ペロンの公式のソースを表示

[[数学]]、特に[[解析的整数論]]における'''ペロンの公式'''（ペロンのこうしき、{{Lang-en-short|Perron's formula}}）とは、{{仮リンク|オスカー・ペロン|en|Oskar Perron|de|Oskar Perron}}による、逆[[メリン変換]]を用いて数論的関数の和を計算する公式である。

==主張==
* <math>\{a(n)\}_{n}</math> を[[数論的関数]]（つまり複素数の列）とし、

::<math> g(s):=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a(n)}{n^{s}} ,\quad s \in \mathbb{C}</math>
 
:を対応する[[ディリクレ級数]]とする。実数 <math>c > 0</math> があって、この級数は半平面 <math>\{ s | \mathrm{Re}(s) > c \}</math> で[[一様収束]]するものとする。

* 実数 <math>x > 0</math> に対し

::<math> A(x) := {\sum_{1 \le n \le x}}' a(n)</math>

:と定義する。ここでプライムのついた和記号は、<math>x</math> が自然数のときは最後の項に限り 1/2 を掛けて和をとることを意味する。

このときペロンの公式は、

:<math> A(x)=\frac{1}{2\pi i} \lim_{T \to \infty} \int_{c-iT}^{c+iT} g(s)\frac{x^{s}}{s} ds</math>

右辺の[[複素積分]]は <math>\int_{c-i\infty}^{c+i\infty} g(s)\frac{x^{s}}{s} ds </math> と書かれることも多い。この表示のときは[[コーシーの主値]]をとっているものと解釈する。

==証明のスケッチ==
[[アーベルの総和公式]]：

:<math>\sum_{1 \le n \le M} a_n \phi(n) = A(M)\phi(M) - \int_1^M A(x)\phi'(x) \, dx </math>

において <math>\phi(x)= x^{-s} </math> とおき、

:<math>\sum_{1 \le n \le M} a_n n^{-s} = A(M)M^{-s} +s \int_1^M A(x) x^{-s-1} dx </math>

<math>M \to \infty</math> とすると <math>\mathrm{Re}(s)>0</math> だから右辺第1項は消えて

:<math> g(s):=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a(n)}{n^{s} }=s\int_{1}^{\infty}  A(x)x^{-(s+1) } dx</math>

変数変換 <math>x=e^t</math> をして変形すると、

:<math> \frac{g(s)}{s} = \int_{0}^{\infty}  A(e^{t})e^{-st }  dt</math>

この右辺は[[ラプラス変換]]そのものである。よって逆ラプラス変換{{efn|

（訳注）<math> A(x)</math> が不連続な点では逆ラプラス変換が元の関数を返すとは限らないため、この論証は厳密ではない。きちんとした証明には、例えば関係式

:<math>
\frac{1}{2\pi i} \lim_{T \to \infty} \int_{c-iT}^{c+iT} \frac{y^{s}}{s} ds =\begin{cases} 
1,  & \mbox{if }y>1 \\
1/2, & \mbox{if }y=1 \\
0, & \mbox{if }0<y<1 \\
\end{cases}
</math>

を用いる。}}により

:<math> A(e^{t}) = \frac{1}{2\pi i} \lim_{T \to \infty} \int_{c-iT}^{c+iT} \frac{g(z)}{z} e^{tz }  dz</math>
:<math> A(x) = \frac{1}{2\pi i} \lim_{T \to \infty} \int_{c-iT}^{c+iT} \frac{g(z)}{z} x^{z }  dz</math>

==例==
ディリクレ級数との関連から、ペロンの公式（もしくは証明のスケッチに現れた等式）は数論的な和に関してよく用いられる。

* [[リーマンゼータ関数]]は半平面 <math>\{ s\in \mathbb{C} | \mathrm{Re}(s) > 1 \}</math> で

::<math>\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{s} }</math> 

:とディリクレ級数表示され、このとき <math>a(n)\equiv 1</math> より <math>A(x)=\lfloor x\rfloor</math>（[[床関数]]）となり

::<math>\zeta(s)=s\int_1^\infty \frac{\lfloor x\rfloor}{x^{s+1}}\,dx</math>

* 一般に[[ディリクレのL-関数]]に対しては、

::<math>L(s,\chi)=s\int_1^\infty \frac{A(x)}{x^{s+1}}\,dx</math>

:ここで <math>A(x)=\sum_{1 \le n\le x} \chi(n)</math> {{efn|
（訳注）<math>A(x)</math> が積分の中にしか現れていなければ、自然数のところでの不連続性は問題にならない。
}}は[[ディリクレ指標]] <math>\chi(n)</math> の和。

* 他にも、{{仮リンク|Mertens関数|en|Mertens function}}（1から ''n'' までの[[メビウス関数]]の和）の値をリーマンゼータ関数の複素積分で表したり、[[チェビシェフ関数]]（[[フォン・マンゴルト関数]]の和）を含む積分値をリーマンゼータ関数を使った比で表示するといった応用がある。

==一般化==

ペロンの公式はメリンの離散的畳み込みの特別な場合である。

:<math> \sum_{n=1}^{\infty} a(n)f(n/x)= \frac{1}{2\pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty}F(s)G(s)x^{s}ds </math>

ここで <math>G(s)= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a(n)}{n^{s}} </math> とし、 <math> F(s)= \int_{0}^{\infty}f(x)x^{s-1}dx </math> はメリン変換である。

試験関数を <math> f(1/x)=\theta (x-1) </math> （ <math> \theta(x) </math> は[[ヘヴィサイドの階段関数]]）と選ぶとペロンの公式が得られる。

== 脚注 ==
{{notelist}}

== 参考文献 ==
* Page 243 of {{Apostol IANT}}
* {{mathworld|urlname=PerronsFormula|title=Perron's formula}} 
* {{cite book |last=Tenenbaum |first=Gérald | translator=C.B. Thomas | year=1995 |title=Introduction to analytic and probabilistic number theory | series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics | volume=46 | publisher=[[Cambridge University Press]] |location=Cambridge | isbn=0-521-41261-7 | zbl=0831.11001 }}

{{DEFAULTSORT:へろんのこうしき}}
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