ベータ分布

ベータ分布（ベータぶんぷ、テンプレート:Lang-en-short）は、連続確率分布であり、第1種ベータ分布および第2種ベータ分布がある。単にベータ分布と呼んだ場合、第1種ベータ分布を指す。

第1種ベータ分布

第1種ベータ分布（テンプレート:Lang-en-short）の確率密度関数は以下で定義される。

$f(x;\alpha ,\beta )=\frac{x^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1}}{B(\alpha ,\beta )}$

ここで テンプレート:Math はベータ関数であり、確率変数の取る値は テンプレート:Math2、パラメータ テンプレート:Math2 はともに正の実数である。期待値は テンプレート:Math、分散は $\frac{\alpha \beta }{(\alpha +\beta {)}^2(\alpha +\beta +1)}$ である。自然パラメータを テンプレート:Math2 として以下のように書き換えられるので、ベータ分布は指数型分布族である。

$f(x;\eta )=h(\eta )\exp (\eta \cdot u(x))$

ただし $h(\eta )=\frac{1}{B(\alpha ,\beta )},u(x)=(\log x,\log (1-x))$ である。

累積分布関数

累積分布関数は、以下の式で与えられる。

$F(x;\alpha ,\beta )=\frac{\underset{0}{\overset{x}{\int }}{t}^{\alpha -1}(1-t{)}^{\beta -1}dt}{\mathrm{B}(\alpha ,\beta )}=I_x(\alpha ,\beta )$

ここで、 $\underset{0}{\overset{x}{\int }}{t}^{\alpha -1}(1-t{)}^{\beta -1}dt$ は、不完全ベータ関数であり、 $I_x(\alpha ,\beta )$ は、正則化不完全ベータ関数である。

他の分布との関係

• $\alpha =\beta =1/2$のときテンプレート:Illになる。
• $\alpha =\beta =1$のとき一様分布になる。

一般化ベータ分布

a, b, c, p, q が実数パラメータで、0 ≦ c ≦ 1 で、b, p, q が正の時、下記の確率密度関数を一般化ベータ分布（テンプレート:Lang-en-short）という。

$GB(x;a,b,c,p,q)=\frac{|a|x^{ap-1}(1-(1-c)(x/b{)}^a{)}^{q-1}}{b^{ap}B(p,q)(1+c(x/b{)}^a{)}^{p+q}}\text{ for }0<x^a<\frac{b^a}{1-c},$

一般化第1種ベータ分布

c = 0 の時、一般化第1種ベータ分布（テンプレート:Lang-en-short）という。

$GB1(x;a,b,p,q)=GB(x;a,b,c=0,p,q).$

$GB1(x;a,b,p,q)=\frac{|a|x^{ap-1}(1-(x/b{)}^a{)}^{q-1}}{b^{ap}B(p,q)}$

一般化第2種ベータ分布

c = 1 の時、一般化第2種ベータ分布（テンプレート:Lang-en-short）という。台は $x\in (0,\mathrm{\infty })$ 。

$GB2(x;a,b,p,q)=GB(x;a,b,c=1,p,q).$

$GB2(x;a,b,p,q)=\frac{|a|x^{ap-1}}{b^{ap}B(p,q)(1+(x/b{)}^a{)}^{p+q}}$

参考文献

• 蓑谷千凰彦、統計分布ハンドブック、朝倉書店 (2003).
• B. S. Everitt（清水良一訳）、統計科学辞典、朝倉書店 (2002).

関連項目

• 確率分布
• ベータ関数
• ガンマ分布
• ディリクレ分布

外部リンク

• GSL reference manual Japanese version