ホップ代数のソースを表示

[[数学]]において，'''ホップ代数'''（ホップだいすう，{{lang-en-short|Hopf algebra}}）は，{{仮リンク|ハインツ・ホップ|en|Heinz Hopf}}に因んで名づけられた代数的構造であり，同時に（[[単位的代数|単位的]]結合）[[結合代数|代数]]かつ（余単位的余結合的）[[余代数]]であり，これらの構造の整合性により[[双代数]]になっており，さらにある性質を満たす{{仮リンク|反自己同型|en|antiautomorphism}}を備えたものである．ホップ代数の[[表現論]]は特に見事である，なぜならば整合的な余積，余単位射，対合射の存在により，表現のテンソル積，自明表現，双対表現を構成できるからである．

ホップ代数は，その起源であり {{仮リンク|H 空間|en|H-space}}の概念と関係する[[代数的位相幾何学]]，{{仮リンク|群スキーム|en|group scheme}}の理論，[[群論]]（[[群環]]の概念によって），そして多数の他の場所で，自然に生じ，おそらく[[双代数]]の最もよく知られた種類となっている．ホップ代数はそれ自身も研究されていて，一方では例の特定のクラスが，他方では分類問題が，多く研究されている．それらは[[物性物理学]]や[[量子的場の理論]]<ref>{{cite journal | last1 = Haldane | first1 = F. D. M. | last2 = Ha | first2 = Z. N. C. | last3 = Talstra | first3 = J. C. | last4 = Bernard | first4 = D. | last5 = Pasquier | first5 = V. | year = 1992 | title = Yangian symmetry of integrable quantum chains with long-range interactions and a new description of states in conformal field theory | url = | journal = Physical Review Letters | volume = 69 | issue = 14| pages = 2021–2025 | doi=10.1103/physrevlett.69.2021}}</ref>から[[弦理論]]<ref>{{cite journal | last1 = Plefka | first1 = J. | last2 = Spill | first2 = F. | last3 = Torrielli | first3 = A. | year = 2006 | title = Hopf algebra structure of the AdS/CFT S-matrix | url = | journal = Physical Review D | volume = 74 | issue = 6| page = 066008 | doi = 10.1103/PhysRevD.74.066008 }}</ref>まで多様な応用を持つ．

'''定理 (ホップ)'''<ref name="Hopf, 1941">{{cite journal|last1=Hopf|first1=Heinz|title=Über die Topologie der Gruppen–Mannigfaltigkeiten und ihre Verallgemeinerungen|journal=Ann. of Math. (2)|date=1941|volume=42|pages=22–52|doi=10.2307/1968985|language=German}}<!--|accessdate=7 March 2016--></ref> {{mvar|A}} を標数 0 の体上の有限次元{{仮リンク|次数付き可換|en|Graded-commutative}}次数付き余可換ホップ代数とする．このとき {{mvar|A}} は（代数として）奇数次の生成元による自由外積代数である．

==定義==
正式には，ホップ代数は[[可換体|体]] {{mvar|K}} 上の（結合的かつ余結合的）[[双代数]] {{mvar|H}} であって，次の図式が[[可換図式|可換]]であるような（'''対蹠射'''または'''対合射'''と呼ばれる）[[線型写像|{{mvar|K}} 線型写像]] {{math|''S'': ''H'' → ''H''}} を持つものである：
<div style="text-align: center;">
[[File:Hopf algebra.svg|250px|antipode commutative diagram]]
</div>
ここで {{math|Δ}} は双代数の余積であり，{{math|∇}} は積，{{mvar|η}} は単位射，{{mvar|ε}} は余単位射である．[[スウィードラーの記法]]を用いて，この性質は次のようにも書ける：
:<math>S(c_{(1)})c_{(2)}=c_{(1)}S(c_{(2)})=\epsilon(c)1\qquad\text{ for all }c\in H.</math>

[[結合代数|代数]]に関しては，上の定義において基礎体 {{mvar|K}} を[[可換環]] {{mvar|R}} に置き換えることができる<ref name=Und55>Underwood (2011) p.&nbsp;55.</ref>．

ホップ代数の定義は（上の図式の対称性に表れているように）[[双対 (圏論)|自己双対]]であるので，{{mvar|H}} の[[双対空間|双対]]を定義できるならば（{{mvar|H}} が有限次元ならいつでも可能である），それは自動的にホップ代数になる<ref name=Und62>Underwood (2011) p.&nbsp;62.</ref>．

