ベル多項式のソースを表示

[[組合せ数学]]における'''ベル多項式'''（ベルたこうしき、{{Lang-en-short|Bell polynomials}}）とは、[[エリック・テンプル・ベル]]の名に因む、次の多項式で与えられる三角形配列のことである。
:<math>B_{n,k}(x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1})</math>
:<math>:=\sum
\frac{n!}{\prod\limits_{i=1}^{n-k+1} j_i!}
\prod_{i=1}^{n-k+1}{\left(\frac{x_i}{i!}\right)^{j_i}}</math>

ただしこの和は、
:<math>\sum_{i=1}^{n-k+1} j_i = k \land \sum_{i=1}^{n-k+1} i j_i = n</math>
を満たすすべての非負整数の列 {{math2|''j''{{sub|1}}, ''j''{{sub|2}}, ''j''{{sub|3}}, …, ''j''{{sub|''n''&minus;''k''+1}}}} について取られている。

== 完全ベル多項式 ==
次の和
:<math>B_n(x_1,\dots,x_n)=\sum_{k=1}^n B_{n,k}(x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1})</math>
はしばしば ''n'' 次'''完全ベル多項式'''と呼ばれる。それらと比較するために、上で定義された多項式 {{math|''B''{{sub|''n'',''k''}}}} はしばしば「部分」ベル多項式と呼ばれる。

完全ベル多項式は次の等式を満たす。
:<math>B_n(x_1,\dots,x_n) = \det\begin{bmatrix}
x_1 &{n-1 \choose 1} x_2 & {n-1 \choose 2}x_3 & {n-1 \choose 3} x_4 & {n-1 \choose 4} x_5 & \cdots & \cdots & x_n \\  \\
-1 & x_1 & {n-2 \choose 1} x_2 & {n-2 \choose 2} x_3 & {n-2 \choose 3} x_4 & \cdots & \cdots & x_{n-1} \\  \\
0 & -1 & x_1 & {n-3 \choose 1} x_2 & {n-3 \choose 2} x_3 & \cdots & \cdots & x_{n-2} \\  \\
0 & 0 & -1 & x_1 & {n-4 \choose 1} x_2 & \cdots  & \cdots & x_{n-3} \\  \\
0 & 0 & 0 & -1 & x_1 & \cdots & \cdots & x_{n-4} \\  \\
0 & 0 & 0 & 0 & -1 & \cdots & \cdots & x_{n-5} \\  \\
\vdots & \vdots & \vdots &  \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots  \\  \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -1 & x_1
\end{bmatrix}.</math>

== 組合せ論的な意味 ==
=== 例 ===
例えば、次が得られる。
:<math>B_{6,2}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=6x_5x_1+15x_4x_2+10x_3^2. </math>
なぜならば
: 6 の集合を 5&nbsp;+&nbsp;1 に分割する方法は 6 通り
: 6 の集合を 4&nbsp;+&nbsp;2 に分割する方法は 15 通り
: 6 の集合を 3&nbsp;+&nbsp;3 に分割する方法は 10 通り
だからである。同様に
:<math>B_{6,3}(x_1,x_2,x_3,x_4)=15x_4x_1^2+60x_3x_2x_1+15x_2^3</math>
が得られる。なぜならば
: 6 の集合を 4&nbsp;+&nbsp;1&nbsp;+&nbsp;1 に分割する方法は 15 通り
: 6 の集合を 3&nbsp;+&nbsp;2&nbsp;+&nbsp;1 に分割する方法は 60 通り
: 6 の集合を 2&nbsp;+&nbsp;2&nbsp;+&nbsp;2 に分割する方法は 15 通り
だからである。

== 性質 ==
* <math>B_{n,k}(1!,2!,\dots,(n-k+1)!) = \binom{n}{k}\binom{n-1}{k-1} (n-k)!</math>

=== スターリング数 ===
ベル多項式 ''B''{{sub|''n'',''k''}}(''x''{{sub|1}},''x''{{sub|2}}, …) のすべての ''x'' が 1 に等しいときの値は、[[スターリング数|第二種スターリング数]]である。すなわち
:<math>B_{n,k}(1,1,\dots)=S(n,k)=\left\{{n\atop k}\right\}</math>
である。<!--次の和
:<math>\sum_{k=1}^n B_{n,k}(1,1,1,\dots) = \sum_{k=1}^n \left\{{n\atop k}\right\}</math>
は、''n'' 番目の[[ベル数]]で、これはサイズ ''n'' の集合の分割の数に等しい。-->

