ベータ分布のソースを表示

{{確率分布
|名前 =第1種ベータ分布
|型 = 密度
|画像/確率関数 = [[画像:Beta distribution pdf.svg|325px|ベータ分布の確率密度関数]]
|画像/分布関数 = [[画像:Beta distribution cdf.svg|325px|ベータ分布の累積分布関数]]
|母数 = <math>\alpha >0</math> 形状母数 (実数)<br /><math>\beta >0</math> 形状母数 (実数)
|台 = <math>[0,1]</math>
|確率関数 = <math>\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{\operatorname{B} (\alpha,\beta)}</math><br />（{{math|B}} は[[ベータ関数]]）
|分布関数 = <math>I_x (\alpha ,\beta )</math><br><math>I_x(\alpha,\beta)</math> は正則化された[[不完全ベータ関数]]
|期待値 = <math>\operatorname{E} [X]=\frac{\alpha}{\alpha +\beta}</math><br /><math>\operatorname{E} [\ln X]=\psi (\alpha )-\psi(\alpha +\beta)</math><br />（ψは[[ディガンマ関数]]）
|中央値 = <math>\begin{align}
& I_{1/2}^{[-1]}(\alpha ,\beta) & \text{(in general)} \\
&\approx \frac{\alpha - 1/3}{\alpha + \beta - 2/3} & \text{for } \alpha>1, \beta >1
\end{align}</math>
|最頻値 = <math>\frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}</math> for <math>\alpha, \beta >1</math>
|分散 = <math>\operatorname{var} [X]=\frac{\alpha \beta}{(\alpha +\beta )^2(\alpha +\beta +1)}</math><br /><math>\operatorname{var} [\ln X] = \psi_1(\alpha ) - \psi_1(\alpha + \beta )</math><br />（{{math|ψ{{sub|1}}}} は[[ポリガンマ関数|トリガンマ関数]]）
|歪度 = <math>\frac{2(\beta -\alpha )\sqrt{\alpha+\beta+1}}{(\alpha +\beta +2)\sqrt{\alpha\beta}}</math>
|尖度 = <math>\frac{6[(\alpha -\beta )^2 (\alpha +\beta +1)-\alpha \beta (\alpha +\beta +2)]}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}</math>
|エントロピー = <math>\begin{align}
\ln \operatorname{B} (\alpha ,\beta )-(\alpha -1)\psi (\alpha ) \\
-(\beta -1)\psi (\beta ) +(\alpha +\beta -2)\psi (\alpha +\beta )
\end{align}</math>
|モーメント母関数 = <math>1+\sum_{k=1}^{\infty} \left( \prod_{r=0}^{k-1} \frac{\alpha +r}{\alpha +\beta +r} \right) \frac{t^k}{k!}</math>
|特性関数 = <math>{}_1 \! F_1 (\alpha ;\alpha +\beta ;i\,t)</math>（[[Confluent hypergeometric function]]を参照）
}}

'''ベータ分布'''（ベータぶんぷ、{{lang-en-short|beta distribution}}）は、[[連続確率分布]]であり、第1種ベータ分布および[[第2種ベータ分布]]がある。単にベータ分布と呼んだ場合、第1種ベータ分布を指す。

== 第1種ベータ分布 ==
第1種ベータ分布（{{lang-en-short|beta distribution of the first kind}}）の[[確率密度関数]]は以下で定義される。
:<math>f(x; \alpha ,\beta )=\frac{x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha ,\beta)}</math>
ここで {{math|B(''α'', ''β'')}} は[[ベータ関数]]であり、確率変数の取る値は {{math2|0 ≤ ''x'' ≤ 1}}、パラメータ {{math2|''α'', ''β''}} はともに正の実数である。期待値は {{math|{{sfrac|''α''|''α'' + ''β''}}}}、分散は <math>\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}</math> である。自然パラメータを {{math2|''η'' {{=}} (''α'' &minus; 1, ''β'' &minus; 1)}} として以下のように書き換えられるので、ベータ分布は指数型分布族である。
:<math>f(x;\eta )=h(\eta )\exp (\eta \cdot u(x))</math>
ただし <math>h(\eta )=\frac{1}{B(\alpha ,\beta )} ,u(x)=(\log x,\log (1-x))</math> である。

===累積分布関数===
[[累積分布関数]]は、以下の式で与えられる。

:<math>F(x;\alpha,\beta) = \frac{ \int_{0}^{x}t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}dt}{\Beta{}(\alpha,\beta)} = I_x(\alpha,\beta)</math>

ここで、 <math> \int_{0}^{x}t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}dt</math> は、[[不完全ベータ関数]]であり、 <math>I_x(\alpha,\beta)</math> は、正則化[[不完全ベータ関数]]である。

===他の分布との関係===
* <math>\alpha=\beta=1/2</math>のとき{{ill|逆正弦分布|en|Arcsine distribution}}になる。
* <math>\alpha=\beta=1</math>のとき[[一様分布]]になる。

== 第2種ベータ分布 ==
{{main|第2種ベータ分布}}

== 一般化ベータ分布 ==
a, b, c, p, q が実数パラメータで、0 ≦ c ≦ 1 で、b, p, q が正の時、下記の確率密度関数を一般化ベータ分布（{{lang-en-short|[[:en:generalized beta distribution|generalized beta distribution]]}}）という。
:<math>GB(x;a,b,c,p,q) = \frac{|a|x^{ap-1}(1-(1-c)(x/b)^{a})^{q-1}}{b^{ap}B(p,q)(1+c(x/b)^{a})^{p+q}} \quad \quad \text{  for } 0<x^{a}< \frac{b^a}{1-c} , </math>

=== 一般化第1種ベータ分布 ===
c = 0 の時、一般化第1種ベータ分布（{{lang-en-short|generalized beta of first kind}}）という。
:<math> GB1(x;a,b,p,q) = GB(x;a,b,c=0,p,q). </math>
:<math> GB1(x;a,b,p,q) = \frac{|a|x^{ap-1}(1-(x/b)^{a})^{q-1}}{b^{ap}B(p,q)} </math>

=== 一般化第2種ベータ分布 ===
c = 1 の時、一般化第2種ベータ分布（{{lang-en-short|generalized beta of second kind}}）という。台は <math>x \in (0,\infty)\!</math> 。
:<math> GB2(x;a,b,p,q) = GB(x;a,b,c=1,p,q). </math>
:<math> GB2(x;a,b,p,q) = \frac{|a|x^{ap-1}}{b^{ap}B(p,q)(1+(x/b)^a)^{p+q}} </math>

== 参考文献 ==
* 蓑谷千凰彦、統計分布ハンドブック、朝倉書店 (2003).
* B. S. Everitt（清水良一訳）、統計科学辞典、朝倉書店 (2002).

== 関連項目 ==
* [[確率分布]]
* [[ベータ関数]]
* [[ガンマ分布]]
* [[ディリクレ分布]]

== 外部リンク ==
* [http://www.cbrc.jp/%7Etominaga/translations/gsl/ GSL reference manual Japanese version]

{{確率分布の一覧}}

{{DEFAULTSORT:へえたふんふ}}
[[Category:確率分布]]
[[Category:数学に関する記事]]