=== 構造定数 ===
基礎ベクトル空間の基底 <math>\{e_k\}</math> を固定して，代数を[[構造定数 (数学)|構造定数を用いて]]定義できる．積に対して
:<math>e_i\nabla e_j = \sum_k \mu^k_{\;ij} e_k,</math>
余積に対して
:<math>\Delta e_i = \sum_{j,k} \nu^{\;jk}_i e_j\otimes e_k,</math>
対合射に対して
:<math>S e_i = \sum_j \tau_i^{\;j} e_j.</math>
すると結合律は
:<math>\mu^k_{\;ij}\mu^m_{\;kn}=\mu^k_{\;jn}\mu^m_{\;ik}</math>
であり，余結合律は
:<math>\nu_k^{\;ij}\nu_i^{\;mn}=\nu_k^{\;mi}\nu_i^{\;nj}</math>
である．上の図式の可換性は
:<math>\nu_k^{\;ij}\tau_j^{\;m}\mu^n_{\;pm}=\nu_k^{\;jm}\tau_j^{\,\;i}\mu^n_{\;pm}</math>
である．

===対蹠射の性質===
対蹠射 {{mvar|S}} は {{mvar|K}} 線型逆写像を持つよう要求されることもある．これは有限次元の場合や，{{mvar|H}} が[[可換]]あるいは[[余可換]]（あるいはより一般に{{仮リンク|準三角ホップ代数|label=準三角|en|Quasitriangular Hopf algebra}}）であるとき，自動的に成り立つ．

一般に，{{mvar|S}} は[[反準同型]]なので<ref>{{cite book|author=Dăscălescu, Năstăsescu & Raianu |title=Prop. 4.2.6|booktitle=Hopf Algebra: An Introduction |year=2001|url={{Google books|plainurl=y|id=pBJ6sbPHA0IC|page=153|text=is an antimorphism of algebras}}|page=153}}</ref>，{{math|''S''<sup>2</sup>}} は[[準同型]]で，したがって {{mvar|S}} が可逆ならば同型である．

対蹠射が対合、すなわち {{math|1=''S''<sup>2</sup> = id<sub>''H''</sub>}} ならば，ホップ代数は'''対合的''' (''involutive'') といわれる（そして台となる対合付きの代数は [[*-環]]となる）．{{mvar|H}} が標数 0 の体上有限次元半単純，可換，あるいは余可換ならば，対合的である．

双代数 {{mvar|B}} が対合射 {{mvar|S}} を持つならば，{{mvar|S}} は一意である（「双代数は高々 1 つのホップ代数構造を持つ」）<ref>{{cite book|author=Dăscălescu, Năstăsescu & Raianu |title=Remarks 4.2.3|booktitle=Hopf Algebra: An Introduction |year=2001|url={{Google books|plainurl=y|id=pBJ6sbPHA0IC|page=151|text=the antipode is unique}}|page=151}}</ref>．

対合射は {{mvar|g}} を逆元 {{math|''g''<sup>−1</sup>}} に送る群上の写像の類似である<ref>[http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~pareigis/Vorlesungen/98SS/Quantum_Groups/LN2_1.PDF Quantum groups lecture notes]</ref>．

===部分ホップ代数===
ホップ代数 {{mvar|H}} の部分代数 {{mvar|A}} が部分ホップ代数であるとは，{{mvar|H}} の部分余代数であり，対合射 {{mvar|S}} が {{mvar|A}} を {{mvar|A}} の中に写すことをいう．言い換えると，部分ホップ代数 {{mvar|A}} は，{{mvar|H}} の積，余積，余単位射，対合射を {{mvar|A}} に制限したとき（さらに {{mvar|H}} の単位元 {{math|1}} は {{mvar|A}} に属しているとき）それ自身ホップ代数である．Nichols–Zoeller freeness theorem は {{mvar|H}} が有限次元であるときに自然な {{mvar|A}} 加群 {{mvar|H}} は階数有限の自由加群であることを（1989年に）確立した．これは部分群に対する[[ラグランジュの定理 (群論)|ラグランジュの定理]]の一般化である．これと積分論の系として，半単純有限次元ホップ代数の部分ホップ代数は自動的に半単純である．

