ヘーグナー数

数論におけるヘーグナー数 (英: Heegner number)（コンウェイとガイによる命名）とは、虚二次体 $\mathbb{Q}[\sqrt{-d}]$ の類数が $1$ となる平方因子を持たない正の整数 $d$ のことである。言い換えれば、その整数環は一意な分解を持つ。

このような数は類数問題の特別なケースから定まるとともに、数論におけるいくつかの注目すべき結果の根底にある。

（ベイカー・）スターク・ヘーグナーの定理によれば、ヘーグナー数は正確に9つ存在する。

$1,2,3,7,11,19,43,67,163$ テンプレート:OEIS

この結果はガウスによって予想され、1952年にテンプレート:仮リンクによって軽微な誤りを含む証明がなされた。 アラン・ベイカーとテンプレート:仮リンクは1966年に結果を独立して証明し、スタークはさらにヘーグナーの証明の誤りは軽微であることを示した。

オイラーの素数生成多項式

n = 1, ..., 40 に対して素数を与えるオイラーのテンプレート:仮リンク

$n^2-n+41$

は、ヘーグナー数 163 = 4・41 − 1 と対応している。

オイラーの式において $n$ が 1, ..., 40 の値をとるとすると、 $n$ が 1, ..., 39 の値をとる以下の式と等価である。

$n^2+n+41$

テンプレート:仮リンク は

$n^2+n+p$

について、判別式 $1-4p$ がヘーグナー数にマイナスを付けたものの場合、またそのときに限り、$n=0,\dots ,p-2$ に対して素数を与えることを証明した。

（なお $p-1$ を代入すると $p^2$ となるため、$p-2$ が n の最大値となる。）

$4p-1=1,2,3$ を満たす p が存在しないため、機能するヘーグナー数は $7,11,19,43,67,163$ であり、これらはオイラーの形の素数生成式における $p=2,3,5,11,17,41$ にそれぞれ対応する。特にこれらの p は、テンプレート:仮リンクによってテンプレート:仮リンクと呼ばれている。

ほとんど整数とラマヌジャンの定数

ラマヌジャンの定数とは超越数 $e^{\pi \sqrt{163}}$ のことであり、整数にテンプレート:仮リンクという点でほとんど整数である。

$e^{\pi \sqrt{163}}=262537412640768743.99999999999925\dots$ $\approx 640320^3+744.$

この数は、1859年に数学者シャルル・エルミートによって発見された。サイエンティフィック・アメリカン誌の1975年エイプリルフールの記事 「数学的ゲーム」のコラムニストであるマーティン・ガードナーは、「その数は実際に整数であり、インドの天才数学者シュリニヴァーサ・ラマヌジャンが予測していた」という話をでっち上げたことから、この名前がついた。

この偶然性は、 虚数乗法とj-不変量のq-展開によって説明できる。

詳細

簡単に言えば、ヘーグナー数 d に対して $j((1+\sqrt{-d})/2)$ は整数であり、$e^{\pi \sqrt{d}}\approx -j((1+\sqrt{-d})/2)+744$ が q -展開によって示される。

もし $\tau$ が二次無理数とすると、j-不変量は次数 $|\text{Cl}(𝐐(\tau ))|$ の代数的整数であり、$𝐐(\tau )$ の類数と$𝐐(\tau )$ が満たす最小（モニック整数）多項式は、「ヒルベルト類多項式 (Hilbert class polynomial)」と呼ばれる。 したがって、虚数の2次拡大体 $𝐐(\tau )$ の類数が 1 であれば（つまり d はヘーグナー数）、 j-不変量は整数となる。

フーリエ級数展開を $q=\exp (2\pi i\tau )$ のローラン級数として表した j の q-展開は、最初の3項は以下のとおりである：

$j(\tau )=\frac{1}{q}+744+196884q+\cdots$

ローラン級数の係数 $c_n$ は漸近的に $\ln (c_n)\sim 4\pi \sqrt{n}+O(\ln (n))$ のように増大し、また低次の係数の増大が $200000^n$ よりも遅いため、 $q\ll 1/200000$ において、 j は最初の2つの項で非常によく近似される。$\tau =(1+\sqrt{-163})/2$ とすると $q=-\exp (-\pi \sqrt{163})$ つまり $\frac{1}{q}=-\exp (\pi \sqrt{163})$ となる。ここで $j((1+\sqrt{-163})/2)=(-640320{)}^3$ とすると、以下の式が得られる。

$(-640320{)}^3=-e^{\pi \sqrt{163}}+744+O\left(e^{-\pi \sqrt{163}}\right).$

これはすなわち

$e^{\pi \sqrt{163}}=640320^3+744+O\left(e^{-\pi \sqrt{163}}\right)$

であり、誤差の線形項は

$-196884/e^{\pi \sqrt{163}}\approx -196884/(640320^3+744)\approx -0.00000000000075$

