ヘーグナー数のソースを表示

[[数論]]における'''ヘーグナー数''' ([[英語|英]]: Heegner number)（[[ジョン・ホートン・コンウェイ|コンウェイ]]とガイによる命名）とは、[[二次体|虚二次体]] <math>\mathbb{Q}[\sqrt{-d}]</math> の[[イデアル類群|類数]]が <math>1</math> となる[[平方因子をもたない整数|平方因子を持たない正の整数]] <math>d</math> のことである。言い換えれば、その[[整数環]]は[[一意分解環|一意な分解]]を持つ<ref>{{Cite book|last=Conway|first=John Horton|author-link=John Horton Conway|last2=Guy, Richard K.|title=The Book of Numbers|publisher=Springer|year=1996|page=[https://archive.org/details/bookofnumbers0000conw/page/224 224]|isbn=0-387-97993-X|url=https://archive.org/details/bookofnumbers0000conw/page/224}}</ref>。 

このような数は[[類数問題]]の特別なケースから定まるとともに、数論におけるいくつかの注目すべき結果の根底にある。 

[[ベイカーの定理#応用例|（ベイカー・）スターク・ヘーグナーの定理]]によれば、ヘーグナー数は正確に9つ存在する。 

: <math>1,2,3,7,11,19,43,67,163</math>  {{OEIS|A003173}}     

この結果は[[カール・フリードリヒ・ガウス|ガウス]]によって予想され、1952年に{{仮リンク|クルト・ヘーグナー|en|Kurt_Heegner}}によって軽微な誤りを含む証明がなされた。  [[アラン・ベイカー]]と{{仮リンク|ハロルド・スターク (数学者)|label=ハロルド・スターク|en|Harold_Stark}}は1966年に結果を独立して証明し、スタークはさらにヘーグナーの証明の誤りは軽微であることを示した<ref>{{Citation|last=Stark|first1=H. M.|author-link=Harold Stark|year=1969|url=http://deepblue.lib.umich.edu/bitstream/2027.42/33039/1/0000425.pdf|title=On the gap in the theorem of Heegner|journal=[[Journal of Number Theory]]|volume=1|pages=16&ndash;27|doi=10.1016/0022-314X(69)90023-7}}</ref>。 

== オイラーの素数生成多項式 ==
''n'' = 1, ..., 40 に対して素数を与えるオイラーの{{仮リンク|素数生成多項式|en|Formula_for_primes#Prime_formulas_and_polynomial_functions}}

: <math>n^2 - n + 41 </math>

は、ヘーグナー数 163 = 4・41 − 1 と対応している。 

オイラーの式において <math>n</math> が 1, ..., 40 の値をとるとすると、 <math>n</math> が 1, ..., 39 の値をとる以下の式と等価である。 

: <math>n^2 + n + 41 </math>

{{仮リンク|ゲルマノヴィッチ・ラビノヴィッチ|label=ラビノヴィッチ|en|George_Yuri_Rainich}} <ref>{{仮リンク|ゲルマノヴィッチ・ラビノヴィッチ|label=Rabinovitch, Georg|en|George_Yuri_Rainich}} [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=miun.aag4063.0001.001;view=1up;seq=420 "Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren in quadratischen Zahlkörpern."] </ref>は 

: <math>n^2 + n + p \, </math>

について、判別式 <math>1-4p</math> がヘーグナー数にマイナスを付けたものの場合、またそのときに限り、<math>n=0,\dots,p-2</math> に対して素数を与えることを証明した。 

（なお <math>p-1</math> を代入すると <math>p^2</math> となるため、<math>p-2</math> が ''n'' の最大値となる。） 

<math>4p-1 = 1, 2, 3</math> を満たす ''p'' が存在しないため、機能するヘーグナー数は <math>7, 11, 19, 43, 67, 163</math> であり、これらはオイラーの形の素数生成式における <math>p = 2,3,5,11,17,41</math> にそれぞれ対応する。特にこれらの ''p'' は、{{仮リンク|フランソワ・ル＝リヨネ|label=リヨネ|en|François_Le_Lionnais}}によって{{仮リンク|オイラーの幸運数|en|Lucky_numbers_of_Euler}}と呼ばれている<ref>Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. </ref>。 

