ベルグマン計量のソースを表示

'''ベルグマン計量''' (ベルグマンけいりょう、Bergman metric) は、[[微分幾何学]]において、ある種の[[複素多様体]]上に定義できる[[エルミート計量]]である。[[ベルグマン核]]から導かれるのでそのように呼ばれる。名称は{{仮リンク|ステファン・ベルグマン|en|Stefan Bergman}} (Stefan Bergman) にちなむ。

==定義==
<math>G \subset {\mathbb{C}}^n</math> を領域とし、<math>K(z,w)</math> を ''G'' 上の[[ベルグマン核]]とする。[[接束]] <math>T_z{\mathbb{C}}^n</math> 上のエルミート計量を、''z'' ∈ ''G'' に対し
:<math>
g_{ij} (z)
:=
\frac{\partial^2}{\partial z_i\, \partial \bar{z}_j}
\log K(z,z) 
</math>
と定義する。すると接ベクトル <math>\xi \in T_z{\mathbb{C}}^n</math> の長さは

:<math>\left\vert \xi \right\vert_{B,z}:=\sqrt{\sum_{i,j=1}^n g_{ij}(z) \xi_i \bar{\xi}_j }</math>

によって与えられる。この計量が ''G'' 上のベルグマン計量と呼ばれる。

（[[区分的|区分]]）[[滑らかな関数|''C''<sup>1</sup> 曲線]] <math>\gamma \colon [0,1] \to {\mathbb{C}}^n</math> の長さは

:<math>
\ell (\gamma) =
\int_0^1 \left\vert \frac{\partial \gamma}{\partial t}(t) \right\vert_{B,\gamma(t)} dt 
</math>

と計算される。すると2点 ''p'', ''q'' ∈ ''G'' の距離 <math>d_G(p,q)</math> は

:<math>
d_G(p,q):=
\inf \{ \ell (\gamma) \mid \text{ all piecewise }C^1\text{ curves }\gamma\text{ such that }\gamma(0)=p\text{ and }\gamma(1)=q \} 
</math>

と定義される。距離 ''d<sub>G</sub>'' は''ベルグマン距離''と呼ばれる。

''G'' が有界領域であればベルグマン計量は実は各点において正定値行列である。より重要なことには、距離 ''d<sub>G</sub>'' は ''G'' から別の領域 ''G''&prime; への[[双正則]]写像のもとで不変である。つまり、''f'': ''G'' → ''G''&prime; が双正則であれば、<math>d_G(p,q) = d_{G'}(f(p),f(q))</math> が成り立つ。

==参考文献==
* Steven G. Krantz. ''Function Theory of Several Complex Variables,'' AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.

{{PlanetMath attribution|id=36803|title=Bergman metric}}

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