ホップ代数

数学において，ホップ代数（ホップだいすう，テンプレート:Lang-en-short）は，テンプレート:仮リンクに因んで名づけられた代数的構造であり，同時に（単位的結合）代数かつ（余単位的余結合的）余代数であり，これらの構造の整合性により双代数になっており，さらにある性質を満たすテンプレート:仮リンクを備えたものである．ホップ代数の表現論は特に見事である，なぜならば整合的な余積，余単位射，対合射の存在により，表現のテンソル積，自明表現，双対表現を構成できるからである．

ホップ代数は，その起源であり テンプレート:仮リンクの概念と関係する代数的位相幾何学，テンプレート:仮リンクの理論，群論（群環の概念によって），そして多数の他の場所で，自然に生じ，おそらく双代数の最もよく知られた種類となっている．ホップ代数はそれ自身も研究されていて，一方では例の特定のクラスが，他方では分類問題が，多く研究されている．それらは物性物理学や量子的場の理論から弦理論まで多様な応用を持つ．

定理 (ホップ) テンプレート:Mvar を標数 0 の体上の有限次元テンプレート:仮リンク次数付き余可換ホップ代数とする．このとき テンプレート:Mvar は（代数として）奇数次の生成元による自由外積代数である．

定義

正式には，ホップ代数は体 テンプレート:Mvar 上の（結合的かつ余結合的）双代数 テンプレート:Mvar であって，次の図式が可換であるような（対蹠射または対合射と呼ばれる）[[線型写像|テンプレート:Mvar 線型写像]] テンプレート:Math を持つものである：

ここで テンプレート:Math は双代数の余積であり，テンプレート:Math は積，テンプレート:Mvar は単位射，テンプレート:Mvar は余単位射である．スウィードラーの記法を用いて，この性質は次のようにも書ける：

$S(c_{(1)})c_{(2)}=c_{(1)}S(c_{(2)})=ϵ(c)1\text{ for all }c\in H.$

代数に関しては，上の定義において基礎体 テンプレート:Mvar を可換環 テンプレート:Mvar に置き換えることができる．

ホップ代数の定義は（上の図式の対称性に表れているように）自己双対であるので，テンプレート:Mvar の双対を定義できるならば（テンプレート:Mvar が有限次元ならいつでも可能である），それは自動的にホップ代数になる．

構造定数

基礎ベクトル空間の基底 $\{e_k\}$ を固定して，代数を構造定数を用いて定義できる．積に対して

$e_i\mathrm{\nabla }{e}_j=\sum _k{\mu }_{ij}^k{e}_k,$

余積に対して

$\mathrm{\Delta }{e}_i=\sum _{j,k}{\nu }_i^{jk}{e}_j\otimes e_k,$

対合射に対して

$S{e}_i=\sum _j{\tau }_i^j{e}_j.$

すると結合律は

${\mu }_{ij}^k{\mu }_{kn}^m={\mu }_{jn}^k{\mu }_{ik}^m$

であり，余結合律は

${\nu }_k^{ij}{\nu }_i^{mn}={\nu }_k^{mi}{\nu }_i^{nj}$

である．上の図式の可換性は

${\nu }_k^{ij}{\tau }_j^m{\mu }_{pm}^n={\nu }_k^{jm}{\tau }_j^i{\mu }_{pm}^n$

である．

対蹠射の性質

対蹠射 テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar 線型逆写像を持つよう要求されることもある．これは有限次元の場合や，テンプレート:Mvar が可換あるいは余可換（あるいはより一般にテンプレート:仮リンク）であるとき，自動的に成り立つ．

一般に，テンプレート:Mvar は反準同型なので，テンプレート:Math は準同型で，したがって テンプレート:Mvar が可逆ならば同型である．

対蹠射が対合、すなわち テンプレート:Math ならば，ホップ代数は対合的 (involutive) といわれる（そして台となる対合付きの代数は *-環となる）．テンプレート:Mvar が標数 0 の体上有限次元半単純，可換，あるいは余可換ならば，対合的である．

双代数 テンプレート:Mvar が対合射 テンプレート:Mvar を持つならば，テンプレート:Mvar は一意である（「双代数は高々 1 つのホップ代数構造を持つ」）．