== ほとんど整数とラマヌジャンの定数 ==
'''ラマヌジャンの定数'''とは[[超越数]]<ref>{{MathWorld|title=Transcendental Number|urlname=TranscendentalNumber}}</ref> <math>e^{\pi \sqrt{163}}</math> のことであり、整数に{{仮リンク|数学的偶然|label=非常に近い|en|Mathematical_coincidence#Containing_π_or_e_and_163}}という点で[[ほとんど整数]]である。 

: <math>e^{\pi \sqrt{163}} = 262\,537\,412\,640\,768\,743.999\,999\,999\,999\,25\ldots </math> <ref>[http://mathworld.wolfram.com/RamanujanConstant.html Ramanujan Constant – from Wolfram MathWorld]</ref> <math>\approx 640\,320^3+744.</math> 

この数は、1859年に数学者[[シャルル・エルミート]]によって発見された<ref>{{Cite book|last=Barrow|first=John D|title=The Constants of Nature|publisher=Jonathan Cape|year=2002|location=London|isbn=0-224-06135-6}}</ref>。[[サイエンティフィック・アメリカン]]誌の1975年[[エイプリルフール]]の記事<ref>{{Cite journal|last=Gardner|first=Martin|date=April 1975|title=Mathematical Games|journal=Scientific American|volume=232|issue=4|page=127|publisher=Scientific American, Inc}}</ref> 「数学的ゲーム」のコラムニストである[[マーティン・ガードナー]]は、「その数は実際に整数であり、インドの天才数学者[[シュリニヴァーサ・ラマヌジャン]]が予測していた」という話をでっち上げたことから、この名前がついた。 

この偶然性は、 [[虚数乗法]]と[[j-不変量]]の[[モジュラー形式|''q-''展開]]によって説明できる。 

=== 詳細 ===
簡単に言えば、ヘーグナー数 ''d'' に対して <math>j((1+\sqrt{-d})/2)</math> は整数であり、<math>e^{\pi \sqrt{d}} \approx -j((1+\sqrt{-d})/2) + 744</math> が ''q'' -展開によって示される。 

もし <math>\tau</math> が二次無理数とすると、''j-''不変量は次数 <math>|\mbox{Cl}(\mathbf{Q}(\tau))|</math> の[[代数的整数]]であり、<math>\mathbf{Q}(\tau)</math> の[[イデアル類群#二次体の類数|類数]]と<math>\mathbf{Q}(\tau)</math> が満たす最小（モニック整数）多項式は、「ヒルベルト類多項式 (Hilbert class polynomial)」と呼ばれる。 したがって、虚数の2次拡大体 <math>\mathbf{Q}(\tau)</math> の類数が 1 であれば（つまり ''d'' はヘーグナー数）、 ''j-''不変量は整数となる。 

[[フーリエ級数]]展開を <math>q=\exp(2 \pi i \tau)</math> の[[ローラン級数]]として表した ''j'' の [[モジュラー形式|''q''-展開]]は、最初の3項は以下のとおりである： 

: <math>j(\tau) = \frac{1}{q} + 744 + 196\,884 q + \cdots</math>

ローラン級数の係数 <math>c_n</math> は漸近的に <math>\ln(c_n) \sim 4\pi \sqrt{n} + O(\ln(n))</math>  のように増大し、また低次の係数の増大が <math>200\,000^n</math> よりも遅いため、 <math>q \ll 1/200\,000</math> において、 ''j'' は最初の2つの項で非常によく近似される。<math>\tau = (1+\sqrt{-163})/2</math> とすると <math>q=-\exp(-\pi \sqrt{163})</math> つまり <math>\frac{1}{q}=-\exp(\pi \sqrt{163})</math> となる。ここで <math>j((1+\sqrt{-163})/2)=(-640\,320)^3</math> とすると、以下の式が得られる。 

: <math>(-640\,320)^3=-e^{\pi \sqrt{163}}+744+O\left(e^{-\pi \sqrt{163}}\right).</math>

これはすなわち 

: <math>e^{\pi \sqrt{163}}=640\,320^3+744+O\left(e^{-\pi \sqrt{163}}\right)</math>

であり、誤差の線形項は 

: <math>-196\,884/e^{\pi \sqrt{163}} \approx -196\,884/(640\,320^3+744)
\approx -0.000\,000\,000\,000\,75</math>

