ヘルムホルツの定理

テンプレート:Otheruses ヘルムホルツの定理（ヘルムホルツのていり、テンプレート:Lang-en-short）とは、ベクトル解析における定理の一つ。ヘルムホルツの定理により、任意のベクトル場を回転なしの場と発散なしの場に分解できることが示される。回転なしの場は元の場の波数空間における縦成分、発散なしの場は元の場の波数空間における横成分に対応し、ベクトル場をこれらの成分に分解することをヘルムホルツ分解 テンプレート:En と呼ぶ。定理の名はドイツの物理学者ヘルマン・フォン・ヘルムホルツに因む。

ベクトル解析の応用として、物理学の特に電磁気学や流体力学などでしばしば利用されている。

概要

3 次元の任意のベクトル場 テンプレート:Math に対し、スカラーポテンシャル テンプレート:Math とベクトルポテンシャル テンプレート:Math で テンプレート:NumBlk を満たすものが存在する。すなわち任意のベクトル場 テンプレート:Math を、スカラー場 テンプレート:Mvar の勾配 テンプレート:Math で表される項とベクトル場 テンプレート:Math の回転 テンプレート:Math で表される項に分解して表示できる。これをヘルムホルツの定理と呼ぶ。テンプレート:Mvar の前に負号がついているのは、スカラーポテンシャルの物理的な意味に則するためであり、数学的には負号をつけなくても良い。

テンプレート:Mvar と テンプレート:Math の取り方は一意的ではなく、テンプレート:Mvar に任意の定数 テンプレート:Mvar を加えたものや、テンプレート:Math に任意のスカラー場 テンプレート:Mvar の勾配 テンプレート:Math を加えたものもテンプレート:EquationNoteを満たしている。

$\mathrm{grad}{\varphi }^{\prime }=\mathrm{grad}(\varphi +c)=\mathrm{grad}\varphi$

$\mathrm{rot}{𝐀}^{\prime }=\mathrm{rot}(𝐀+\mathrm{grad}\chi )=\mathrm{rot}𝐀$

これらの関係は テンプレート:Math および テンプレート:Math より導かれる。 他に、以下の方程式を満たすような場 テンプレート:Math を加える自由度がある。

$\mathrm{𝟎}=-\mathrm{grad}\psi (𝐱)+\mathrm{rot}𝐁(𝐱).$

例として、テンプレート:Mvar に テンプレート:Math を満たす調和関数 テンプレート:Mvar を加え、テンプレート:Math にそれを打ち消す項を加えることができる。

応用上、よく用いられるスカラーポテンシャル テンプレート:Mvar とベクトルポテンシャル テンプレート:Math の与え方として、

$\varphi (𝐱)=\frac{1}{4\pi }\int \frac{{\mathrm{\nabla }}^{\prime }\cdot 𝐅({𝐱}^{\prime })}{|{𝐱}^{\prime }-𝐱|}{d}^3{𝐱}^{\prime }$

$𝐀(𝐱)=\frac{1}{4\pi }\int \frac{{\mathrm{\nabla }}^{\prime }\times 𝐅({𝐱}^{\prime })}{|{𝐱}^{\prime }-𝐱|}{d}^3{𝐱}^{\prime }$

が存在する。但し、この体積分が定義されるためには、ベクトル場 テンプレート:Math が遠方で充分早く テンプレート:Math に近づくことが必要である。

分解の意味

テンプレート:NumBlk テンプレート:NumBlk とすると テンプレート:NumBlk テンプレート:NumBlk であり、元のベクトル場 テンプレート:Math が渦なし (テンプレート:En) のベクトル場 テンプレート:Math と発散なし (テンプレート:En) のベクトル場 テンプレート:Math に分解されていることが分かる。

テンプレート:Math は縦成分 テンプレート:En、テンプレート:Math は横成分 テンプレート:En と呼ばれる。このことは、縦成分 テンプレート:Math のフーリエ変換 テンプレート:Math が波数ベクトルに対して平行であり、横成分 テンプレート:Math のフーリエ変換 テンプレート:Math が波数ベクトルに対して直交していることによる。

$𝐤\parallel {\widetilde{𝐅}}_{\mathrm{L}}(𝐤)$

$𝐤\perp {\widetilde{𝐅}}_{\mathrm{T}}(𝐤)$

注意しなければならないことは、これが波数空間上の性質であり、実空間上の性質ではないということである。

ベクトル場 テンプレート:Math のフーリエ変換は以下のように表される。 テンプレート:NumBlk これを縦成分および横成分について行い、(テンプレート:EquationNote), (テンプレート:EquationNote) を適用すれば、次の関係が得られる。 テンプレート:NumBlk テンプレート:NumBlk テンプレート:Math に平行な テンプレート:Math と テンプレート:Math に直交する テンプレート:Math はそれぞれ上記の式を満たす。すなわち、元のベクトル場のフーリエ変換 テンプレート:Math は波数 テンプレート:Math に平行な成分 テンプレート:Math と直交する成分 テンプレート:Math に分解できることが分かる。 なお テンプレート:Math は、

${\widetilde{𝐅}}_{\mathrm{L}}(𝐤)=(\widehat{𝐤}\cdot \widetilde{𝐅}(𝐤))\widehat{𝐤}$

${\widetilde{𝐅}}_{\mathrm{T}}(𝐤)=(\widehat{𝐤}\times \widetilde{𝐅}(𝐤))\times \widehat{𝐤}$

の関係を満たす。ここで テンプレート:Math は波数 テンプレート:Math の方向ベクトルである。

参考文献

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book

関連項目

• ベクトル解析
  • ナブラ：テンプレート:Math
  • 勾配 (ベクトル解析)：テンプレート:Math
  • 回転 (ベクトル解析)：テンプレート:Math
  • 発散 (ベクトル解析)：テンプレート:Math
• スカラーポテンシャル
• ベクトルポテンシャル
• 流体力学
• 電磁気学
• ポアソン方程式
• ホッジ分解 - 本定理の一般化

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