部分ホップ代数 {{mvar|A}} がホップ代数 {{mvar|H}} において右正規であるとは，安定性の条件，すべての {{math|''h'' &isin; ''H''}} に対して {{math|1=''ad<sub>r</sub>''(''h'')(''A'') ⊆ ''A''}}, を満たすことをいう．ここで右随伴写像 {{mvar|ad<sub>r</sub>}} はすべての {{math|''a'' &isin; ''A''}} と {{math|''h'' &isin; ''H''}} に対して {{math|1=''ad<sub>r</sub>''(''h'')(''a'') = ''S''(''h''<sub>(1)</sub>)''ah''<sub>(2)</sub>}} によって定義される．同様に，部分ホップ代数 {{mvar|A}} が {{mvar|H}} において左正規であるとは，{{math|1=''ad<sub>l</sub>''(''h'')(''a'') = ''h''<sub>(1)</sub>''aS''(''h''<sub>(2)</sub>)}} によって定義される左随伴写像で安定なことをいう．正規性の2つの条件は対合射 {{mvar|S}} が全単射なときには同値であり，この場合 {{mvar|A}} は正規ホップ部分代数といわれる．

{{mvar|H}} の正規部分ホップ代数 {{mvar|A}} は（{{mvar|H}} の部分集合の等式の）条件 {{math|1=''HA''<sup>+</sup> = ''A''<sup>+</sup>''H''}} を満たす，ただし {{math|''A''<sup>+</sup>}} は {{mvar|K}} 上の余単位射の核を表す．この正規性条件は {{math|''HA''<sup>+</sup>}} が {{mvar|H}} のホップイデアルである（すなわち余単位射の核の代数イデアルで，余代数余イデアルで，対合射で安定である）ことを意味する．したがって，商ホップ代数 {{math|''H''/''HA''<sup>+</sup>}} と全射準同型 {{math|''H'' → ''H''/''A''<sup>+</sup>''H''}} があり，[[群論]]における[[正規部分群]]と[[商群]]に類似の理論がある<ref>Montgomery (1993) p.&nbsp;36.</ref>．

===ホップ整環===
[[分数体]] {{mvar|K}} をもつ[[整域]] {{mvar|R}} 上の'''ホップ整環''' {{mvar|O}} とは，{{mvar|K}} 上のホップ代数 {{mvar|H}} における{{仮リンク|整環|en|Order (ring theory)}}であって，代数と余代数の演算で閉じている，特に余積 {{math|Δ}} は {{mvar|O}} を {{math|''O''⊗''O''}} に送る，もののことである<ref name=Und82>Underwood (2011) p.&nbsp;82.</ref>．

===群的元===
'''群的元'''とは非零元 {{mvar|x}} であって {{math|1=Δ(''x'') = ''x'' ⊗ ''x''}} なるものである．群的元たちは対合射によって与えられる逆元を持つ群をなす<ref>{{cite book | page=149 | title=Algebras, Rings, and Modules: Lie Algebras and Hopf Algebras | volume=168 | series=Mathematical surveys and monographs | first1=Michiel | last1=Hazewinkel | first2=Nadezhda Mikhaĭlovna | last2=Gubareni | first3=Vladimir V. | last3=Kirichenko | publisher=[[American Mathematical Society]] | year=2010 | isbn=0-8218-7549-3 }}</ref>．'''{{仮リンク|原始元 (余代数)|en|primitive element (co-algebra)|label=原始元}}''' {{mvar|x}} は {{math|1=Δ(''x'') = ''x'' ⊗ 1 + 1 ⊗ ''x''}} を満たす<ref>{{cite book | at=p. 307, C.42  | title=The Concise Handbook of Algebra | editor1-first=Aleksandr Vasilʹevich | editor1-last=Mikhalev | editor2-first=Günter | editor2-last=Pilz | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=2002 | isbn=0792370724 }}</ref><ref>{{cite book | title=Hopf Algebras | volume=74 | series=Cambridge Tracts in Mathematics | first=Eiichi | last=Abe | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=2004 | isbn=0-521-60489-3 | page=59 }}</ref>．

==表現論==
{{mvar|A}} をホップ代数とし，{{mvar|M}} と {{mvar|N}} を {{mvar|A}} 加群とする．このとき，{{math|''M'' ⊗ ''N''}} も次のようにして {{mvar|A}} 加群である：{{math|''m'' ∈ ''M''}}, {{math|''n'' ∈ ''N''}}, {{math|1=Δ(''a'') = (''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>)}} に対して，
:<math>a(m\otimes n):=\Delta(a)(m \otimes n)=(a_1\otimes a_2)(m\otimes n)=(a_1 m \otimes a_2 n).</math>
さらに，自明表現を基礎体 {{mvar|K}} に {{math|''m'' ∈ ''K''}} に対して
:<math>a(m):=\epsilon(a)m</math>
として定義できる．最後に，{{mvar|A}} の双対表現が定義できる：{{mvar|M}} が {{mvar|A}} 加群で {{mvar|M*}} がその双対空間のとき，{{math|''f'' ∈ ''M*''}} と {{math|''m'' ∈ ''M''}} に対して
:<math>(af)(m):=f(S(a)m).</math>

