ベクタン点のソースを表示

{{暫定記事名|date=2024年4月}}
[[ファイル:Vectenpoints.svg|右|サムネイル|300x300ピクセル|
{{Legend-line|black solid|{{math|△''ABC''}}}}
{{Legend-line|solid #0373fc|外側の正方形(中心は {{mvar|O{{sub|a}}, O{{sub|b}}, O{{sub|c}}}})}}
{{Legend-line|solid black 1px|{{mvar|AO{{sub|a}}, BO{{sub|b}}, CO{{sub|c}}}}(外'''ベクタン点''' {{math|''X''{{sub|485}}}}で交わる)と[[九点円]] (中心は{{math|''X''{{sub|5}}}})}}
{{Legend-line|solid lime|内側の正方形(中心は{{mvar|I{{sub|a}}, I{{sub|b}}, I{{sub|c}}}})}}
{{Legend-line|solid red 1px|{{mvar|AI{{sub|a}}, BI{{sub|b}}, CI{{sub|c}}}}  (内'''ベクタン点''' {{math|''X''{{sub|486}}}}で交わる)}}
{{Legend-line|solid red|ベクタン点と九点円の中心を結ぶ直線}}
]]
[[ユークリッド幾何学]]において、 '''ベクタン点'''（ベクタンてん、ヴェクタン<ref>{{Cite book|和書 |title=初等幾何學 第1卷 平面之部 訂正4版 |year=1919 |publisher=[[山海堂出版部]] |page=455 |doi=10.11501/1082035}}</ref>点、[[英語|英]]:''Vecten points''）は[[三角形の中心]]の一つである<ref group="註">記事名においては、同名のLaurence Vectenやオリンピック選手Bertrand Vectenの和訳を参考にした。</ref>。三角形の辺を一辺とする内側または外側の[[正方形]]の中心が成す三角形との[[配景]]の中心として定義される<ref name=":0">{{Cite journal|author=Todor Zaharinov|year=2017|title=Orthopoles, Flanks, and Vecten Points|url=https://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201738.pdf|journal=[[Forum Geometricorum]]|issue=Volime 17|pages=401–410}}</ref><ref>{{Cite journal|author=Floor van Lamoen|year=2001|title=Friendship Among Triangle Centers|url=https://forumgeom.fau.edu/FG2001volume1/FG200101.pdf|journal=[[Forum Geometricorum]]|volume=vol.1|pages=1-6}}</ref><ref name=":1">{{Cite web |title=The First Vecten Point |url=https://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/VectenPoints.shtml |website=www.cut-the-knot.org |access-date=2024-06-01}}</ref>。

ベクタン点の名称は、[[ジョセフ・ジェルゴンヌ|ジェルゴンヌ]]とともに[[ニーム (フランス)|ニーム]]で教師をした19世紀のフランスの数学者ベクタンが1817年に研究したことに由来する<ref>{{Citation|title=La Figure de Vecten|last=Ayme|first=Jean-Louis|url=http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/La%20figure%20de%20Vecten.pdf|access-date=2014-11-04}}.</ref>。

== 外ベクタン点 ==
{{Math|△''ABC''}} について、{{Mvar|BC, CA, AB}}を一辺に持つ外側の正方形の中心をそれぞれ{{Mvar|O{{sub|a}}, O{{sub|b}}, O{{sub|c}}}}とする。{{Mvar|AO{{sub|a}}, BO{{sub|b}}, CO{{sub|c}}}} は[[共点]]でその点を{{訳語疑問点範囲|外ベクタン点|第一ベクタン点|date=2024年7月}}（Outer Vecten point,First Vecten point<ref name=":2">{{Cite web |title=Bride's Chair |url=https://www.cut-the-knot.org/ctk/BridesChair.shtml |website=www.cut-the-knot.org |access-date=2024-06-01}}</ref>）という。外ベクタン点の[[三線座標]]は以下の式で与えられる。

<math>\sec(A-\frac{\pi}{4}):\sec(B-\frac{\pi}{4}):\sec(C-\frac{\pi}{4})</math>

{{仮リンク|クラーク・キンバリング|en|Clark Kimberling}}の「[[Encyclopedia of Triangle Centers]]」では''X''(485)として登録されている。単にベクタン点と言う場合は外ベクタン点を指す。

=== 外ベクタン三角形 ===
{{Mvar|△O<sub>a</sub>O<sub>b</sub>O<sub>c</sub>}}を{{訳語疑問点範囲|外ベクタン三角形|第一ベクタン三角形|date=2024年7月}}（Outer Vecten Triangle）という<ref>{{Cite web |title=Outer Vecten Triangle |url=https://mathworld.wolfram.com/OuterVectenTriangle.html |website=mathworld.wolfram.com |access-date=2024-04-01 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref>。外ベクタン三角形の[[幾何中心|重心]]は元の三角形の重心と一致する。また外ベクタン三角形の[[垂心]]は外ベクタン点となる。

