ペル数

テンプレート:混同テンプレート:Expand English ペル数（ぺるすう、Pell number）は自然数で、以下の漸化式で定義される数列にある項のことである。

P_{1} = 1, P_{2} = 2

P_{n} = 2 P_{n - 1} + P_{n - 2} (n \geq 3)

ペル数を1から小さい順に列記すると

ペル数は前項を2倍した数と前々項との和になっている。なお0番目のペル数を0と定義する場合もある。

n番目のペル数は

P_{n} = \frac{(1 + \sqrt{2})^{n} - (1 - \sqrt{2})^{n}}{2 \sqrt{2}}

という式で表される。 $| 1 - \sqrt{2} | < 1$ であるため、nが大きくなるにつれて隣接するペル数の比 P_n+1/P_n は白銀数 $1 + \sqrt{2}$ に限りなく近付く。

行列では以下のように表現される。

(\begin{matrix} P_{n + 1} & P_{n} \\ P_{n} & P_{n - 1} \end{matrix}) = {(\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})}^{n}

ここから以下の恒等式が導かれる。

P_{n + 1} P_{n - 1} - P_{n}^{2} = (- 1)^{n}

この式はペル数をフィボナッチ数に入れ替えても当てはまる。

$x^{2} - 2 y^{2} = \pm 1$ 　の自然数解 x,y を小さい順に並べるとyはペル数となる。またその x/y の値は

\frac{P_{n - 1} + P_{n}}{P_{n}} = \frac{1}{1}, \frac{3}{2}, \frac{7}{5}, \frac{17}{12}, \frac{41}{29}, \frac{99}{70}, \dots

　とだんだん√2の値に近付く。

ペル数の内累乗数は1と169のみである。

ペル数を使った以下の式で平方三角数を計算できる。

((P_{k - 1} + P_{k}) \cdot P_{k})^{2} = \frac{(P_{k - 1} + P_{k})^{2} \cdot ((P_{k - 1} + P_{k})^{2} - (- 1)^{k})}{2} .

左辺は平方数、右辺は三角数を表している。

また以下の式で a²+b²=c² を満たすピタゴラス数を表すこともできる。

(a, b, c) = (2 P_{n} P_{n + 1}, P_{n + 1}^{2} - P_{n}^{2}, P_{n + 1}^{2} + P_{n}^{2} = P_{2 n + 1})

関連項目