となるため、$e^{\pi \sqrt{163}}$ が上記の範囲でほぼ整数である理由となる。

円周率の式

1987年、テンプレート:仮リンクは以下の式を発見した。

$\frac{1}{\pi }=\frac{12}{640320^{3/2}}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(6k)!(163\cdot 3344418k+13591409)}{(3k)!(k!{)}^3(-640320{)}^{3k}}$

これは、 $j\left(\frac{1+\sqrt{-163}}{2}\right)=-640320^3$ という事実を用いている。同様の式については、テンプレート:仮リンクを参照せよ。

その他のヘーグナー数

大きい方から4つのヘーグナー数について、以下の近似が得られる 。

$\begin{array}{cc}{e}^{\pi \sqrt{19}}& \approx 96^3+744-0.22\\ e^{\pi \sqrt{43}}& \approx 960^3+744-0.00022\\ e^{\pi \sqrt{67}}& \approx 5280^3+744-0.0000013\\ e^{\pi \sqrt{163}}& \approx 640320^3+744-0.00000000000075\end{array}$

あるいは、

$\begin{array}{cc}{e}^{\pi \sqrt{19}}& \approx 12^3(3^2-1{)}^3+744-0.22\\ e^{\pi \sqrt{43}}& \approx 12^3(9^2-1{)}^3+744-0.00022\\ e^{\pi \sqrt{67}}& \approx 12^3(21^2-1{)}^3+744-0.0000013\\ e^{\pi \sqrt{163}}& \approx 12^3(231^2-1{)}^3+744-0.00000000000075\end{array}$

ここで2乗の理由は、特定のアイゼンシュタイン級数によるものである。$d<19$ のヘーグナー数についてはほとんど整数となる近似を得られず、 $d=19$ さえ注目に値しない。整数の j-不変量は細かく因数分解可能であるが、これは $12^3(n^2-1{)}^3=(2^2\cdot 3\cdot (n-1)\cdot (n+1){)}^3$ ということに従う。素因数は以下のとおりである。

$\begin{array}{cc}j((1+\sqrt{-19})/2)& =96^3=(2^5\cdot 3{)}^3\\ j((1+\sqrt{-43})/2)& =960^3=(2^6\cdot 3\cdot 5{)}^3\\ j((1+\sqrt{-67})/2)& =5280^3=(2^5\cdot 3\cdot 5\cdot 11{)}^3\\ j((1+\sqrt{-163})/2)& =640320^3=(2^6\cdot 3\cdot 5\cdot 23\cdot 29{)}^3.\end{array}$

これらの超越数は、（単に次数 1 の代数的数である）整数によるよい近似のほかに、次数 3 の代数的数によってもよく近似できる。

$\begin{array}{cc}{e}^{\pi \sqrt{19}}& \approx x^{24}-24.00031;x^3-2x-2=0\\ e^{\pi \sqrt{43}}& \approx x^{24}-24.00000031;x^3-2x^2-2=0\\ e^{\pi \sqrt{67}}& \approx x^{24}-24.0000000019;x^3-2x^2-2x-2=0\\ e^{\pi \sqrt{163}}& \approx x^{24}-24.0000000000000011;x^3-6x^2+4x-2=0\end{array}$

3次式の根は、24番目の根を含むモジュラー関数であるデデキントのイータ関数 η(τ)の商によって正確に与えられ、これが近似における数値 24 の理由となる。また、次数4の代数的数によっても近似できる。

$\begin{array}{cc}{e}^{\pi \sqrt{19}}& \approx 3^5{(3-\sqrt{2(1-96/24+1\sqrt{3\cdot 19})})}^{-2}-12.00006\dots \\ e^{\pi \sqrt{43}}& \approx 3^5{(9-\sqrt{2(1-960/24+7\sqrt{3\cdot 43})})}^{-2}-12.000000061\dots \\ e^{\pi \sqrt{67}}& \approx 3^5{(21-\sqrt{2(1-5280/24+31\sqrt{3\cdot 67})})}^{-2}-12.00000000036\dots \\ e^{\pi \sqrt{163}}& \approx 3^5{(231-\sqrt{2(1-640320/24+2413\sqrt{3\cdot 163})})}^{-2}-12.00000000000000021\dots \end{array}$

括弧内の式を $x$ とおくと（例： $x=3-\sqrt{2(1-96/24+1\sqrt{3\cdot 19})}$ ）、$x$ はそれぞれ四次方程式を満たす。