=== 畳み込みの等式 ===
数列 {{math|''x{{sub|n}}'', ''y{{sub|n}}'', ''n'' {{=}} 1, 2, …,}} に対し、ある種の[[畳み込み]]を次のように定める。
:<math>(x \diamondsuit y)_n = \sum_{j=1}^{n-1} {n \choose j} x_j y_{n-j}
</math>.
ここで直和の上下限は 0 と ''n'' ではなく、1 と ''n''&minus; 1 であることに注意されたい。

<math>x_n^{k\diamondsuit}\,</math> を次の列の第 ''n'' 番目の項とする。
:<math>\displaystyle\underbrace{x\diamondsuit\cdots\diamondsuit x}_{k\ \mathrm{factors}}.</math>
このとき、次が成り立つ。
:<math>B_{n,k}(x_1,\dots,x_{n-k+1}) = {x_{n}^{k\diamondsuit} \over k!}.\,</math>
例えば、<math> B_{4,3}(x_1,x_2) </math> を計算する。このとき
:<math> x = ( x_1 \ , \ x_2 \ , \ x_3 \ , \ x_4 \ , \dots ) </math>
:<math> x \diamondsuit x = ( 0,\  2 x_1^2 \ ,\  6 x_1 x_2 \ , \  8 x_1 x_3 + 6 x_2^2 \ , \dots ) </math>
:<math> x \diamondsuit x \diamondsuit x = (  0 \ ,\ 0 \  , \ 6 x_1^3 \ , \ 36 x_1^2 x_2 \ , \dots )</math>
であるため、
:<math> B_{4,3}(x_1,x_2) = \frac{ ( x \diamondsuit x \diamondsuit x)_4 }{3!} = 6 x_1^2 x_2</math>
となる。

== ベル多項式の応用 ==
=== ファー・ディ・ブルーノの公式 ===
{{main|ファー・ディ・ブルーノの公式}}
ベル多項式を用いることで、{{仮リンク|ファー・ディ・ブルーノの公式|en|Faà di Bruno's formula}}は次のように書き表すことができる。
:<math>{d^n \over dx^n} f(g(x)) = \sum_{k=1}^n f^{(k)}(g(x)) B_{n,k}\left(g'(x),g''(x),\dots,g^{(n-k+1)}(x)\right).</math>
同様に、冪級数版のファー・ディ・ブルーノの公式も、ベル多項式を用いて次のように表すことができる。今
:<math>f(x)=\sum_{n=1}^\infty {a_n \over n!} x^n \qquad
\mathrm{and} \qquad g(x)=\sum_{n=1}^\infty {b_n \over n!} x^n</math>
とすれば、
:<math>g(f(x)) = \sum_{n=1}^\infty
{\sum_{k=1}^{n} b_k B_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1}) \over n!} x^n</math>
となる。特に、完全ベル多項式は、[[形式的冪級数]]の指数関数の中に、次のように現れる。
:<math>\exp\left(\sum_{n=1}^\infty {a_n \over n!} x^n \right)
= \sum_{n=0}^\infty {B_n(a_1,\dots,a_n) \over n!} x^n.</math>

=== モーメントとキュムラント ===
次の和
:<math>B_n(\kappa_1,\dots,\kappa_n)=\sum_{k=1}^n B_{n,k}(\kappa_1,\dots,\kappa_{n-k+1})</math>
は、初めの ''n'' 個の[[キュムラント]]が κ{{sub|1}}, …, κ{{sub|''n''}} であるような[[確率分布]]の ''n'' 次[[モーメント (数学)|モーメント]]である。言い換えると、''n'' 次モーメントとは初めの ''n'' 個のキュムラントによって評価される ''n'' 次完全ベル多項式である。

=== 二項型の多項式列による表現 ===
任意のスカラー列 ''a''{{sub|1}}, ''a''{{sub|2}}, ''a''{{sub|3}}, … に対し、次を定める。
:<math>p_n(x)=\sum_{k=1}^n B_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1}) x^k.</math>
このとき、この多項式列は[[二項型多項式列]]である。すなわち、二項等式
:<math>p_n(x+y)=\sum_{k=0}^n {n \choose k} p_k(x) p_{n-k}(y)</math>
が ''n'' ≥ 0 に対して成立する。実際、次の結果が得られる。
:'''定理''' すべての二項型の多項式列はこの形式で表現できる。
今
:<math>h(x)=\sum_{n=1}^\infty {a_n \over n!} x^n</math>
とすれば、冪級数を純粋に形式的に取ることで、すべての ''n'' に対し
:<math>h^{-1}\left( {d \over dx}\right) p_n(x) = n p_{n-1}(x) </math>
が成り立つ。

