ヘルムホルツの定理のソースを表示

{{otheruses}}
'''ヘルムホルツの定理'''（ヘルムホルツのていり、{{lang-en-short|Helmholtz's theorem}}）とは、[[ベクトル解析]]における定理の一つ。ヘルムホルツの定理により、任意の[[ベクトル場]]を[[回転 (ベクトル解析)|回転]]なしの場と[[発散 (ベクトル解析)|発散]]なしの場に分解できることが示される。回転なしの場は元の場の[[波数空間]]における縦成分、発散なしの場は元の場の波数空間における横成分に対応し、ベクトル場をこれらの成分に分解することを'''ヘルムホルツ分解''' {{en|(Helmholtz's decomposition)}} と呼ぶ。定理の名はドイツの物理学者[[ヘルマン・フォン・ヘルムホルツ]]に因む。

ベクトル解析の応用として、[[物理学]]の特に[[電磁気学]]や[[流体力学]]などでしばしば利用されている。

==概要==
3 次元の任意のベクトル場 {{math|'''F'''('''x''')}} に対し、[[スカラーポテンシャル]] {{math|''&phi;''('''x''')}} と[[ベクトルポテンシャル]] {{math|'''A'''('''x''')}} で
{{numBlk|:|<math>
\mathbf{F}(\mathbf x) = - \nabla\phi(\mathbf x) + \nabla \times \mathbf{A}(\mathbf x)
=-\operatorname{grad}\phi(\mathbf x) + \operatorname{rot}\mathbf{A}(\mathbf x)
</math>
|{{equationRef|decomposition|ヘルムホルツの定理}}
}}
を満たすものが存在する。すなわち任意のベクトル場 {{math|'''F'''}} を、スカラー場 {{mvar|&phi;}} の[[勾配 (ベクトル解析)|勾配]] {{math|&nabla;&thinsp;''&phi;'' {{=}} grad&thinsp;''&phi;''}} で表される項とベクトル場 {{math|'''A'''}} の[[回転 (数学)|回転]] {{math|&nabla;&thinsp;&times;&thinsp;'''A''' {{=}} rot&thinsp;'''A'''}} で表される項に分解して表示できる。これを'''ヘルムホルツの定理'''と呼ぶ。{{mvar|&phi;}} の前に負号がついているのは、スカラーポテンシャルの物理的な意味に則するためであり、数学的には負号をつけなくても良い。

{{mvar|&phi;}} と {{math|'''A'''}} の取り方は一意的ではなく、{{mvar|&phi;}} に任意の定数 {{mvar|c}} を加えたものや、{{math|'''A'''}} に任意のスカラー場 {{mvar|&chi;}} の勾配 {{math|grad ''&chi;''}} を加えたものも{{equationNote|decomposition|上記の分解定理}}を満たしている。
:<math>\operatorname{grad}\phi' = \operatorname{grad}\left(\phi + c\right) = \operatorname{grad}\phi</math>
:<math>\operatorname{rot}\mathbf{A}' = \operatorname{rot}\left(\mathbf{A} + \operatorname{grad}\chi \right) = \operatorname{rot}\mathbf{A}</math>
これらの関係は {{math|grad&thinsp;''c'' {{=}} '''0'''}} および {{math|rot&thinsp;grad&thinsp;''&chi;'' {{=}} '''0'''}} より導かれる。
他に、以下の方程式を満たすような場 {{math|''&psi;''('''x'''), '''B'''('''x''')}} を加える自由度がある。
:<math>
\mathbf{0} = - \operatorname{grad}\psi(\mathbf x) + \operatorname{rot}\mathbf{B}(\mathbf x).
</math>
例として、{{mvar|&phi;}} に {{math|&Delta;''&psi;'' {{=}} 0}} を満たす[[調和関数]] {{mvar|&psi;}} を加え、{{math|'''A'''}} にそれを打ち消す項を加えることができる。

