平方三角数

平方三角数（へいほうさんかくすう、テンプレート:Lang-en-short）は平方数のうち三角数でもある自然数である。例えば 36 は6番目の平方数 6² であり、また8番目の三角数テンプレート:Sfrac でもあるので平方三角数である。平方三角数は無数にあり、最小のものは 1 である。

平方三角数を小さい順に列記すると

1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, …（テンプレート:OEIS）

となる。

k 番目の平方三角数 N_k は

N_{k} = \frac{1}{32} {({(1 + \sqrt{2})}^{2 k} - {(1 - \sqrt{2})}^{2 k})}^{2}

で与えられる。この公式は、1778年にオイラーが発見している^[1]^[2]^[3]。

公式の導出

ある自然数 N が n 番目の三角数かつ m 番目の四角数であるとすると、

\frac{1}{2} n (n + 1) = m^{2}

である。両辺を8倍して平方完成することにより (2n + 1)² = 8m² + 1 となる。x = 2n + 1, y = 2m とおけば、ペル方程式 x² - 2y² = 1 を得る。その一般解 (x_k, y_k) は

x_{k} \pm y_{k} \sqrt{2} = (1 \pm \sqrt{2})^{2 k}

で与えられ、よって

x_{k} = \frac{(1 + \sqrt{2})^{2 k} + (1 - \sqrt{2})^{2 k}}{2}

y_{k} = \frac{(1 + \sqrt{2})^{2 k} - (1 - \sqrt{2})^{2 k}}{2 \sqrt{2}}

である。したがって、k 番目の平方三角数 N_k = (y_k/2)² は冒頭の式で与えられる。

N_k は漸化式

N_{0} = 0, N_{1} = 1, N_{k + 2} = 34 N_{k + 1} - N_{k} + 2

を満たす。その母関数は

\frac{x (x + 1)}{(1 - x) (1 - 34 x + x^{2})} = x + 36 x^{2} + 1225 x^{3} + \dots

で与えられる。