{{math|Δ, ''ε'', ''S''}} の間の関係により，ベクトル空間のある自然な準同型は実際 {{mvar|A}} 加群の準同型であることが保証される．例えば，ベクトル空間の自然な同型 {{math|''M'' → ''M'' ⊗ ''K''}} と {{math|''M'' → ''K'' ⊗ ''M''}} は {{mvar|A}} 加群の同型でもある．また，ベクトル空間の写像 {{math|''M*'' ⊗ ''M'' → ''K'', ''f'' ⊗ ''m'' → ''f''(''m'')}} も {{mvar|A}} 加群の準同型である．しかしながら，写像 {{math|''M'' ⊗ ''M*'' → ''K''}} は {{mvar|A}} 加群の準同型であるとは限らない．

== 例 ==
{| class="wikitable"
|-
!  !! {{nowrap|…に依存}} !! {{nowrap|余積}} !! {{nowrap|余単位射}} !! {{nowrap|対合射}} !! {{nowrap|可換}} !! {{nowrap|余可換}} !! {{nowrap|注意}}
|-
| [[群多元環]] {{mvar|KG}} || [[群 (数学)|群]] {{mvar|G}} || {{math|1=Δ(''g'') = ''g'' ⊗ ''g''}} ({{math|∀''g'' &isin; ''G''}}) || {{math|1=''ε''(''g'') = 1}} ({{math|∀''g'' &isin; ''G''}}) || {{math|1=''S''(''g'') = ''g''<sup>−1</sup>}} ({{math|∀''g'' &isin; ''G''}}) || ⇔ {{mvar|G}} が可換 || yes ||
|-
| 有限<ref group="注釈">{{mvar|G}} の有限性は {{math|''K<sup>G</sup>'' ⊗ ''K<sup>G</sup>''}} が {{math|''K''<sup>''G'' × ''G''</sup>}} に自然に同型であることを意味する．これは余積の上の公式で用いられる．無限群 {{mvar|G}} に対しては，{{math|''K<sup>G</sup>'' ⊗ ''K<sup>G</sup>''}} は {{math|''K''<sup>''G'' × ''G''</sup>}} の真部分集合である．この場合[[関数の台|台]]が有限の写像の空間にホップ代数の構造を入れることができる．</ref>群から {{mvar|K}} への[[配置集合|写像全体]] {{mvar|K<sup>G</sup>}} （点ごとの和と積） || 有限群 {{mvar|G}} || {{math|1=Δ(''f'')(''x'', ''y'') = ''f''(''xy'')}} || {{math|1=''ε''(''f'') = ''f''(1<sub>''G''</sub>)}} || {{math|1=''S''(''f'')(''x'') = ''f''(''x''<sup>−1</sup>)}} || yes || ⇔ {{mvar|G}} が可換 ||
|- 
|[[コンパクト群]]上の{{仮リンク|表現関数|en|Representative function}}環 || [[コンパクト群]] {{mvar|G}} || {{math|1=Δ(''f'')(''x'', ''y'') = ''f''(''xy'')}} || {{math|1=''ε''(''f'') = ''f''(1<sub>''G''</sub>)}} || {{math|1=''S''(''f'')(''x'') = ''f''(''x''<sup>−1</sup>)}}  || yes || ⇔ {{mvar|G}} が可換 || 逆に，有限のハール積分をもつ {{mathbf|C}} 上の任意の可換対合的{{仮リンク|被約代数|label=被約|en|reduced algebra}}ホップ代数はこのようにして生じ，{{仮リンク|淡中–クライン双対性|en|Tannaka–Krein duality}}の1つの定式化を与える<ref>{{citation|last=Hochschild|first=G|title=Structure of Lie groups|year=1965|pages=14–32|publisher=Holden-Day}}</ref>．
|-
| [[代数群]]上の[[多様体の射|正則関数]]環 || [[代数群]] {{mvar|G}} || {{math|1=Δ(''f'')(''x'', ''y'') = ''f''(''xy'')}} || {{math|1=''ε''(''f'') = ''f''(1<sub>''G''</sub>)}} || {{math|1=''S''(''f'')(''x'') = ''f''(''x''<sup>−1</sup>)}} || yes || ⇔ {{mvar|G}} が可換 || 逆に，体上の任意の可換ホップ代数はこのようにして{{仮リンク|群スキーム|en|group scheme}}から生じ，圏の{{仮リンク|同値 (圏論)|en|equivalence (category theory)|label=逆同値}}を与える<ref>{{Citation | last1=Jantzen | first1=Jens Carsten | author1-link=Jens Carsten Jantzen | title=Representations of algebraic groups | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | edition=2nd | series=Mathematical Surveys and Monographs | isbn=978-0-8218-3527-2 | year=2003 | volume=107}}, section 2.3</ref>．