となるため、<math>e^{\pi \sqrt{163}}</math> が上記の範囲でほぼ整数である理由となる。

== 円周率の式 ==
1987年、{{仮リンク|チュドノフスキー兄弟|en|Chudnovsky brothers}}は以下の式を発見した。 

: <math>\frac{1}{\pi} = \frac{12}{640\,320^{3/2}} \sum_{k=0}^\infty \frac{(6k)! (163 \cdot 3\,344\,418k + 13\,591\,409)}{(3k)!(k!)^3 (-640\,320)^{3k}}</math>

これは、 <math>j\left(\tfrac{1+\sqrt{-163}}{2}\right) = -640\,320^3</math> という事実を用いている。同様の式については、{{仮リンク|ラマヌジャン・佐藤級数|en|Ramanujan–Sato_series}}を参照せよ。

== その他のヘーグナー数 ==
大きい方から4つのヘーグナー数について、以下の近似が得られる<ref>これらは計算機で <math>\sqrt[3]{e^{\pi\sqrt{d}}-744}</math> 計算することで確かめられ、誤差の線形項は <math>196\,884/e^{\pi\sqrt{d}}</math> で確認できる。</ref> 。 

: <math>\begin{align}
e^{\pi \sqrt{19}} &\approx 96^3+744-0.22\\
e^{\pi \sqrt{43}} &\approx 960^3+744-0.000\,22\\
e^{\pi \sqrt{67}} &\approx 5\,280^3+744-0.000\,0013\\
e^{\pi \sqrt{163}} &\approx 640\,320^3+744-0.000\,000\,000\,000\,75
\end{align}
</math>

あるいは、 <ref>https://groups.google.com/g/sci.math.research/c/PSQTfJqGCJM?hl=en</ref> 

: <math>\begin{align}
e^{\pi \sqrt{19}} &\approx 12^3(3^2-1)^3+744-0.22\\
e^{\pi \sqrt{43}} &\approx 12^3(9^2-1)^3+744-0.000\,22\\
e^{\pi \sqrt{67}} &\approx 12^3(21^2-1)^3+744-0.000\,0013\\
e^{\pi \sqrt{163}} &\approx 12^3(231^2-1)^3+744-0.000\,000\,000\,000\,75
\end{align}
</math>

ここで2乗の理由は、特定の[[アイゼンシュタイン級数]]によるものである。<math>d < 19</math> のヘーグナー数についてはほとんど整数となる近似を得られず、 <math>d = 19</math> さえ注目に値しない<ref>実数乱数の絶対偏差（たとえば [[単位区間|{{Closed-closed|0,1|size=120%}}]] 区間の一様乱数）は {{Closed-closed|0, 0.5|size=120%}} の一様乱数となり、{{仮リンク|絶対平均偏差|en|absolute_average_deviation}}と{{仮リンク|中央絶対偏差|en|mean_absolute_deviation}}は0.25となるため、偏差0.22はほぼ整数とみなすには大きすぎる。</ref>。整数の ''j-''不変量は細かく因数分解可能であるが、これは <math>12^3(n^2-1)^3=(2^2\cdot 3 \cdot (n-1) \cdot (n+1))^3</math> ということに従う。素因数は以下のとおりである。 

: <math>\begin{align}
j((1+\sqrt{-19})/2) &= 96^3 =(2^5 \cdot 3)^3\\
j((1+\sqrt{-43})/2) &= 960^3=(2^6 \cdot 3 \cdot 5)^3\\
j((1+\sqrt{-67})/2) & =5\,280^3=(2^5 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11)^3\\
j((1+\sqrt{-163})/2) &=640\,320^3=(2^6 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 23 \cdot 29)^3.
\end{align}
</math>

これらの[[超越数]]は、（単に次数 1 の[[代数的数]]である）整数によるよい近似のほかに、次数 3 の代数的数によってもよく近似できる<ref>{{Cite web|url=https://sites.google.com/site/tpiezas/001|title=Pi Formulas|accessdate=2020年6月}}</ref>。 

: <math>\begin{align}
e^{\pi \sqrt{19}} &\approx x^{24}-24.000\,31 ;\ \ \qquad\qquad\qquad x^3-2x-2=0\\
e^{\pi \sqrt{43}} &\approx x^{24}-24.000\,000\,31 ;\qquad\qquad\quad x^3-2x^2-2=0\\
e^{\pi \sqrt{67}} &\approx x^{24}-24.000\,000\,001\,9  ;\qquad\qquad x^3-2x^2-2x-2=0\\
e^{\pi \sqrt{163}} &\approx x^{24}-24.000\,000\,000\,000\,0011 ;\quad x^3-6x^2+4x-2=0
\end{align}
</math>

