ヘヴィサイドの階段関数のソースを表示

{{出典の明記|date=2015年12月}}
[[Image:Dirac distribution CDF.svg|250px|thumb|right|''x'' = 0 で 1/2 の値をとる階段関数]]
{{読み仮名|'''ヘヴィサイドの階段関数'''|ヘヴィサイドのかいだんかんすう|{{lang-en-short|Heaviside step function}}}}は、正負の引数に対しそれぞれ 1, 0 を返す[[階段関数]]
{{Indent|<math>\begin{align}
H(x) &= \begin{cases}
 0 & (x < 0) \\
 1 & (x > 0)
\end{cases} \\
&= \dfrac{x + |x|}{2|x|} \quad (x \neq 0)
\end{align}</math>}}
である。名称は[[オリヴァー・ヘヴィサイド]]にちなむ。ヘヴィサイド関数と呼ばれることもある。通常、{{math|''H''(''x'')}} や {{math|''Y''(''x'')}} などで表されることが多い。

[[単位ステップ関数]]と似ているが、こちらは
{{Indent|<math>\begin{align}
U(x) &= \begin{cases}
 0 & (x \leqq 0) \\
 1 & (x > 0)
\end{cases} \\
&= \begin{cases}
 0 & (x = 0) \\
 \dfrac{x + |x|}{2|x|} & (x \neq 0)
\end{cases}
\end{align}</math>}}
と {{math|''x'' {{=}} 0}} の時も0の値を持つものとして定義される。[[切断冪関数]]の0乗。

== 不連続性 ==
階段関数は、{{math|''x'' &lt; 0}} または {{math|''x'' &gt; 0}} の範囲で連続であるが, {{math|''x'' {{=}} 0}} で値 {{mvar|''c''}} をとるものとして階段関数 
{{Indent|<math>\begin{align}
H_c(x) &= \begin{cases}
 0 & (x < 0) \\
 c & (x = 0) \\
 1 & (x > 0)
\end{cases} \\
&= \begin{cases}
 c & (x = 0) \\
 \dfrac{x + |x|}{2|x|} & (x \neq 0)
\end{cases}
\end{align}</math>}}
を実数全体の集合 <math>\mathbb R</math> 上の関数 <math>H_c \colon\, \mathbb R \to \mathbb R</math> と考えるならば、{{mvar|''c''}} をどのように定めても原点 {{math|''x'' {{=}} 0}} で[[不連続性の分類|不連続]]である。{{mvar|''c''}} の値は必要に応じて都合のよい値を選ぶことができるが、{{math|''c'' {{=}} 0, {{sfrac|1|2}}, 1}} などがしばしば用いられ、それぞれ

{|
|-
| <math>\begin{align}
H_0(x) &= \begin{cases}
 0 & (x \leqq 0) \\
 1 & (x > 0)
\end{cases} \\
&= \begin{cases}
 0 & (x = 0) \\
 \dfrac{x + |x|}{2|x|} & (x \neq 0)
\end{cases}
\end{align}</math>
| <math>\begin{align}
H_{1/2}(x) &= \begin{cases}
 0 & (x < 0) \\
 \dfrac{1}{2} & (x = 0) \\
 1 & (x > 0)
\end{cases} \\
&= \begin{cases}
 \dfrac{1}{2} & (x = 0) \\
 \dfrac{x + |x|}{2|x|} & (x \neq 0)
\end{cases}
\end{align}</math>
| <math>\begin{align}
H_1(x) &= \begin{cases}
 0 & (x < 0) \\
 1 & (x \geqq 0)
\end{cases} \\
&= \begin{cases}
 1 & (x = 0) \\
 \dfrac{x + |x|}{2|x|} & (x \neq 0)
\end{cases}
\end{align}</math>
|}

である。また、
{{Indent|
<math> H_1(x) = 1 - U(-x) = \lim_{t \to x-0} U(t)</math><br />
<math> H_0(x) = U(x)</math><br />
<math> H_c(x) = c H_1(x) + (1 - c) H_0(x)</math><br />
<math> H_{1/2}(x) = \frac{1 + \sgn(x)}{2}</math>
}}
と表すことができる。関数 sgn は[[符号関数]]である。

== 階段関数の密度とデルタ関数 ==
[[ディラックのデルタ関数]] &delta;と[[区間 (数学)|区間]] <math>(-\infty, x]</math> の[[指示関数|定義関数]] <math>\chi_{(-\infin, x]} </math> に対し
{{Indent|<math>\int_{-\infin}^x \delta(t)dt
 := \int_{-\infin}^{\infin}\chi_{(-\infin, x]}(t)\delta(t)dt
 = \chi_{(-\infin, x]}(0)
</math>}}
とおくと、これは {{math|''x'' < 0}} のとき区間 <math>(-\infty, x]</math> は 0 を含まず、{{math|''x'' ≧ 0}} のとき区間 <math>(-\infty, x]</math> が 0 を含むことから
{{Indent|<math>\chi_{(-\infin, x]}(0) = \begin{cases}
 0 & (x < 0) \\
 1 & (x \geqq 0)
\end{cases}</math>}}
となる。つまり
{{Indent|<math> H_1(x) = \int^{x}_{-\infin} \delta(\xi) d\xi</math>}}
と表される。この意味でヘヴィサイドの階段関数はディラックのデルタ関数を[[確率密度関数]]とするときの[[累積分布関数]]に相当する。

== 関連項目 ==
*[[ディラックのデルタ関数]]

{{DEFAULTSORT:へういさいとのかいたんかんすう}}
[[Category:特殊関数]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]