対合射は テンプレート:Mvar を逆元 テンプレート:Math に送る群上の写像の類似である．

部分ホップ代数

ホップ代数 テンプレート:Mvar の部分代数 テンプレート:Mvar が部分ホップ代数であるとは，テンプレート:Mvar の部分余代数であり，対合射 テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar の中に写すことをいう．言い換えると，部分ホップ代数 テンプレート:Mvar は，テンプレート:Mvar の積，余積，余単位射，対合射を テンプレート:Mvar に制限したとき（さらに テンプレート:Mvar の単位元 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar に属しているとき）それ自身ホップ代数である．Nichols–Zoeller freeness theorem は テンプレート:Mvar が有限次元であるときに自然な テンプレート:Mvar 加群 テンプレート:Mvar は階数有限の自由加群であることを（1989年に）確立した．これは部分群に対するラグランジュの定理の一般化である．これと積分論の系として，半単純有限次元ホップ代数の部分ホップ代数は自動的に半単純である．

部分ホップ代数 テンプレート:Mvar がホップ代数 テンプレート:Mvar において右正規であるとは，安定性の条件，すべての テンプレート:Math に対して テンプレート:Math, を満たすことをいう．ここで右随伴写像 テンプレート:Mvar はすべての テンプレート:Math と テンプレート:Math に対して テンプレート:Math によって定義される．同様に，部分ホップ代数 テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar において左正規であるとは，テンプレート:Math によって定義される左随伴写像で安定なことをいう．正規性の2つの条件は対合射 テンプレート:Mvar が全単射なときには同値であり，この場合 テンプレート:Mvar は正規ホップ部分代数といわれる．

テンプレート:Mvar の正規部分ホップ代数 テンプレート:Mvar は（テンプレート:Mvar の部分集合の等式の）条件 テンプレート:Math を満たす，ただし テンプレート:Math は テンプレート:Mvar 上の余単位射の核を表す．この正規性条件は テンプレート:Math が テンプレート:Mvar のホップイデアルである（すなわち余単位射の核の代数イデアルで，余代数余イデアルで，対合射で安定である）ことを意味する．したがって，商ホップ代数 テンプレート:Math と全射準同型 テンプレート:Math があり，群論における正規部分群と商群に類似の理論がある．

ホップ整環

分数体 テンプレート:Mvar をもつ整域 テンプレート:Mvar 上のホップ整環 テンプレート:Mvar とは，テンプレート:Mvar 上のホップ代数 テンプレート:Mvar におけるテンプレート:仮リンクであって，代数と余代数の演算で閉じている，特に余積 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar を テンプレート:Math に送る，もののことである．

群的元

群的元とは非零元 テンプレート:Mvar であって テンプレート:Math なるものである．群的元たちは対合射によって与えられる逆元を持つ群をなす．テンプレート:仮リンク テンプレート:Mvar は テンプレート:Math を満たす．

表現論

テンプレート:Mvar をホップ代数とし，テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar 加群とする．このとき，テンプレート:Math も次のようにして テンプレート:Mvar 加群である：テンプレート:Math, テンプレート:Math, テンプレート:Math に対して，

$a(m\otimes n):=\mathrm{\Delta }(a)(m\otimes n)=(a_1\otimes a_2)(m\otimes n)=(a_{1}m\otimes a_{2}n).$

さらに，自明表現を基礎体 テンプレート:Mvar に テンプレート:Math に対して

$a(m):=ϵ(a)m$

として定義できる．最後に，テンプレート:Mvar の双対表現が定義できる：テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar 加群で テンプレート:Mvar がその双対空間のとき，テンプレート:Math と テンプレート:Math に対して

$(af)(m):=f(S(a)m).$

テンプレート:Math の間の関係により，ベクトル空間のある自然な準同型は実際 テンプレート:Mvar 加群の準同型であることが保証される．例えば，ベクトル空間の自然な同型 テンプレート:Math と テンプレート:Math は テンプレート:Mvar 加群の同型でもある．また，ベクトル空間の写像 テンプレート:Math も テンプレート:Mvar 加群の準同型である．しかしながら，写像 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar 加群の準同型であるとは限らない．