3次式の[[関数の零点|根]]は、24番目の根を含むモジュラー関数である[[デデキントのイータ関数]] ''η''(''τ'')の商によって正確に与えられ、これが近似における数値 24 の理由となる。また、次数4の代数的数によっても近似できる<ref>{{Cite web|url=https://sites.google.com/site/tpiezas/ramanujan|title=Extending Ramanujan's Dedekind Eta Quotients|accessdate=2020年6月}}</ref>。 

: <math>\begin{align}
e^{\pi \sqrt{19}} &\approx 3^5 \left(3-\sqrt{2(1- 96/24+1\sqrt{3\cdot19})} \right)^{-2}-12.000\,06\dots\\
e^{\pi \sqrt{43}} &\approx 3^5 \left(9-\sqrt{2(1- 960/24+7\sqrt{3\cdot43})} \right)^{-2}-12.000\,000\,061\dots\\
e^{\pi \sqrt{67}} &\approx 3^5 \left(21-\sqrt{2(1- 5\,280/24 +31\sqrt{3\cdot67})} \right)^{-2}-12.000\,000\,000\,36\dots\\
e^{\pi \sqrt{163}} &\approx 3^5 \left(231-\sqrt{2(1- 640\,320/24+2\,413\sqrt{3\cdot163})} \right)^{-2}-12.000\,000\,000\,000\,000\,21\dots
\end{align}
</math>

括弧内の式を <math>x</math> とおくと（例： <math>x=3-\sqrt{2(1- 96/24+1\sqrt{3\cdot19})}</math> ）、<math>x</math> はそれぞれ[[四次方程式]]を満たす。 

: <math>\begin{align}
&x^4 - 4\cdot 3 x^3 + \tfrac23( 96 +3) x^2 \qquad\quad- \tfrac23\cdot3(96-6)x - 3=0\\
&x^4 - 4\cdot 9x^3 + \tfrac23( 960 +3) x^2\ \ \quad\quad- \tfrac23\cdot9(960-6)x - 3=0\\
&x^4 - 4\cdot 21x^3 + \tfrac23( 5\,280 +3) x^2\quad\ \;- \tfrac23\cdot21(5\,280-6)x - 3=0\\
&x^4 - 4\cdot 231x^3 + \tfrac23( 640\,320 +3) x^2 - \tfrac23\cdot231(640\,320-6)x - 3=0\\
\end{align}
</math>

整数 <math>n = 3, 9, 21, 231</math> の再出現と、以下の事実に注意せよ。 

: <math>\begin{align}
&2^6 \cdot 3(-(1- 96/24)^2+ 1^2 \cdot3\cdot 19 ) = 96^2\\
&2^6 \cdot 3(-(1- 960/24)^2+ 7^2\cdot3 \cdot 43 ) = 960^2\\
&2^6 \cdot 3(-(1- 5\,280/24 )^2+ 31^2 \cdot 3\cdot67 ) = 5\,280^2\\
&2^6 \cdot 3(-(1- 640\,320/24)^2+ 2413^2\cdot 3 \cdot163 ) = 640\,320^2
\end{align}
</math>

これは、適切な分数累乗を与えれば、正確に j-不変量である。 

同様に、次数 6 の代数的数では以下のようになる。 

: <math>\begin{align}
e^{\pi \sqrt{19}} &\approx (5x)^3-6.000\,010\dots\\
e^{\pi \sqrt{43}} &\approx (5x)^3-6.000\,000\,010\dots\\
e^{\pi \sqrt{67}} &\approx (5x)^3-6.000\,000\,000\,061\dots\\
e^{\pi \sqrt{163}} &\approx (5x)^3-6.000\,000\,000\,000\,000\,034\dots
\end{align}
</math>

ここで、''x'' はそれぞれ[[六次方程式|六次式]]の適切な根によって与えられる。 

: <math>\begin{align}
&5x^6-96x^5-10x^3+1=0\\
&5x^6-960x^5-10x^3+1=0\\
&5x^6-5\,280x^5-10x^3+1=0\\
&5x^6-640\,320x^5-10x^3+1=0
\end{align}
</math>

