ベル多項式

組合せ数学におけるベル多項式（ベルたこうしき、テンプレート:Lang-en-short）とは、エリック・テンプル・ベルの名に因む、次の多項式で与えられる三角形配列のことである。

$B_{n,k}(x_1,x_2,\dots ,x_{n-k+1})$

$:=\sum \frac{n!}{\prod _{i=1}^{n-k+1}{j}_i!}\prod _{i=1}^{n-k+1}{\left(\frac{x_i}{i!}\right)}^{j_i}$

ただしこの和は、

$\sum _{i=1}^{n-k+1}{j}_i=k\wedge \sum _{i=1}^{n-k+1}i{j}_i=n$

を満たすすべての非負整数の列 テンプレート:Math2 について取られている。

完全ベル多項式

次の和

$B_n(x_1,\dots ,x_n)=\sum _{k=1}^n{B}_{n,k}(x_1,x_2,\dots ,x_{n-k+1})$

はしばしば n 次完全ベル多項式と呼ばれる。それらと比較するために、上で定義された多項式 テンプレート:Math はしばしば「部分」ベル多項式と呼ばれる。

完全ベル多項式は次の等式を満たす。

$B_n(x_1,\dots ,x_n)=\det \left[\begin{array}{cccccccc}{x}_1& (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{1})x_2& (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{2})x_3& (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{3})x_4& (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{4})x_5& \cdots & \cdots & x_n\\ \\ -1& x_1& (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-2}{1})x_2& (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-2}{2})x_3& (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-2}{3})x_4& \cdots & \cdots & x_{n-1}\\ \\ 0& -1& x_1& (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-3}{1})x_2& (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-3}{2})x_3& \cdots & \cdots & x_{n-2}\\ \\ 0& 0& -1& x_1& (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-4}{1})x_2& \cdots & \cdots & x_{n-3}\\ \\ 0& 0& 0& -1& x_1& \cdots & \cdots & x_{n-4}\\ \\ 0& 0& 0& 0& -1& \cdots & \cdots & x_{n-5}\\ \\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & ⋮\\ \\ 0& 0& 0& 0& 0& \cdots & -1& x_1\end{array}\right].$

組合せ論的な意味

例

例えば、次が得られる。

$B_{6,2}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=6x_5{x}_1+15x_4{x}_2+10x_3^2.$

なぜならば

6 の集合を 5 + 1 に分割する方法は 6 通り

6 の集合を 4 + 2 に分割する方法は 15 通り

6 の集合を 3 + 3 に分割する方法は 10 通り

だからである。同様に

$B_{6,3}(x_1,x_2,x_3,x_4)=15x_4{x}_1^2+60x_3{x}_2{x}_1+15x_2^3$

が得られる。なぜならば

6 の集合を 4 + 1 + 1 に分割する方法は 15 通り

6 の集合を 3 + 2 + 1 に分割する方法は 60 通り

6 の集合を 2 + 2 + 2 に分割する方法は 15 通り

だからである。

性質

• $B_{n,k}(1!,2!,\dots ,(n-k+1)!)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1})(n-k)!$

スターリング数

ベル多項式 Bテンプレート:Sub(xテンプレート:Sub,xテンプレート:Sub, …) のすべての x が 1 に等しいときの値は、第二種スターリング数である。すなわち

$B_{n,k}(1,1,\dots )=S(n,k)=\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right\}$

である。

畳み込みの等式

数列 テンプレート:Math に対し、ある種の畳み込みを次のように定める。

$(x\mathrm{♢}y{)}_n=\sum _{j=1}^{n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})x_j{y}_{n-j}$.

ここで直和の上下限は 0 と n ではなく、1 と n− 1 であることに注意されたい。

$x_n^{k\mathrm{♢}}$ を次の列の第 n 番目の項とする。

$\underset{k\mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}{\underbrace{x\mathrm{♢}\cdots \mathrm{♢}x}}.$

このとき、次が成り立つ。

$B_{n,k}(x_1,\dots ,x_{n-k+1})=\frac{x_n^{k\mathrm{♢}}}{k!}.$

例えば、$B_{4,3}(x_1,x_2)$ を計算する。このとき

$x=(x_1,x_2,x_3,x_4,\dots )$

$x\mathrm{♢}x=(0,2x_1^2,6x_1{x}_2,8x_1{x}_3+6x_2^2,\dots )$

$x\mathrm{♢}x\mathrm{♢}x=(0,0,6x_1^3,36x_1^2{x}_2,\dots )$

であるため、

$B_{4,3}(x_1,x_2)=\frac{(x\mathrm{♢}x\mathrm{♢}x{)}_4}{3!}=6x_1^2{x}_2$

となる。

ベル多項式の応用

ファー・ディ・ブルーノの公式

テンプレート:Main ベル多項式を用いることで、テンプレート:仮リンクは次のように書き表すことができる。

$\frac{d^n}{d{x}^n}f(g(x))=\sum _{k=1}^n{f}^{(k)}(g(x))B_{n,k}(g^{\prime }(x),g^{″}(x),\dots ,g^{(n-k+1)}(x)).$

同様に、冪級数版のファー・ディ・ブルーノの公式も、ベル多項式を用いて次のように表すことができる。今

$f(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{n!}{x}^n\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}g(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{b_n}{n!}{x}^n$

とすれば、

$g(f(x))=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sum _{k=1}^n{b}_k{B}_{n,k}(a_1,\dots ,a_{n-k+1})}{n!}{x}^n$

となる。特に、完全ベル多項式は、形式的冪級数の指数関数の中に、次のように現れる。

$\exp \left(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{n!}{x}^n\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_n(a_1,\dots ,a_n)}{n!}{x}^n.$

モーメントとキュムラント

次の和

$B_n({\kappa }_1,\dots ,{\kappa }_n)=\sum _{k=1}^n{B}_{n,k}({\kappa }_1,\dots ,{\kappa }_{n-k+1})$

は、初めの n 個のキュムラントが κテンプレート:Sub, …, κテンプレート:Sub であるような確率分布の n 次モーメントである。言い換えると、n 次モーメントとは初めの n 個のキュムラントによって評価される n 次完全ベル多項式である。

二項型の多項式列による表現

任意のスカラー列 aテンプレート:Sub, aテンプレート:Sub, aテンプレート:Sub, … に対し、次を定める。

$p_n(x)=\sum _{k=1}^n{B}_{n,k}(a_1,\dots ,a_{n-k+1})x^k.$

このとき、この多項式列は二項型多項式列である。すなわち、二項等式

$p_n(x+y)=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p_k(x)p_{n-k}(y)$

が n ≥ 0 に対して成立する。実際、次の結果が得られる。

定理 すべての二項型の多項式列はこの形式で表現できる。

今

$h(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{n!}{x}^n$

とすれば、冪級数を純粋に形式的に取ることで、すべての n に対し

$h^{-1}\left(\frac{d}{dx}\right)p_n(x)=n{p}_{n-1}(x)$

が成り立つ。

ソフトウェア

• ベル多項式、完全ベル多項式および一般化ベル多項式は、Mathematicaにおいては BellY で、Maple においては BellB で、Sage においては bell_polynomial で計算することができる。

関連項目

• カーレマン行列
• テンプレート:仮リンク

参考文献

• テンプレート:Cite journal
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite journal
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite journal
• テンプレート:Cite journal
• テンプレート:Cite journal (contains also elementary review of the concept Bell-polynomials)
• テンプレート:Cite arxiv
• テンプレート:Cite journal

Faà di Bruno の公式（ファー・ディ・ブルーノの公式）については、たとえば

• テンプレート:PDFlink
• テンプレート:Cite journal