例

	テンプレート:Nowrap	テンプレート:Nowrap	テンプレート:Nowrap	テンプレート:Nowrap	テンプレート:Nowrap	テンプレート:Nowrap	テンプレート:Nowrap
群多元環 テンプレート:Mvar	群 テンプレート:Mvar	テンプレート:Math (テンプレート:Math)	テンプレート:Math (テンプレート:Math)	テンプレート:Math (テンプレート:Math)	⇔ テンプレート:Mvar が可換	yes
有限群から テンプレート:Mvar への写像全体 テンプレート:Mvar （点ごとの和と積）	有限群 テンプレート:Mvar	テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Math	yes	⇔ テンプレート:Mvar が可換
コンパクト群上のテンプレート:仮リンク環	コンパクト群 テンプレート:Mvar	テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Math	yes	⇔ テンプレート:Mvar が可換	逆に，有限のハール積分をもつ テンプレート:Mathbf 上の任意の可換対合的テンプレート:仮リンクホップ代数はこのようにして生じ，テンプレート:仮リンクの1つの定式化を与える．
代数群上の正則関数環	代数群 テンプレート:Mvar	テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Math	yes	⇔ テンプレート:Mvar が可換	逆に，体上の任意の可換ホップ代数はこのようにしてテンプレート:仮リンクから生じ，圏のテンプレート:仮リンクを与える．
テンソル代数 テンプレート:Math	ベクトル空間 テンプレート:Mvar	テンプレート:Math (テンプレート:Math), テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Math (テンプレート:Math) （として高次のテンソル冪に拡張する）	⇔ テンプレート:Math	yes	対称代数と外積代数（これらはテンソル代数の商）もまた余積，余単位，対合をこのように定義してホップ代数である
普遍包絡環 テンプレート:Math	リー環 テンプレート:Mathbf	テンプレート:Math (テンプレート:Math)（この規則は交換子と協調的であり，したがって テンプレート:Mvar の全体に一意的に拡張できる）	テンプレート:Math (テンプレート:Math)（再び テンプレート:Mvar に拡張する）	テンプレート:Math	⇔ テンプレート:Mathbf が可換	yes
テンプレート:仮リンク: テンプレート:Math を テンプレート:Math, テンプレート:Math, テンプレート:Math で割った代数 テンプレート:Mvar	標数が テンプレート:Math でない体 テンプレート:Mvar	テンプレート:Math, テンプレート:Math, テンプレート:Math	テンプレート:Math, テンプレート:Math	テンプレート:Math, テンプレート:Math	no	no	台となるベクトル空間は テンプレート:Math によって生成され，したがって次元は テンプレート:Math である．これは非可換かつ非余可換なホップ代数の最小の例である．
テンプレート:仮リンク		完全斉次対称関数 テンプレート:Math (テンプレート:Math) のことばで： テンプレート:Math2.	テンプレート:Math	テンプレート:Math	yes	yes

有限群上の関数たちは群環と同一視できるが，これらはより自然に双対と考えられることに注意――群環の元は群の元の（重み付き）有限和であり，したがって群上の関数との内積が和の各項の群の元をその函数で評価することによって与えられる．

リー群のコホモロジー

リー群のコホモロジー環はホップ代数である：積はカップ積で与えられ，余積

$H^{*}(G)\to H^{*}(G\times G)\cong H^{*}(G)\otimes H^{*}(G)$

は群の積 テンプレート:Math によって与えられる．この観察は実はホップ代数の概念の源であった．この構造を用いて，ホップはリー群のコホモロジー環の構造定理を証明した．

定理 (Hopf)

テンプレート:Mvar を標数 テンプレート:Math 上の有限次元テンプレート:仮リンク次数付き余可換ホップ代数とする．このとき テンプレート:Mvar は（代数として）奇数次の生成元を持った自由外積代数である．

量子群と非可換幾何学

テンプレート:Main 上の例はほとんど可換（すなわち積が可換）か余可換（すなわち テンプレート:Math ただし twist map テンプレート:Math は テンプレート:Math によって定義される）である．他の面白いホップ代数は，可換でも余可換でもない，普遍包絡環や正則関数環，座標環のある種の「変形」あるいは「量子化」である．これらのホップ代数はしばしば量子群と呼ばれ，この用語は今のところ漠然としか定義されていない．それらは非可換幾何学において重要であり，思想は以下のようである：普通の代数群はその正則関数の普通のホップ代数によってよく記述される；このホップ代数の変形版をある種の「普通でない」あるいは「量子化された」代数群（もはや代数群ではない）と考えることができる．これらの対象を定義したり扱ったりする直接的な方法は存在しないように思われるが，ホップ代数を研究することはなおでき，実際それらをホップ代数と同一視する．したがって名前「量子群」である．

関連概念

次数付きホップ代数は代数的位相幾何学においてしばしば用いられる：それらは テンプレート:仮リンクのすべてのホモロジーあるいはコホモロジー群の直和上の自然な代数的構造である．

テンプレート:仮リンクはホップ代数を一般化し，位相を持つ．リー群上のすべての連続関数からなる代数は局所コンパクト量子群である．

テンプレート:仮リンクはホップ代数の一般化であり，余結合律が捩れを除いてしか成り立たないものである．それらはKZ方程式の研究において使われている．

Alfons Van Daele によって1994年に導入された テンプレート:仮リンク はホップ代数の一般化であり，余積は（単位元をもつあるいはもたない）代数からその代数のテンソル積代数のテンプレート:仮リンク へである．

