ヘルダー平均

ヘルダー平均（ヘルダーへいきん、テンプレート:Lang-en）、またはべき平均（べきへいきん）、一般化平均（いっぱんかへいきん、テンプレート:Lang-en）、とは、数の集合を集計する関数の族である。特別な場合としてピタゴラス平均（算術平均、幾何平均、調和平均）を含む。名称はオットー・ヘルダーにちなむ。

定義

テンプレート:Math を0でない実数とする。正の実数 テンプレート:Math に対して指数 テンプレート:Math のヘルダー平均は次で定義される：

$M_p(x_1,\dots ,x_n):={\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i^p\right)}^{1/p}$

テンプレート:See also テンプレート:Math のときは、幾何平均（指数が0に向かうときの極限）で定義する。

$M_0(x_1,\dots ,x_n):=\sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i}$

さらに、重み テンプレート:Math （正の数のセット。ただし$\sum w_i=1$）に対して重み付きヘルダー平均は次で定義される：

$\begin{array}{cc}{M}_p(x_1,\dots ,x_n)& :={\left(\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i^p\right)}^{1/p}\\ M_0(x_1,\dots ,x_n)& :=\prod _{i=1}^n{x}_i^{w_i}\end{array}$

重みを考えない平均は、すべての重みを テンプレート:Math としたものに相当する。

特別な場合

テンプレート:Math、テンプレート:Mathの場合の図示。 テンプレート:Legend テンプレート:Legend テンプレート:Legend テンプレート:Legend

いくつかの特定の テンプレート:Math の値に対しては、特別の名前が付けられている。

最小値

$M_{-\mathrm{\infty }}(x_1,\dots ,x_n)\equiv \underset{p\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{M}_p(x_1,\dots ,x_n)=\min \{x_1,\dots ,x_n\}$

調和平均

$M_{-1}(x_1,\dots ,x_n)=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\dots +\frac{1}{x_n}}$

幾何平均

$M_0(x_1,\dots ,x_n)\equiv \underset{p\to 0}{\lim }{M}_p(x_1,\dots ,x_n)=\sqrt[n]{x_1\dots x_n}$

算術平均

$M_1(x_1,\dots ,x_n)=\frac{x_1+\dots +x_n}{n}$

二乗平均平方根

$M_2(x_1,\dots ,x_n)=\sqrt{\frac{x_1^2+\dots +x_n^2}{n}}$

立方平均

$M_3(x_1,\dots ,x_n)=\sqrt[3]{\frac{x_1^3+\dots +x_n^3}{n}}$

最大値

$M_{+\mathrm{\infty }}(x_1,\dots ,x_n)\equiv \underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }{M}_p(x_1,\dots ,x_n)=\max \{x_1,\dots ,x_n\}$

$\underset{p\to 0}{\lim }{M}_p=M_0$の証明 (幾何平均)

指数関数を使ってテンプレート:Math の定義式を書き変える。 $M_p(x_1,\dots ,x_n)=\exp (\ln \left[{\left(\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i^p\right)}^{1/p}\right])=\exp \left(\frac{\ln \left(\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i^p\right)}{p}\right)$ テンプレート:Math の極限で指数関数の引数にロピタルの定理を適用する。分子と分母をそれぞれ テンプレート:Math で微分することで $$\begin{array}{cc}\underset{p\to 0}{\lim }\frac{\ln \left(\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i^p\right)}{p}& =\underset{p\to 0}{\lim }\frac{\frac{\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i^p\ln x_i}{\sum _{j=1}^n{w}_j{x}_j^p}}{1}\\ & =\underset{p\to 0}{\lim }\frac{\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i^p\ln x_i}{\sum _{j=1}^n{w}_j{x}_j^p}\\ & =\frac{\sum _{i=1}^n{w}_i\ln x_i}{\sum _{j=1}^n{w}_j}\\ & =\sum _{i=1}^n{w}_i\ln x_i\\ & =\ln \left(\prod _{i=1}^n{x}_i^{w_i}\right)\end{array}$$ を得る（重み テンプレート:Math の合計が必ず1になることを利用した）。指数関数の連続性により上の関係を代入し直して $\underset{p\to 0}{\lim }{M}_p(x_1,\dots ,x_n)=\exp (\ln \left(\prod _{i=1}^n{x}_i^{w_i}\right))=\prod _{i=1}^n{x}_i^{w_i}=M_0(x_1,\dots ,x_n)$ を得る。