|-
| [[テンソル代数]] {{math|T(''V'')}} || [[ベクトル空間]] {{mvar|V}} || {{math|1=Δ(''x'') = ''x'' ⊗ 1 + 1 ⊗ ''x''}} ({{math|''x'' &isin; ''V''}}), {{math|1=Δ(1) = 1 ⊗ 1}} || {{math|1=''ε''(''x'') = 0}} || {{math|1=''S''(''x'') = −''x''}} ({{math|∀''x'' &isin; T<sup>1</sup>(''V'')}}) （として高次のテンソル冪に拡張する）|| ⇔ {{math|1=dim(''V'')=0, 1}} || yes || [[対称代数]]と[[外積代数]]（これらはテンソル代数の商）もまた余積，余単位，対合をこのように定義してホップ代数である
|-
| [[普遍包絡環]] {{math|U('''g''')}} || [[リー環]] {{mathbf|g}} || {{math|1=Δ(''x'') = ''x'' ⊗ 1 + 1 ⊗ ''x''}} ({{math|∀''x'' &isin; '''g'''}})（この規則は[[交換子]]と協調的であり，したがって {{mvar|U}} の全体に一意的に拡張できる） || {{math|1=''ε''(''x'') = 0}} ({{math|∀''x'' &isin; '''g'''}})（再び {{mvar|U}} に拡張する）|| {{math|1=''S''(''x'') = −''x''}}  || ⇔ {{mathbf|g}} が可換 || yes ||
|-
| {{仮リンク|スウィードラーのホップ代数|en|Sweedler's Hopf algebra}}: {{math|''K''[''c'', ''x'']}} を {{math|1=''c<sup>2</sup>'' = 1}}, {{math|1=''x''<sup>2</sup> = 0}}, {{math|1=''xc'' = −''cx''}} で割った代数 {{mvar|H}}|| [[標数]]が {{math|2}} でない[[可換体|体]] {{mvar|K}} || {{math|1=Δ(''c'') = ''c'' ⊗ ''c''}}, {{math|1=Δ(''x'') = ''c'' ⊗ ''x'' + ''x'' ⊗ 1}}, {{math|1=Δ(1) = 1 ⊗ 1}} || {{math|1=''ε''(''c'') = 1}}, {{math|1=''ε''(''x'') = 0}} || {{math|1=''S''(''c'') = ''c''<sup>−1</sup> = ''c''}}, {{math|1=''S''(''x'') = −''cx''}} || no || no || 台となるベクトル空間は {{math|{{mset|1, ''c'', ''x'', ''cx''}}}} によって生成され，したがって次元は {{math|4}} である．これは非可換かつ非余可換なホップ代数の最小の例である．
|-
| {{仮リンク|対称関数の環|en|ring of symmetric functions}}<ref>See
    Michiel Hazewinkel, ''Symmetric Functions, Noncommutative Symmetric Functions, and Quasisymmetric Functions'', Acta Applicandae Mathematica, January 2003, Volume 75, Issue 1-3, pp 55–83</ref> ||   
|| 完全斉次対称関数 {{math|''h''<sub>''k''</sub>}} ({{math|''k'' &ge; 1}}) のことばで：

{{math2|1=Δ(''h<sub>k</sub>'') = 1 ⊗ ''h<sub>k</sub>'' + ''h''<sub>1</sub> ⊗ ''h''<sub>''k''−1</sub> + ⋯ +  ''h''<sub>''k''−1</sub> ⊗ ''h''<sub>1</sub> + ''h<sub>k</sub>'' ⊗ 1}}.
|| {{math|1=''ε''(''h<sub>k</sub>'') = 0}}
|| {{math|1=''S''(''h<sub>k</sub>'') = (−1)<sup>''k''</sup> ''e<sub>k</sub>''}}
|| yes || yes ||
|}

有限群上の関数たちは群環と同一視できるが，これらはより自然に[[双対対|双対]]と考えられることに注意――群環の元は群の元の（重み付き）'''有限'''和であり，したがって群上の関数との内積が和の各項の群の元をその函数で評価することによって与えられる．

