ペル数のソースを表示

{{混同|'''ベ'''ル数|link1=ベル数}}{{Expand English|Pell number|date=2024年5月}}
'''ペル数'''（ぺるすう、''Pell number''）は[[自然数]]で、以下の[[漸化式]]で定義される[[数列]]にある項のことである。
:<math>P_1 = 1 , P_2 = 2 \,</math>
:<math>P_n = 2P_{n-1} + P_{n-2} \quad (n \ge 3)</math>
ペル数を1から小さい順に列記すると
:[[1]], [[2]], [[5]], [[12]], [[29]], [[70]], [[169]], [[408]], [[985]], 2378, [[5741]], …{{OEIS|id=A000129}}
ペル数は前項を2倍した数と前々項との和になっている。なお0番目のペル数を0と定義する場合もある。

n番目のペル数は
:<math>P_n=\frac{(1+\sqrt2)^n-(1-\sqrt2)^n}{2\sqrt2}</math>
という式で表される。<math>\scriptstyle \left\vert 1-\sqrt 2 \right\vert <1</math> であるため、nが大きくなるにつれて隣接するペル数の比 P<sub>n+1</sub>/P<sub>n</sub> は[[白銀比|白銀数]] <math>\scriptstyle 1+\sqrt 2</math> に限りなく近付く。

[[行列]]では以下のように表現される。
:<math>\begin{pmatrix} P_{n+1} & P_n \\ P_n & P_{n-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^n</math>

ここから以下の[[恒等式]]が導かれる。
:<math>P_{n+1}P_{n-1}-P_n^2 = (-1)^n</math>
この式はペル数を[[フィボナッチ数]]に入れ替えても当てはまる。

<math>\displaystyle x^2-2y^2=\pm 1</math>　の自然数解 x,y を小さい順に並べるとyはペル数となる。またその x/y の値は
:<math>\frac{P_{n-1}+P_n}{P_n} = \frac11, \frac32, \frac75, \frac{17}{12}, \frac{41}{29}, \frac{99}{70}, \dots</math>　とだんだん[[√2]]の値に近付く。

ペル数の内[[累乗数]]は1と169のみである。

ペル数を使った以下の式で[[平方三角数]]を計算できる。
:<math>\bigl((P_{k-1}+P_k)\cdot P_k\bigr)^2 = \frac{(P_{k-1}+P_k)^2\cdot\left((P_{k-1}+P_k)^2-(-1)^k\right)}{2}.</math>
左辺は[[平方数]]、右辺は[[三角数]]を表している。

また以下の式で a<sup>2</sup>+b<sup>2</sup>=c<sup>2</sup> を満たす[[ピタゴラス数]]を表すこともできる。
:<math>(a,b,c)=(2P_{n}P_{n+1} , P_{n+1}^2 - P_{n}^2 , P_{n+1}^2 + P_{n}^2=P_{2n+1})</math>

== 関連項目 ==
* [[フィボナッチ数]]
* [[白銀比]]
* [[平方三角数]]
* [[ピタゴラス数]]
* [[ペル方程式]] - [[ジョン・ペル]]

{{級数}}
{{貴金属比}}

{{DEFAULTSORT:へるすう}}
[[Category:数論]]
[[Category:整数の類]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]