ベッセルの不等式のソースを表示

[[数学]]の、特に[[函数解析学]]の分野における'''ベッセルの不等式'''（ベッセルのふとうしき、{{Lang-en-short|Bessel's inequality}}）は、[[正規直交系|正規直交]][[列 (数学)|列]]についての[[ヒルベルト空間]]のある元 <math>x</math> の係数に関する不等式である・

<math>H</math> をヒルベルト空間とし、<math>e_1, e_2, ...</math> を <math>H</math> 内の正規直交列とする。このとき、<math>H</math> 内の任意の <math>x</math> に対し

:<math>\sum_{k=1}^{\infty}\left\vert\left\langle x,e_k\right\rangle \right\vert^2 \le \left\Vert x\right\Vert^2 </math>

が成立する。ここで 〈•,•〉 はヒルベルト空間 <math>H</math> の[[内積空間|内積]]を表す。

<math>e_k</math> 方向のベクトル <math>x</math> の無限和

:<math>x' = \sum_{k=1}^{\infty}\left\langle x,e_k\right\rangle e_k, </math>

を定義すると、ベッセルの不等式よりこの[[級数]]は[[収束級数|収束]]する。基底 <math>e_1, e_2, ...</math> によって表現される <math>x' \in H</math> が存在するものと考えることが出来る。

完全正規直交列（すなわち、[[正規直交基底|基底]]であるような正規直交列）に対しては、不等号が等号に置き換えられた[[パーセヴァルの等式]]が成り立つ（したがって <math> x'</math> は <math> x</math> となる）。

ベッセルの不等式は、任意の自然数 ''n'' に対して成り立つ次の関係式より従う：

:<math>0 \le \left\| x - \sum_{k=1}^n \langle x, e_k \rangle e_k\right\|^2 = \|x\|^2 - 2 \sum_{k=1}^n |\langle x, e_k \rangle |^2 + \sum_{k=1}^n | \langle x, e_k \rangle |^2 = \|x\|^2 - \sum_{k=1}^n | \langle x, e_k \rangle |^2.</math>

== 関連項目 ==
* [[コーシー＝シュワルツの不等式]]

== 外部リンク ==
* {{SpringerEOM|title=Bessel inequality|urlname=Bessel_inequality}}
* [http://mathworld.wolfram.com/BesselsInequality.html Bessel's Inequality] the article on Bessel's Inequality on MathWorld.

{{DEFAULTSORT:へつせるのふとうしき}}
[[Category:ヒルベルト空間]]
[[Category:不等式]]
[[Category:数学に関する記事]]