== リー群のコホモロジー ==
リー群のコホモロジー環はホップ代数である：積は[[カップ積]]で与えられ，余積
:<math>H^*(G) \rightarrow H^*(G\times G) \cong H^*(G)\otimes H^*(G)</math>
は群の積 {{math|''G'' × ''G'' → ''G''}} によって与えられる．この観察は実はホップ代数の概念の源であった．この構造を用いて，ホップはリー群のコホモロジー環の構造定理を証明した．

; 定理 (Hopf)<ref name="Hopf, 1941"/>
: {{mvar|A}} を標数 {{math|0}} 上の有限次元{{仮リンク|次数付き可換|en|Graded-commutative}}次数付き余可換ホップ代数とする．このとき {{mvar|A}} は（代数として）奇数次の生成元を持った自由外積代数である．

==量子群と非可換幾何学==
{{Main|量子群}}
上の例はほとんど可換（すなわち積が[[可換]]）か[[余可換]]（すなわち<ref name=Und57>Underwood (2011) p.&nbsp;57.</ref> {{math|1=Δ = ''T'' ∘ Δ}} ただし ''twist map''<ref name=Und36>Underwood (2011) p.&nbsp;36.</ref> {{math|''T'': ''H'' ⊗ ''H'' → ''H'' ⊗ ''H''}} は {{math|1=''T''(''x'' ⊗ ''y'') = ''y'' ⊗ ''x''}} によって定義される）である．他の面白いホップ代数は，可換でも余可換でもない，普遍包絡環や正則関数環，座標環のある種の「変形」あるいは「[[量子化 (物理学)|量子化]]」である．これらのホップ代数はしばしば'''[[量子群]]'''と呼ばれ，この用語は今のところ漠然としか定義されていない．それらは[[非可換幾何学]]において重要であり，思想は以下のようである：普通の代数群はその正則関数の普通のホップ代数によってよく記述される；このホップ代数の変形版をある種の「普通でない」あるいは「量子化された」代数群（もはや代数群ではない）と考えることができる．これらの対象を定義したり扱ったりする直接的な方法は存在しないように思われるが，ホップ代数を研究することはなおでき，実際それらをホップ代数と''同一視''する．したがって名前「量子群」である．

== 関連概念 ==
[[次数付き環|次数付き]]ホップ代数は[[代数的位相幾何学]]においてしばしば用いられる：それらは {{仮リンク|H 空間|en|H-space}}のすべての[[ホモロジー (数学)|ホモロジー]]あるいは[[コホモロジー]]群の直和上の自然な代数的構造である．

{{仮リンク|局所コンパクト量子群|en|Locally compact quantum group}}はホップ代数を一般化し，[[位相空間|位相]]を持つ．[[リー群]]上のすべての[[連続関数]]からなる代数は局所コンパクト量子群である．

{{仮リンク|準ホップ代数|en|Quasi-Hopf algebra}}はホップ代数の一般化であり，余結合律が捩れを除いてしか成り立たないものである．それらは[[KZ方程式]]の研究において使われている<ref name=Mon203>Montgomery (1993) p.&nbsp;203.</ref>．

Alfons Van Daele によって1994年に導入された {{仮リンク|乗作用素ホップ代数|en|Multiplier Hopf algebra}}<ref>{{cite journal | last1 = Van Daele | first1 = Alfons | year = 1994 | title = Multiplier Hopf algebras | url = http://www.ams.org/tran/1994-342-02/S0002-9947-1994-1220906-5/S0002-9947-1994-1220906-5.pdf| journal = Transactions of the American Mathematical Society | volume = 342 | issue = 2| pages = 917–932 | doi=10.1090/S0002-9947-1994-1220906-5}}</ref> はホップ代数の一般化であり，余積は（単位元をもつあるいはもたない）代数からその代数のテンソル積代数の{{仮リンク|乗作用素環|en|multiplier algebra}} へである．