$\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }{M}_p=M_{\mathrm{\infty }}$ および $\underset{p\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{M}_p=M_{-\mathrm{\infty }}$の証明

（必要なら添え字を付けなおすなどして）$x_1\ge \dots \ge x_n$と仮定する。すると $$\begin{array}{cc}\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }{M}_p(x_1,\dots ,x_n)& =\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left(\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i^p\right)}^{1/p}\\ & =x_1\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left(\sum _{i=1}^n{w}_i{\left(\frac{x_i}{x_1}\right)}^p\right)}^{1/p}\\ & =x_1=M_{\mathrm{\infty }}(x_1,\dots ,x_n)\end{array}$$ を得る。$M_{-\mathrm{\infty }}$については $$M_{-\mathrm{\infty }}(x_1,\dots ,x_n)=\frac{1}{M_{\mathrm{\infty }}(1/x_1,\dots ,1/x_n)}=x_n$$ より導出できる。

性質

ヘルダー平均は次の性質をもつ：

• 引数 テンプレート:Math の最小値と最大値の間にある。

  $\min (x_1,\dots ,x_n)\le M_p(x_1,\dots ,x_n)\le \max (x_1,\dots ,x_n)$

• 引数に対して対称である。つまり引数を並べ替えてもその値を変えない。引数の置換演算子を テンプレート:Math とすると次式で表される：

  $M_p(x_1,\dots ,x_n)=M_p(P(x_1,\dots ,x_n))$

• 他の平均と同様、引数 テンプレート:Math に対して斉次である。つまり テンプレート:Math を正の実数として次式が成り立つ：

  $M_p(b{x}_1,\dots ,b{x}_n)=b{M}_p(x_1,\dots ,x_n)$

• テンプレート:仮リンクと同様に、平均の計算は同じサイズのサブブロックの計算に分割できる。これにより、必要に応じて分割統治法を使用して平均を計算できる。

  $M_p(x_1,\dots ,x_{nk})=M_p[M_p(x_1,\dots ,x_k),M_p(x_{k+1},\dots ,x_{2k}),\dots ,M_p(x_{(n-1)k+1},\dots ,x_{nk})]$

異なるヘルダー平均の間に成り立つ不等式

一般に テンプレート:Math ならば

$M_p(x_1,\dots ,x_n)\le M_q(x_1,\dots ,x_n)$

である。また2つの平均が等しいのは テンプレート:Math のとき、かつそのときに限る。これはイェンセンの不等式より、任意の実数 テンプレート:Math に対して

$\frac{\partial }{\partial p}{M}_p(x_1,\dots ,x_n)\ge 0$

が成り立つためである。

特に テンプレート:Math の場合を考えると、この不等式は調和平均 ≤ 幾何平均 ≤ 相加平均

$\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots \frac{1}{x_n}}\le \sqrt[n]{x_1{x}_2\cdots x_n}\le \frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}$

を意味する。

応用

信号処理

ヘルダー平均より非線形移動平均が導かれる。これは小さい テンプレート:Math の場合には小さい信号値を強調し、大きい テンプレート:Math の場合は大きい信号値を強調する。移動算術平均の効率的な実装である smooth が使えるならば、次のHaskellコードに従って移動ヘルダー平均を実装できる。

 powerSmooth :: Floating a => ([a] -> [a]) -> a -> [a] -> [a]
 powerSmooth smooth p = map (** recip p) . smooth . map (**p)

• テンプレート:Math が大きい場合、整流された信号の包絡線検波が得られる。
• テンプレート:Math が小さい場合、マススペクトルのベースライン検出器が得られる。

一般化 f-平均

ヘルダー平均はさらにテンプレート:仮リンクに一般化できる。

$M_f(x_1,\dots ,x_n)=f^{-1}\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}f(x_i)\right)$

この式は テンプレート:Math とすれば、極限を使うことなく幾何平均も表すことができる。ヘルダー平均は テンプレート:Math とすることで得られる。

関連項目

• 算術幾何平均
• 平均
• テンプレート:仮リンク
• テンプレート:仮リンク
• テンプレート:仮リンク – これもヘルダー平均と同様に冪乗に関係する平均である。
• ミンコフスキー距離

外部リンク

• Power mean at MathWorld
• Examples of Generalized Mean
• A proof of the Generalized Mean on PlanetMath