ここで j-不変量が再び現れる。これらの六次方程式は代数的であるだけでなく、拡大体 <math>\mathbb{Q}(\sqrt{5})</math><ref>訳註：原文では <math>\mathbb{Q}\sqrt{5}</math></ref> の上で2つの[[三次方程式|三次式]]に因数分解される（最初の因数はさらに2つの[[二次方程式|二次式]]に分解できる）ので、[[冪根]]によって[[可解群|解ける]]。これらの代数的近似は、デデキント・イータ商で'''正確に'''表現できる。例として、 <math>\tau = (1+\sqrt{-163})/2</math> とすると、 

: <math>\begin{align}
e^{\pi \sqrt{163}} &= \left( \frac{e^{\pi i/24} \eta(\tau)}{\eta(2\tau)} \right)^{24}-24.000\,000\,000\,000\,001\,05\dots\\
e^{\pi \sqrt{163}} &= \left( \frac{e^{\pi i/12} \eta(\tau)}{\eta(3\tau)} \right)^{12}-12.000\,000\,000\,000\,000\,21\dots\\
e^{\pi \sqrt{163}} &= \left( \frac{e^{\pi i/6} \eta(\tau)}{\eta(5\tau)} \right)^{6}-6.000\,000\,000\,000\,000\,034\dots
\end{align}
</math>

ここで、イータ商は上記の代数的数である。

== 類数 2 の数値 ==
[[イデアル類群|類数]] <math>2</math> を持つ[[二次体|虚二次体]] <math>\mathbb{Q}[\sqrt{-d}]</math> を与える3つの数字 <math>88, 148, 232</math> は、ヘーグナー数とは見なされないが、 [[ほとんど整数]]という点で同様の特性を有する。たとえば、 

: <math>\begin{align}
e^{\pi \sqrt{88}} +8\,744 \approx\quad\quad 2\,508\,952^2&-.077\dots\\
e^{\pi \sqrt{148}} +8\,744 \approx\quad 199\,148\,648^2&-.000\,97\dots\\
\ e^{\pi \sqrt{232}} +8\,744 \approx 24\,591\,257\,752^2&-.000\,0078\dots\\
\end{align}
</math>

そして 

: <math>\begin{align}
e^{\pi \sqrt{22}} -24 &\approx (6+4\sqrt{2})^{6}\quad +.000\,11\dots\\
e^{\pi \sqrt{37}} {\color{red}+}\,24 &\approx (12+ 2 \sqrt{37})^6 -.000\,0014\dots\\
e^{\pi \sqrt{58}} -24 &\approx (27 + 5 \sqrt{29})^6 -.000\,000\,0011\dots\\
\end{align}
</math>

== 連続素数 ==
''p'' を奇素数として、<math>k=0,1,\dots,(p-1)/2</math> に対して  <math>k^2 \pmod{p}</math> を計算すると（<math>(p-k)^2\equiv k^2 \pmod{p}</math> なので、''k'' の範囲はこれで十分である）、 ''p'' がヘーグナー数である場合、またそのときに限り、連続する素数に続いて連続する合成数が得られる<ref>http://www.mathpages.com/home/kmath263.htm</ref>。 

詳細については、リチャード・モリン(Richard Mollin)の "Quadratic Polynomials Producing Consecutive Distinct Primes and Class Groups of Complex Quadratic Fields" を参照せよ<ref>{{Cite journal|last=Mollin, R. A.|year=1996|title=Quadratic polynomials producing consecutive, distinct primes and class groups of complex quadratic fields|url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa74/aa7412.pdf|journal=Acta Arithmetica|volume=74|pages=17–30}}</ref>。

== 脚注 ==
<references />

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|title=Heegner Number|urlname=HeegnerNumber}}
* {{OEIS el|sequencenumber=A003173|name=Heegner numbers: imaginary quadratic fields with unique factorization|formalname=Heegner numbers: imaginary quadratic fields with unique factorization (or class number 1)}}
* [http://www.ams.org/bull/1985-13-01/S0273-0979-1985-15352-2/S0273-0979-1985-15352-2.pdf Gauss' Class Number Problem for Imaginary Quadratic Fields, by Dorian Goldfeld]: 問題の詳細な歴史
* {{cite web|last=Clark|first=Alex|title=163 and Ramanujan Constant|url=http://www.numberphile.com/videos/163.html|work=Numberphile|publisher=[[Brady Haran]]|access-date=2013-04-02|archive-url=https://web.archive.org/web/20130516045906/http://www.numberphile.com/videos/163.html|archive-date=2013-05-16|url-status=dead}}

{{DEFAULTSORT:へえくなあすう}}
[[Category:代数的整数論]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:整数の類]]