V. G. Turaev によって2000年に導入された{{仮リンク|ホップ群（余）代数|en|Hopf group-(co)algebra}}もまたホップ代数の一般化である．

===弱ホップ代数===
{{仮リンク|弱ホップ代数|en|Weak Hopf algebra}}，あるいは量子亜群は，ホップ代数の一般化である．ホップ代数と同様，弱ホップ代数たちは代数の自己双対なクラスをなす，つまり，{{mvar|H}} が（弱）ホップ代数ならば，{{mvar|H}} 上の線型形式からなる双対空間 {{mvar|H*}} もそうである（{{mvar|H}} との自然なペアリングとその余代数・代数構造から得られる代数・余代数構造に関して）．弱ホップ代数 {{mvar|H}} は通常次のように取られる：
*有限次元代数かつ余代数で，余積 {{math|Δ: ''H'' → ''H'' ⊗ ''H''}} と余単位射 {{math|''ε'': ''H'' → ''k''}} を持ち，{{math|1=Δ(1) ≠ 1 ⊗ 1}} あるいはある {{math|''a'', ''b'' &isin; ''H''}} に対して {{math|1=''ε''(''ab'') ≠ ''ε''(''a'')''ε''(''b'')}} でもよいが，他のすべてのホップ代数の公理を満たす．あるいは，以下を要求する：すべての {{math|''a'', ''b'', ''c'' &isin; ''H''}} に対して，

::<math> (\Delta(1) \otimes 1)(1 \otimes \Delta(1)) = (1 \otimes \Delta(1))(\Delta(1) \otimes 1)
 = (\Delta \otimes \mbox{Id})\Delta(1)</math>
::<math> \epsilon(abc) = \sum \epsilon(ab_{(1)})\epsilon(b_{(2)}c)
 = \sum \epsilon(ab_{(2)})\epsilon(b_{(1)}c)</math>

* {{mvar|H}} は以下の公理を満たす弱められた対合射 {{math|''S'': ''H'' → ''H''}} を持つ：

#すべての {{math|''a'' &isin; ''H''}} に対して <math>S(a_{(1)})a_{(2)} = 1_{(1)} \epsilon(a 1_{(2)})</math>（右辺は像が {{mvar|H{{sup|R}}}} または {{mvar|H{{sub|s}}}} と書かれる separable subalgebra である通常 {{math|Π<sup>''R''</sup>(''a'')}} あるいは {{math|''ε''<sub>''s''</sub>(''a'')}} と書かれる面白い射影）；
#すべての {{math|''a'' &isin; ''H''}} に対して <math>a_{(1)}S(a_{(2)}) =  \epsilon(1_{(1)}a)1_{(2)}</math>（像が {{mvar|S}} によって {{mvar|H{{sup|L}}}} に反同型な separable algebra {{mvar|H<sup>L</sup>}} あるいは {{mvar|H<sub>t</sub>}} である通常 {{math|Π<sup>''R''</sup>(''a'')}} あるいは {{math|''ε''<sub>''t''</sub>(''a'')}} と書かれる別の面白い射影）；
#すべての {{math|''a'' &isin; ''H''}} に対して <math>S(a_{(1)})a_{(2)}S(a_{(3)}) = S(a) .</math>

:{{math|1=Δ(1) = 1 ⊗ 1}} ならこれらの条件はホップ代数の対合射の2つの通常の条件となることに注意．

公理は部分的には {{mvar|H}} 加群の圏が{{仮リンク|rigid category|en|rigid category|label=rigid monoidal category}} であるように選ばれている．unit {{mvar|H}}-module は上で述べた separable algebra {{mvar|H<sup>L</sup>}} である．

例えば，有限{{仮リンク|亜群|en|groupoid}}代数は弱ホップ代数である．特に，{{math|[''n'']}} の {{mvar|i}} と {{mvar|j}} の間に可逆な矢印 {{mvar|e<sub>ij</sub>}} と {{mvar|e<sub>ji</sub>}} の1つのペアがある {{math|[''n'']}} 上の亜群代数は {{math|''n'' × ''n''}} 行列の代数 {{mvar|H}} に同型である．この {{mvar|H}} 上の弱ホップ代数構造は余積 {{math|1=Δ(''e<sub>ij</sub>'') = ''e<sub>ij</sub>'' ⊗ ''e<sub>ij</sub>''}}, 余単位射 {{math|1=''ε''(''e<sub>ij</sub>'') = 1}}, 対合射 {{math|1=''S''(''e<sub>ij</sub>'') = ''e<sub>ji</sub>''}} によって与えられる．separable subalgebras {{mvar|H<sup>L</sup>}} と {{mvar|H<sup>R</sup>}} は一致し，中心的でない可換代数（対角行列の部分代数）である．

弱ホップ代数への早期の理論的貢献は <ref>Gabriella Böhm,  Florian Nill, Kornel Szlachanyi. ''J. Algebra'' 221 (1999), 385–438</ref> や <ref>Dmitri Nikshych, Leonid Vainerman, in: New direction in Hopf algebras, S. Montgomery and H.-J. Schneider, eds., M.S.R.I. Publications, vol. 43, Cambridge, 2002, 211–262.</ref> に見つかる．