応用上、よく用いられるスカラーポテンシャル {{mvar|&phi;}} とベクトルポテンシャル {{math|'''A'''}} の与え方として、
:<math>
\phi(\mathbf{x})=\frac{1}{4\pi}
\int 
\frac{\nabla' \cdot \mathbf{F}(\mathbf{x}')}{|\mathbf{x}'-\mathbf{x}|}
\, d^3\mathbf{x}'
</math>
:<math>
\mathbf{A}(\mathbf{x})=\frac{1}{4\pi}
\int 
\frac{\nabla' \times \mathbf{F}(\mathbf{x}')}{|\mathbf{x}'-\mathbf{x}|}
\, d^3\mathbf{x}'
</math>
が存在する。但し、この体積分が定義されるためには、ベクトル場 {{math|'''F'''('''x''')}} が遠方で充分早く {{math|0}} に近づくことが必要である。

== 分解の意味 ==
{{numBlk|:|
<math>
\mathbf{F}_\mathrm{L}(\mathbf{x}) = -\nabla \phi(\mathbf{x})
</math>
|{{equationRef|irrotational-component|1}}
}}
{{numBlk|:|
<math>
\mathbf{F}_\mathrm{T}(\mathbf{x}) = \nabla \times \mathbf{A}(\mathbf{x})
</math>
|{{equationRef|solenoidal-component|2}}
}}
とすると
{{numBlk|:|
<math>
\nabla \times \mathbf{F}_\mathrm{L}(\mathbf{x}) = \operatorname{rot}\mathbf{F}_\mathrm{L}(\mathbf{x}) = \mathbf{0}
</math>
|{{equationRef|irrotational-behavior|3}}
}}
{{numBlk|:|
<math>
\nabla \cdot \mathbf{F}_\mathrm{T}(\mathbf{x}) = \operatorname{div}\mathbf{F}_\mathrm{T}(\mathbf{x}) = 0
</math>
|{{equationRef|solenoidal-behavior|4}}
}}
であり、元のベクトル場 {{math|'''F'''}} が'''渦なし''' ({{en|irrotational}}) のベクトル場 {{math|'''F'''<sub>L</sub>}} と'''発散なし''' ({{en|divergence free}}) のベクトル場 {{math|'''F'''<sub>T</sub>}} に分解されていることが分かる。

{{math|'''F'''<sub>L</sub>('''x''')}} は'''縦成分''' {{en|(longitudinal component)}}、{{math|'''F'''<sub>T</sub>('''x''')}} は'''横成分''' {{en|(transverse component)}} と呼ばれる。このことは、縦成分 {{math|'''F'''<sub>L</sub>('''x''')}} の[[フーリエ変換]] {{math|{{tilde|'''F'''}}<sub>L</sub>('''k''')}} が[[波数|波数ベクトル]]に対して[[平行]]であり、横成分 {{math|'''F'''<sub>T</sub>('''x''')}} の[[フーリエ変換]] {{math|{{tilde|'''F'''}}<sub>T</sub>('''k''')}} が波数ベクトルに対して[[直交]]していることによる。
:<math>
\mathbf{k} \parallel \tilde{\mathbf F}_\mathrm{L}(\mathbf{k})
</math>
:<math>
\mathbf{k} \perp \tilde{\mathbf F}_\mathrm{T}(\mathbf{k})
</math>

