ベルヌーイ分布のソースを表示

{{出典の明記|date=2024年8月6日 (火) 04:49 (UTC)}}
{{Expand English|date=2024年8月}}
{{確率分布
|名前 = ベルヌーイ分布
|型 = 質量
|画像/確率関数 =
|画像/分布関数 =
|母数 = <math>0<p<1</math>
|台 = <math>\{0,1\}</math>
|確率関数 = <math>\begin{cases}
  q=(1-p) &\text{for } k=0 \\
  p &\text{for } k=1
\end{cases}</math>
|分布関数 = <math>\begin{cases}
  0 &\text{for } k<0 \\
  1-p &\text{for } 0\le k<1 \\
  1& \text{for } k\ge 1
\end{cases}</math>
|期待値 = <math>p</math>
|中央値 = <math>\begin{cases}
0 &\text{if } q>p \\
0.5 &\text{if } q=p\\
1 &\text{if } q<p
\end{cases}</math>
|最頻値 = <math>\begin{cases}
  0 &\text{if } q>p \\
  0,1 &\text{if } q=p \\
  1 &\text{if } q<p
\end{cases}</math>
|分散 = <math>p(1-p)(=pq)</math>
|歪度 = <math>\frac{1-2p}{\sqrt{pq}}</math>
|尖度 = <math>\frac{1-6pq}{pq}</math>
|エントロピー = <math>-q\ln (q)-p\ln (p)</math>
|モーメント母関数 = <math>q+pe^t</math>
|特性関数 = <math>q+pe^{it}</math>
}}
'''ベルヌーイ分布'''（{{lang-en-short|Bernoulli distribution}}）とは、[[数学]]において、確率 {{mvar|p}} で {{math|1}} を、確率 {{math2|''q'' {{=}} 1 &minus; ''p''}} で {{math|0}} をとる、[[離散確率分布]]である。ベルヌーイ分布という名前は、[[スイス]]の科学者[[ヤコブ・ベルヌーイ]]に因んでつけられた名前である。

{{mvar|X}} をベルヌーイ分布に従う[[確率変数]]とすれば、[[確率質量関数]]は
:<math>P(X=1)=p,\qquad P(X=0)=q=1-p</math>
である。これを
:<math>P(X=k)=p^k (1-p)^{1-k} \qquad (k = 0,1)</math>
と一括することもできる。確率変数 {{mvar|X}} の[[平均]]は {{mvar|p}}, [[分散 (確率論)|分散]]は {{math2|''pq'' {{=}} ''p''(1 &minus; ''p'')}} である。
ベルヌーイ分布は[[指数型分布族]]の一つである。

== 関連項目 ==
*[[ベルヌーイ試行]]
*[[ベルヌーイ過程]]
*[[二項分布]]

== 脚注 ==
<references/>

{{確率分布の一覧}}

{{DEFAULTSORT:へるぬういふんふ}}
[[Category:確率分布]]
[[Category:ヤコブ・ベルヌーイ]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]