V. G. Turaev によって2000年に導入されたテンプレート:仮リンクもまたホップ代数の一般化である．

弱ホップ代数

テンプレート:仮リンク，あるいは量子亜群は，ホップ代数の一般化である．ホップ代数と同様，弱ホップ代数たちは代数の自己双対なクラスをなす，つまり，テンプレート:Mvar が（弱）ホップ代数ならば，テンプレート:Mvar 上の線型形式からなる双対空間 テンプレート:Mvar もそうである（テンプレート:Mvar との自然なペアリングとその余代数・代数構造から得られる代数・余代数構造に関して）．弱ホップ代数 テンプレート:Mvar は通常次のように取られる：

• 有限次元代数かつ余代数で，余積 テンプレート:Math と余単位射 テンプレート:Math を持ち，テンプレート:Math あるいはある テンプレート:Math に対して テンプレート:Math でもよいが，他のすべてのホップ代数の公理を満たす．あるいは，以下を要求する：すべての テンプレート:Math に対して，

$(\mathrm{\Delta }(1)\otimes 1)(1\otimes \mathrm{\Delta }(1))=(1\otimes \mathrm{\Delta }(1))(\mathrm{\Delta }(1)\otimes 1)=(\mathrm{\Delta }\otimes \text{Id})\mathrm{\Delta }(1)$

$ϵ(abc)=\sum ϵ(a{b}_{(1)})ϵ(b_{(2)}c)=\sum ϵ(a{b}_{(2)})ϵ(b_{(1)}c)$

• テンプレート:Mvar は以下の公理を満たす弱められた対合射 テンプレート:Math を持つ：

1. すべての テンプレート:Math に対して $S(a_{(1)})a_{(2)}=1_{(1)}ϵ(a{1}_{(2)})$（右辺は像が テンプレート:Mvar または テンプレート:Mvar と書かれる separable subalgebra である通常 テンプレート:Math あるいは テンプレート:Math と書かれる面白い射影）；
2. すべての テンプレート:Math に対して $a_{(1)}S(a_{(2)})=ϵ(1_{(1)}a)1_{(2)}$（像が テンプレート:Mvar によって テンプレート:Mvar に反同型な separable algebra テンプレート:Mvar あるいは テンプレート:Mvar である通常 テンプレート:Math あるいは テンプレート:Math と書かれる別の面白い射影）；
3. すべての テンプレート:Math に対して $S(a_{(1)})a_{(2)}S(a_{(3)})=S(a).$

テンプレート:Math ならこれらの条件はホップ代数の対合射の2つの通常の条件となることに注意．

公理は部分的には テンプレート:Mvar 加群の圏がテンプレート:仮リンク であるように選ばれている．unit テンプレート:Mvar-module は上で述べた separable algebra テンプレート:Mvar である．

例えば，有限テンプレート:仮リンク代数は弱ホップ代数である．特に，テンプレート:Math の テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の間に可逆な矢印 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の1つのペアがある テンプレート:Math 上の亜群代数は テンプレート:Math 行列の代数 テンプレート:Mvar に同型である．この テンプレート:Mvar 上の弱ホップ代数構造は余積 テンプレート:Math, 余単位射 テンプレート:Math, 対合射 テンプレート:Math によって与えられる．separable subalgebras テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar は一致し，中心的でない可換代数（対角行列の部分代数）である．

弱ホップ代数への早期の理論的貢献は や に見つかる．

ホップ亜代数

テンプレート:仮リンク を参照．

群との類似

群はホップ代数と同じ図式（同じことだが演算）によって公理化できる，ただし テンプレート:Mvar は加群の代わりに集合と取られる．この場合：

• 体 テンプレート:Mvar は 1 点集合で置き換えられる
• 自然な余単位射がある（1 点に写す）
• 自然な余積がある（対角写像）
• 単位射は群の単位元である
• 積は群の積である
• 対合射は逆元である

この哲学において，群は「一元体」上のホップ代数と考えることができる．

関連項目

• テンプレート:仮リンク
• テンプレート:仮リンク
• テンプレート:仮リンク
• テンプレート:仮リンク
• テンプレート:仮リンク
• テンプレート:仮リンク
• テンプレート:仮リンク
• テンプレート:仮リンク
• テンプレート:仮リンク
• テンプレート:仮リンク

参考文献

• テンプレート:Citation.
• Pierre Cartier, A primer of Hopf algebras, IHES preprint, September 2006, 81 pages
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• H. Hopf, Uber die Topologie der Gruppen-Mannigfaltigkeiten und ihrer Verallgemeinerungen, Ann. of Math. 42 (1941), 22–52. Reprinted in Selecta Heinz Hopf, pp. 119–151, Springer, Berlin (1964). テンプレート:MathSciNet, テンプレート:Zbl
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