注意しなければならないことは、これが波数空間上の性質であり、実空間上の性質ではないということである。

ベクトル場 {{math|'''V'''('''x''')}} のフーリエ変換は以下のように表される。
{{numBlk|:|<math>
\mathbf{V}(\mathbf{x}) = \frac{1}{(2\pi)^3}
\int \mathrm{e}^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{x}}\tilde{\mathbf{V}}(\mathbf{k})
\mathrm{d}^3\mathbf{k}.
</math>|{{equationRef|Fourier|フーリエ変換}}
}}
これを縦成分および横成分について行い、({{equationNote|irrotational-behavior|3}}), ({{equationNote|solenoidal-behavior|4}}) を適用すれば、次の関係が得られる<ref group="注">{{math|&nabla;&middot;'''V'''('''k''')e{{sup|''i'''''k'''&middot;'''x'''}} {{=}} ''i'''''k'''&middot;'''V'''('''k''')&thinsp;e{{sup|''i'''''k'''&middot;'''x'''}}}} および {{math|&nabla;&thinsp;&times;&thinsp;'''V'''('''k''')e{{sup|''i'''''k'''&middot;'''x'''}} {{=}} ''i'''''k'''&thinsp;&times;&thinsp;'''V'''('''k''')e{{sup|''i'''''k'''&middot;'''x'''}}}} に注意。この関係は[[指数関数]]の[[微分]] {{math|&part;{{sub|''&alpha;''}}e{{sup|''i'''''k'''&middot;'''x'''}} {{=}} ''ik{{sub|&alpha;}}''e{{sup|''i'''''k'''&middot;'''x'''}}}} から直ちに得られる。ここで {{math|&part;{{sub|''&alpha;''}}}} は {{math|''&alpha;'' {{=}} ''x'', ''y'', ''z''}} に対する[[偏微分]]である。</ref>。
{{numBlk|:|
<math>
\mathbf{0} = \frac{1}{(2\pi)^3}
\int \mathrm{e}^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{x}}
i\mathbf{k}\times\tilde{\mathbf F}_\mathrm{L}(\mathbf{k})
\mathrm{d}^3\mathbf{k},
</math>
|{{equationRef|5|(5) &larr; (3)}}
|RawN=.
}}
{{numBlk|:|
<math>
0 = \frac{1}{(2\pi)^3}
\int \mathrm{e}^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{x}}
i\mathbf{k}\cdot\tilde{\mathbf F}_\mathrm{T}(\mathbf{k})
\mathrm{d}^3\mathbf{k}.
</math>
|{{equationRef|6|(6) &larr; (4)}}
|RawN=.
}}
{{math|'''k'''}} に平行な {{math|{{tilde|'''F'''}}<sub>L</sub>('''k''')}} と {{math|'''k'''}} に直交する {{math|{{tilde|'''F'''}}<sub>T</sub>('''k''')}} はそれぞれ上記の式を満たす。すなわち、元のベクトル場のフーリエ変換 {{math|{{tilde|'''F'''}}('''k''')}} は波数 {{math|'''k'''}} に平行な成分 {{math|{{tilde|'''F'''}}<sub>L</sub>('''k''')}} と直交する成分 {{math|{{tilde|'''F'''}}<sub>T</sub>('''k''')}} に分解できることが分かる。
なお {{math|{{tilde|'''F'''}}<sub>L</sub>('''k'''), {{tilde|'''F'''}}<sub>T</sub>('''k''')}} は、
:<math>
 \tilde{\mathbf F}_\mathrm{L}(\mathbf{k}) = (\hat{\mathbf k}\cdot \tilde{\mathbf F}(\mathbf{k}))\hat{\mathbf k}
</math>
:<math>
 \tilde{\mathbf F}_\mathrm{T}(\mathbf{k}) = (\hat{\mathbf k} \times \tilde{\mathbf F}(\mathbf{k})) \times  \hat{\mathbf k}
</math>
の関係を満たす。ここで {{math|{{hat|'''k'''}} {{=}} '''k'''/{{!}}'''k'''{{!}}}} は波数 {{math|'''k'''}} の方向ベクトルである。

== 脚注 ==
=== 注釈 ===
{{reflist|group="注"}}
=== 参照 ===
{{reflist}}

==参考文献==
*{{cite book|和書|author=岩堀長慶|authorlink=岩堀長慶|title=ベクトル解析|publisher=裳華房|date=1960|isbn=9784785313029|ref=harv}}
*{{cite book|和書|author=太田浩一|authorlink=太田浩一|title=マクスウェル理論の基礎　相対論と電磁気学|publisher=東京大学出版会|date=2002|isbn=9784130626040|ref=harv}}

==関連項目==
*[[ベクトル解析]]
**[[ナブラ]]：{{math|&nabla;}}
**[[勾配 (ベクトル解析)]]：{{math|grad}}
**[[回転 (ベクトル解析)]]：{{math|rot}}
**[[発散 (ベクトル解析)]]：{{math|div}}
*[[スカラーポテンシャル]]
*[[ベクトルポテンシャル]]
*[[流体力学]]
*[[電磁気学]]
*[[ポアソン方程式]]
*[[ホッジ分解]] - 本定理の一般化

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:へるむほるつのていり}}
[[Category:解析学の定理]]
[[Category:物理学の定理]]
[[Category:ベクトル解析]]
[[Category:物理数学]]
[[Category:ヘルマン・フォン・ヘルムホルツ]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:エポニム]]