$\begin{array}{cc}& x^4-4\cdot 3x^3+\frac{2}{3}(96+3)x^2-\frac{2}{3}\cdot 3(96-6)x-3=0\\ & x^4-4\cdot 9x^3+\frac{2}{3}(960+3)x^2-\frac{2}{3}\cdot 9(960-6)x-3=0\\ & x^4-4\cdot 21x^3+\frac{2}{3}(5280+3)x^2-\frac{2}{3}\cdot 21(5280-6)x-3=0\\ & x^4-4\cdot 231x^3+\frac{2}{3}(640320+3)x^2-\frac{2}{3}\cdot 231(640320-6)x-3=0\\ \end{array}$

整数 $n=3,9,21,231$ の再出現と、以下の事実に注意せよ。

$\begin{array}{cc}& 2^6\cdot 3(-(1-96/24{)}^2+1^2\cdot 3\cdot 19)=96^2\\ & 2^6\cdot 3(-(1-960/24{)}^2+7^2\cdot 3\cdot 43)=960^2\\ & 2^6\cdot 3(-(1-5280/24{)}^2+31^2\cdot 3\cdot 67)=5280^2\\ & 2^6\cdot 3(-(1-640320/24{)}^2+2413^2\cdot 3\cdot 163)=640320^2\end{array}$

これは、適切な分数累乗を与えれば、正確に j-不変量である。

同様に、次数 6 の代数的数では以下のようになる。

$\begin{array}{cc}{e}^{\pi \sqrt{19}}& \approx (5x{)}^3-6.000010\dots \\ e^{\pi \sqrt{43}}& \approx (5x{)}^3-6.000000010\dots \\ e^{\pi \sqrt{67}}& \approx (5x{)}^3-6.000000000061\dots \\ e^{\pi \sqrt{163}}& \approx (5x{)}^3-6.000000000000000034\dots \end{array}$

ここで、x はそれぞれ六次式の適切な根によって与えられる。

$\begin{array}{cc}& 5x^6-96x^5-10x^3+1=0\\ & 5x^6-960x^5-10x^3+1=0\\ & 5x^6-5280x^5-10x^3+1=0\\ & 5x^6-640320x^5-10x^3+1=0\end{array}$

ここで j-不変量が再び現れる。これらの六次方程式は代数的であるだけでなく、拡大体 $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ の上で2つの三次式に因数分解される（最初の因数はさらに2つの二次式に分解できる）ので、冪根によって解ける。これらの代数的近似は、デデキント・イータ商で正確に表現できる。例として、 $\tau =(1+\sqrt{-163})/2$ とすると、

$\begin{array}{cc}{e}^{\pi \sqrt{163}}& ={\left(\frac{e^{\pi i/24}\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}\right)}^{24}-24.00000000000000105\dots \\ e^{\pi \sqrt{163}}& ={\left(\frac{e^{\pi i/12}\eta (\tau )}{\eta (3\tau )}\right)}^{12}-12.00000000000000021\dots \\ e^{\pi \sqrt{163}}& ={\left(\frac{e^{\pi i/6}\eta (\tau )}{\eta (5\tau )}\right)}^6-6.000000000000000034\dots \end{array}$

ここで、イータ商は上記の代数的数である。

類数 2 の数値

類数 $2$ を持つ虚二次体 $\mathbb{Q}[\sqrt{-d}]$ を与える3つの数字 $88,148,232$ は、ヘーグナー数とは見なされないが、 ほとんど整数という点で同様の特性を有する。たとえば、

$\begin{array}{cc}{e}^{\pi \sqrt{88}}+8744\approx 2508952^2& -.077\dots \\ e^{\pi \sqrt{148}}+8744\approx 199148648^2& -.00097\dots \\ e^{\pi \sqrt{232}}+8744\approx 24591257752^2& -.0000078\dots \\ \end{array}$

そして

$\begin{array}{cc}{e}^{\pi \sqrt{22}}-24& \approx (6+4\sqrt{2}{)}^6+.00011\dots \\ e^{\pi \sqrt{37}}+24& \approx (12+2\sqrt{37}{)}^6-.0000014\dots \\ e^{\pi \sqrt{58}}-24& \approx (27+5\sqrt{29}{)}^6-.0000000011\dots \\ \end{array}$

連続素数

p を奇素数として、$k=0,1,\dots ,(p-1)/2$ に対して $k^2(\mathrm{mod}p)$ を計算すると（$(p-k{)}^2\equiv k^2(\mathrm{mod}p)$ なので、k の範囲はこれで十分である）、 p がヘーグナー数である場合、またそのときに限り、連続する素数に続いて連続する合成数が得られる。

詳細については、リチャード・モリン(Richard Mollin)の "Quadratic Polynomials Producing Consecutive Distinct Primes and Class Groups of Complex Quadratic Fields" を参照せよ。

外部リンク

• テンプレート:MathWorld
• テンプレート:OEIS el
• Gauss' Class Number Problem for Imaginary Quadratic Fields, by Dorian Goldfeld: 問題の詳細な歴史
• テンプレート:Cite web