== 内ベクタン点 ==
{{Math|△''ABC''}} について、{{Mvar|BC, CA, AB}}を一辺に持つ内側の正方形の中心をそれぞれ{{Mvar|I{{sub|a}}, I{{sub|b}}, I{{sub|c}}}}とする。{{Mvar|AI{{sub|a}}, BI{{sub|b}}, CI{{sub|c}}}} は[[共点]]でその点を{{訳語疑問点範囲|内ベクタン点|第ニベクタン点|date=2024年7月}}（Inner Vecten point,Second Vecten point<ref name=":2" />）という。内ベクタン点の三線座標は以下の式で与えられる。

<math>\sec(A+\frac{\pi}{4}):\sec(B+\frac{\pi}{4}):\sec(C+\frac{\pi}{4})</math>

クラーク・キンバリングの「Encyclopedia of Triangle Centers」では''X''(486)として登録されている<ref name="ETC">{{Cite web |author=Kimberling |first=Clark |title=Encyclopedia of Triangle Centers |url=http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X485 |access-date=2024/4/1}}</ref>。

=== 内ベクタン三角形 ===
{{Mvar|△I<sub>a</sub>I<sub>b</sub>I<sub>c</sub>}}を{{訳語疑問点範囲|内ベクタン三角形|第ニベクタン三角形|date=2024年7月}}（Inner Vecten Triangle）という<ref>{{Cite web |title=Inner Vecten Triangle |url=https://mathworld.wolfram.com/InnerVectenTriangle.html |website=mathworld.wolfram.com |access-date=2024-04-01 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref>。内ベクタン三角形の重心は元の三角形の重心と一致する。また内ベクタン三角形の垂心は内ベクタン点となる。

== 特徴 ==
* {{Math|''X''{{sub|485}},''X''{{sub|486}}}} [[九点円]]の中心、[[類似重心]]は[[共線]]である。
* ベクタン点は[[キーペルト双曲線]]上にある。
* ベクタン点の[[等角共役点]]は[[剣持点]]である。
* {{Mvar|BC, CA, AB}}を一辺に持つ外側の正方形をそれぞれ{{Mvar|BA<sub>b</sub>A<sub>c</sub>C, CB<sub>c</sub>B<sub>a</sub>A, AC<sub>a</sub>C<sub>b</sub>B}}とする。直線{{Mvar|B<sub>a</sub>C<sub>a</sub>,C<sub>b</sub>A<sub>b</sub>,A<sub>c</sub>B<sub>c</sub>}}（flank lines）の[[直極点]]をそれぞれ{{Mvar|Q<sub>A</sub>,Q<sub>B</sub>,Q<sub>C</sub>}}とすると、{{Mvar|AQ<sub>A</sub>,BQ<sub>B</sub>,CQ<sub>C</sub>}}は{{Math|''X''{{sub|485}}}}で交わる<ref name=":0" />。それぞれ、{{Mvar|BA<sub>b</sub>A<sub>c</sub>C, CB<sub>c</sub>B<sub>a</sub>A, AC<sub>a</sub>C<sub>b</sub>B}}を一辺に持つ{{Math|△''AB{{sub|a}}C{{sub|a}}'',△''BC{{sub|b}}A{{sub|b}}'',△''CA{{sub|c}}B{{sub|c}}''}}（flank triangles）に対して外側の正方形の中心と、{{Mvar|A,B,C}}を結んだ直線もまた{{Math|''X''{{sub|485}}}}で交わる<ref name=":1" />。{{Math|''X''{{sub|486}}}}に関しても同様である。
* {{Mvar|A{{sub|b}}A{{sub|c}},B{{sub|c}}B{{sub|a}},C{{sub|a}}C{{sub|b}}}}の成す三角形（Grebe triangle<ref>{{Cite web |title=Index of triangles |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/IndexOfTrianglesReferencedInETC.html |website=faculty.evansville.edu |access-date=2024-06-01}}</ref>）と元の三角形の配景の中心は類似重心である。{{仮リンク|エルンスト・ヴィルヘルム・グリーブ|de|Ernst Wilhelm Grebe}}が発見した。そのため[[ドイツ]]では、類似重心はグリーブ点（Grebe point）とも呼ばれる。

== 関連 ==

* [[ナポレオン点]]
* [[フェルマー点]]
* [[ボッテマの定理]]
* [[フィンスラー・ハドヴィッガーの定理]]

== 出典 ==
<references responsive="1"></references>
{{Reflist}}

== 外部リンク ==
* <templatestyles src="Module:Citation/CS1/styles.css"></templatestyles>{{MathWorld|id=VectenPoints|title=Vecten Points}}

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[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]
{{Reflist|group=註}}
[[Category:三角形の中心]]