n} 
</math>
を意味する。

== 応用 ==
=== 信号処理 ===
ヘルダー平均より非線形[[移動平均]]が導かれる。これは小さい {{math|''p''}} の場合には小さい信号値を強調し、大きい {{math|''p''}} の場合は大きい信号値を強調する。[[ローパスフィルタ|移動算術平均]]の効率的な実装である <code>smooth</code> が使えるならば、次の[[Haskell]]コードに従って移動ヘルダー平均を実装できる。

<syntaxhighlight lang="haskell">
 powerSmooth :: Floating a => ([a] -> [a]) -> a -> [a] -> [a]
 powerSmooth smooth p = map (** recip p) . smooth . map (**p)
</syntaxhighlight>

* {{math|''p''}} が大きい場合、[[整流器|整流]]された信号の[[包絡線検波]]が得られる。
* {{math|''p''}} が小さい場合、[[マススペクトル]]の[[ベースライン（分光測定）|ベースライン検出器]]が得られる。

== 一般化 ''f''-平均 ==
ヘルダー平均はさらに{{仮リンク|一般化f平均|label=一般化 ''f''-平均|en|generalized f-mean}}に一般化できる。
:<math> M_f(x_1,\dots,x_n) = f^{-1} \left({\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{f(x_i)}}\right) </math>
この式は {{math|''f''(''x'') {{=}} log ''x''}} とすれば、極限を使うことなく幾何平均も表すことができる。ヘルダー平均は {{math|''f''(''x'') {{=}} ''x<sup>p</sup>''}} とすることで得られる。

== 脚注 ==
<references/>

== 関連項目 ==
* [[算術幾何平均]]
* [[平均]]
* {{仮リンク|ヘロニアン平均|en|Heronian mean}}
* {{仮リンク|算術平均と幾何平均の不等式|en|Inequality of arithmetic and geometric means}}
* {{仮リンク|レーマー平均|en|Lehmer mean}} &ndash; これもヘルダー平均と同様に[[冪乗]]に関係する平均である。
* [[ミンコフスキー距離]]

== 外部リンク ==
*[http://mathworld.wolfram.com/PowerMean.html Power mean at MathWorld]
*[http://people.revoledu.com/kardi/tutorial/BasicMath/Average/Generalized%20mean.html Examples of Generalized Mean]
*A [https://planetmath.org/ProofOfGeneralMeansInequality proof of the Generalized Mean] on [[PlanetMath]]

{{DEFAULTSORT:へるたあへいきん}}
[[Category:平均]]
[[Category:オットー・ヘルダー]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:数学に関する記事]]