== ソフトウェア ==
* ベル多項式、完全ベル多項式および一般化ベル多項式は、[[Mathematica]]においては BellY<ref>[http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/BellY.html BellY]</ref> で、[[Maple]] においては BellB<ref>[http://www.maplesoft.com/support/help/Maple/view.aspx?path=BellB BellB]</ref> で、[[Sage (数式処理システム)|Sage]] においては bell_polynomial<ref>[http://www.sagemath.org/doc/reference/combinat/sage/combinat/combinat.html#sage.combinat.combinat.bell_polynomial bell_polynomial]</ref> で計算することができる。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[カーレマン行列]]
* {{仮リンク|指数関数型公式|en|Exponential formula}}

== 参考文献 ==
* {{Cite journal |author=[[:en:Eric Temple Bell|Eric Temple Bell]] |title=Partition Polynomials |jstor=1967979 |journal=[[Annals of Mathematics]] |volume=29 |issue=1/4 |year=1927–1928 |pages=38-46 |doi=10.2307/1967979 | mr=1502817}}
* {{Cite book |author=Louis Comtet |title=Advanced Combinatorics: The Art of Finite and Infinite Expansions |publisher=Reidel Publishing Company |place=Dordrecht, Holland / Boston, U.S. |year=1974}}
* {{Cite book |author=[[:en:Steven Roman|Steven Roman]] |title=''The Umbral Calculus'' |publisher=[[Dover Publications]]}}
* {{Cite journal |author=Vassily G. Voinov, Mikhail S. Nikulin |title=On power series, Bell polynomials, Hardy-Ramanujan-Rademacher problem and its statistical applications |journal= Kybernetika | volume=30 |issue=3 |pages=343-358 |year=1994 |issn=00235954}}
* {{Cite book |author=[[:en:George Andrews (mathematician)]] |title=The Theory of Partitions |series=Cambridge Mathematical Library |publisher=[[Cambridge University Press]] |year=1998 |edition=1st pbk |isbn=0-521-63766-X |pages=204-211}} 
* {{Cite journal |author=Silvia Noschese, Paolo E. Ricci |title=Differentiation of Multivariable Composite Functions and Bell Polynomials |journal=Journal of Computational Analysis and Applications |volume=5 |issue=3 |pages=333-340 |year=2003 |doi=10.1023/A:1023227705558}}
*{{Cite journal |first1=Moncef |last1=Abbas |first2=Sadek |last2=Bouroubi |title=On new identities for Bell's polynomial |journal=Disc. Math |year=2005 |number=293 |pages=5-10 |mr=2136048 |doi=10.1016/j.disc.2004.08.023}}
* {{Cite journal |author=Khristo N. Boyadzhiev |title=Exponential Polynomials, Stirling Numbers, and Evaluation of Some Gamma Integrals |journal=[[:en:Abstract and Applied Analysis|Abstract and Applied Analysis]] |volume=2009 |pages=Article ID 168672 |year=2009 |doi=10.1155/2009/168672}} (contains also elementary review of the concept Bell-polynomials)
* {{Cite arxiv |author=V. V. Kruchinin |year=2011 |eprint=1104.5065
|title=Derivation of Bell Polynomials of the Second Kind}}
* {{Cite journal |first1=Martin |last1=Griffiths |title=Families of sequences from a class of multinomial sums |journal=Journal of Integer Sequences
|url=http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL15/Griffiths/griffiths20.html |year=2012 |mr=2872465 |volume=15}}
Faà di Bruno の公式（ファー・ディ・ブルーノの公式）については、たとえば
* {{PDFlink|[https://www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin/03/3-5.pdf 山中健：「合成関数の高階微分の公式について」]}}
* {{Cite journal|和書|author=岡野節, 奥戸雄二, 清水昭信, 新倉保夫, 橋本佳明, 山田浩 |date=2001-03 |url=http://id.nii.ac.jp/1124/00000103/ |title=Faa di Brunoの公式とその応用(1) |journal=Annual review |ISSN=1342-9329 |publisher=名古屋市立大学 |volume=5 |pages=35-44 |CRID=1050001337543424256 |ref=harv}}


{{DEFAULTSORT:へるたこうしき}}
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