=== ホップ亜代数 ===
{{仮リンク|ホップ亜代数|en|Hopf algebroid}} を参照．

==群との類似==
群はホップ代数と同じ図式（同じことだが演算）によって公理化できる，ただし {{mvar|G}} は加群の代わりに集合と取られる．この場合：
* 体 {{mvar|K}} は 1 点集合で置き換えられる
* 自然な余単位射がある（1 点に写す）
* 自然な余積がある（対角写像）
* 単位射は群の単位元である
* 積は群の積である
* 対合射は逆元である
この哲学において，群は「[[一元体]]」上のホップ代数と考えることができる<ref>[http://sbseminar.wordpress.com/2007/10/07/group-hopf-algebra/ Group = Hopf algebra « Secret Blogging Seminar<!-- Bot generated title -->], [https://www.youtube.com/watch?v=p3kkm5dYH-w Group objects and Hopf algebras], video of Simon Willerton.</ref>．

== 関連項目 ==
* {{仮リンク|準三角ホップ代数|en|Quasitriangular Hopf algebra}}
* {{仮リンク|Algebra/set analogy|en|Algebra/set analogy}}
* {{仮リンク|ホップ代数の表現論|en|Representation theory of Hopf algebras}}
* {{仮リンク|リボンホップ代数|en|Ribbon Hopf algebra}}
* {{仮リンク|超代数|en|Superalgebra}}
* {{仮リンク|Supergroup (physics)|en|Supergroup (physics)}}
* {{仮リンク|Anyonic Lie algebra|en|Anyonic Lie algebra}}
* {{仮リンク|スウィードラーのホップ代数|en|Sweedler's Hopf algebra}}
* {{仮リンク|置換のホップ代数|en|Hopf algebra of permutations}}
* {{仮リンク|ミルナー・ムーアの定理|en|Milnor–Moore theorem}}

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{Notelist}}
=== 出典 ===
{{reflist|35em}}

== 参考文献 ==
* {{Citation| last1=Dăscălescu| first1=Sorin| last2=Năstăsescu| first2=Constantin| last3=Raianu| first3=Șerban| year=2001| title=Hopf Algebras. An introduction| edition=1st| volume = 235| series=Pure and Applied Mathematics | publisher=Marcel Dekker| isbn = 0-8247-0481-9 | zbl=0962.16026 }}.
* Pierre Cartier, [http://preprints.ihes.fr/2006/M/M-06-40.pdf ''A primer of Hopf algebras''], IHES preprint, September 2006, 81 pages
* {{citation | last=Fuchs | first=Jürgen | title=Affine Lie algebras and quantum groups. An introduction with applications in conformal field theory | series=Cambridge Monographs on Mathematical Physics | location=Cambridge | publisher=Cambridge University Press | year=1992 | isbn=0-521-48412-X | zbl=0925.17031 }}
* H. Hopf, Uber die Topologie der Gruppen-Mannigfaltigkeiten und ihrer Verallgemeinerungen, Ann. of Math. 42 (1941), 22–52. Reprinted in Selecta Heinz Hopf, pp.&nbsp;119–151, Springer, Berlin (1964). {{MathSciNet | id = 4784}}, {{zbl | 1=0025.09303 }}
* {{citation | last=Montgomery | first=Susan | title=Hopf algebras and their actions on rings | series=Regional Conference Series in Mathematics | volume=82 | location=Providence, Rhode Island | publisher=[[American Mathematical Society]] | year=1993 | isbn=0-8218-0738-2 | zbl=0793.16029 }}
* {{Citation | last1=Street | first1=Ross | author1-link=Ross Street | title=Quantum groups | publisher=Cambridge University Press | series=Australian Mathematical Society Lecture Series | volume=19 | year=2007 | isbn=978-0-521-69524-4 | mr=2294803 | zbl=1117.16031 }}.
*{{Citation | last1=Sweedler | first1=Moss E. | title=Hopf algebras | url=https://books.google.com/books?id=8FnvAAAAMAAJ | publisher=W. A. Benjamin, Inc., New York | series=Mathematics Lecture Note Series | year=1969 | mr=0252485 | zbl=0194.32901  }}
* {{citation | last=Underwood | first=Robert G. | title=An introduction to Hopf algebras | location=Berlin | publisher=Springer-Verlag | year=2011 | isbn=978-0-387-72765-3 | zbl=1234.16022 }}

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:ほつふたいすう}}
[[Category:ホップ代数|*]]
[[Category:モノイド圏]]
[[Category:表現論]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]