ベッツの法則のソースを表示

'''ベッツの法則'''（ベッツのほうそく、{{lang-en-short|Betz' law}}）とは、[[ドイツ]]の[[アルバート・ベッツ]]<ref>A. Betz, Das Maximum der theoretisch moeglichen Ausnuetzung des Windes durch Windmotoren, Zeitschrift fuer das gesamte Turbinenwesen, Heft 20, Sept., 1920</ref>によって導出された[[流体機械]]における[[エネルギー]]変換に関する法則。薄い[[羽根車]]状の回転機械を用いて、[[流体]]の[[運動エネルギー]]から取り出すことのできる最大のエネルギーに言及する。ただし流体の[[密度]]は一定であると仮定し、[[熱力学]]的なエネルギーの授受は考慮しない。

[[風力発電]]で使用されるような[[風車]]の設計の指標などに応用されている。

ベッツによる業績が一般的に知られており、最大効率となる値 16/27 = 59.3 %は'''ベッツ係数'''と呼ばれるが、[[イギリス]]の[[フレデリック・ランチェスター]]<ref>F. W. Lanchester, Contribution to the Theory of Propulsion and the Screw Propeller, Transactions of the Institution of Naval Architects, Vol.LVII, March, 1915, pp.98-116.</ref>も同様の結論を明らかにしている<ref>{{cite|和書 |author=牛山泉 |title=風車工学入門 |edition=2 |publisher=森北出版 |year=2013 |isbn=978-4-627-94652-1 |pages=29, 50}}</ref>。

== 概要 ==
[[画像:Betz tube.svg|250px|thumb|面積''S'' の羽根車（青）の十分遠方で速度''v''<sub>1</sub> の流体が左から右へ向かい、羽根車を抜けた後に速度''v''<sub>2</sub> に落ち着くとする。このとき羽根車での流体速度は''v''<sub>1</sub> 、''v''<sub>2</sub> の平均である''v''<sub>avg</sub> で表せる。]]
まず途中に羽根車が設置されているチューブ状の[[流管]]を考え、はじめに速度''v''<sub>1</sub> であった流体が羽根車を通過し[[仕事 (物理学)|仕事]]をすることによってその速度を減じ、一定速度''v''<sub>2</sub> で遠方へ流れていくような状況を仮定する（''v''<sub>1</sub> > ''v''<sub>2</sub> ）。羽根車は薄い円盤状で流管の断面全体を覆っており、その面積は''S'' とする。また、[[圧力]]差は羽根車の回転面前後で局所的に生じているだけで両遠方では互いに等しいとする。

このとき羽根車を挟んで連続的に流体速度が変化するとし、また羽根車の前後で流体の密度&rho;や[[温度]]が変化しないと仮定するとちょうど羽根車の位置での流体速度は''v''<sub>1</sub> と''v''<sub>2</sub> の単純な[[平均]]となる<ref>流体の単位時間当りの[[運動量]]変化と羽根車前後での圧力差により生じる力が等しいことを利用し、[[ベルヌーイの定理]]を用いると導出できる。ただし、''v''<sub>avg</sub> は条件次第で''v''<sub>1</sub> と''v''<sub>2</sub> を用いた別の関数形で表現される可能性もあり、それによって最終的に導かれる変換効率の値も変わってくる。</ref>ので、それを''v''<sub>avg</sub> とすれば以下のように書ける。
: <math> v_{\rm avg} = \frac{1}{2} (v_1 + v_2) </math>
これより単位時間当りに羽根車を通過する[[質量流量]]<math>\dot m</math>は
: <math> \dot m = \rho S v_{\rm avg} = \frac{1}{2}\rho S (v_1 + v_2) </math>
となる。この<math>\dot m</math>を用いると羽根車前後での単位時間当りの流体の運動エネルギー変化は以下のように書ける。
: <math>\begin{align}
\dot{E} &= \frac{1}{2} \dot{m} (v_1^2 - v_2^2) \\
&= \frac{1}{4} \rho S (v_1 + v_2) (v_1^2 - v_2^2) \\
&= \frac{1}{4} \rho S v_1^3 \left\{1 - \left(\frac{v_2}{v_1}\right)^2 + \left(\frac{v_2}{v_1}\right) - \left(\frac{v_2}{v_1}\right)^3\right\}
\end{align} </math>
[[画像:Betzsche Leistungskurve.png|right|thumb|280px|横軸''x'' = ''v''<sub>2</sub> /''v''<sub>1</sub> 、縦軸''C<sub>p</sub>'' = ''P'' /''P''<sub>0</sub> としたときのグラフ。''x'' = 1/3 で最大値 16/27 を取る。]]
得られる<math> \dot E </math>は流体の[[仕事率]]に相当し、損失がなければ羽根車が受け取る[[動力]]と等しい（ここでこの仕事率<math> \dot E </math>を''P'' と置き直す）。

ところでこの<math>\dot E</math> ( = ''P'' ) を(''v''<sub>2</sub> /''v''<sub>1</sub>) で[[微分]]した関数は''v''<sub>2</sub> /''v''<sub>1</sub> = 1/3 で0を取ることが確かめられる。これより 0 < ''v''<sub>2</sub> /''v''<sub>1</sub> < 1 の範囲での''P'' の最大値は
: <math> P_{\rm max} = \frac{16}{27} \cdot \frac{1}{2} \rho S v_1^3 </math>
と分かる。これが''S'' および''v''<sub>1</sub> が決められたときに羽根車が流体から受け取りうる最大の仕事率である。

ところで断面積''S'' を速度''v''<sub>1</sub> で通過する流体の潜在的な（物理的には利用不可能な）全仕事率''P''<sub>0</sub> は以下のように書ける。
: <math> P_0 = \frac{1}{2} \rho S v_1^3 </math>
この''P''<sub>0</sub> と''P'' との比を変換効率''C<sub>p</sub>'' と定義すると、''C<sub>p</sub>'' の最大値は
:<math> C_{p,\mathrm{max}} = \frac{P_\mathrm{max}}{P_0} = \frac{16}{27} = 0.593 </math>
となる。つまりこれは流体の運動エネルギーの59.3%を機械的なエネルギーとして取り出しうることを意味する。これがベッツの法則の帰結である。

ただし、実際は羽根車での損失や羽根車を通過しない流体の引きずりなどが伴うため、取り出しうるエネルギーの割合はもっと小さくなる。

== 脚注 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* Betz, A. (1966) ''Introduction to the Theory of Flow Machines.'' (D. G. Randall, Trans.) Oxford: Pergamon Press.

== 外部リンク ==
*[http://www.ndsu.nodak.edu/ndsu/klemen/Perfect_Turbine.htm Perfect Turbine Performance!] - ベッツの法則を用いて計算した無損失のタービンの仕事率と実際のタービンの仕事率の比較を行っている。

{{DEFAULTSORT:へつつのほうそく}}
[[Category:流体力学]]
[[Category:自然科学の法則]]
[[Category:流体機械]]
[[Category:物理学のエポニム]]