ラグランジュの定理 (群論)

テンプレート:Groups 群論において、ラグランジュの定理（英語：Lagrange's theorem）とは、次のような定理であるテンプレート:Sfnテンプレート:Sfnテンプレート:Sfnテンプレート:Sfn。 テンプレート:Math theorem テンプレート:Math に関しては#同値類による指数を参照。

定義

部分群による同値関係

群 テンプレート:Mvar の要素 テンプレート:Math に関して、群 テンプレート:Mvar の部分群 テンプレート:Mvar の要素 テンプレート:Mvar を用いて、テンプレート:Math となるとき、テンプレート:Math と定義する。テンプレート:Mvar の単位元を テンプレート:Mvar とすると、テンプレート:Mvar は部分群だから テンプレート:Math であり、テンプレート:Math となるので、テンプレート:Math である。テンプレート:Math のとき、テンプレート:Mvar は部分群だから テンプレート:Math となるので、テンプレート:Math のとき、テンプレート:Math となり テンプレート:Math である。テンプレート:Math に関して、テンプレート:Math ならば テンプレート:Math だから テンプレート:Math となる。テンプレート:Mvar は部分群なので、テンプレート:Math となるから テンプレート:Math である。したがって、テンプレート:Mvar は同値関係になるテンプレート:Sfnテンプレート:Sfnテンプレート:Sfnテンプレート:Sfn。

同値関係による同値類

部分群 テンプレート:Mvar に関して、同値関係 テンプレート:Mvar による同値類 テンプレート:Math は テンプレート:Math になるから、テンプレート:Mvar に等しくなる。これを テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar による左剰余類（left coset）という。同値関係 テンプレート:Mvar による同値類 テンプレート:Mvar の集合 テンプレート:Math を テンプレート:Math と書くテンプレート:Sfnテンプレート:Sfnテンプレート:Sfn。

部分群 テンプレート:Mvar が有限群の場合は テンプレート:Math と表すことができて、左剰余類 テンプレート:Math は テンプレート:Math となるテンプレート:Sfn。

同値類の間の同型写像

部分群 テンプレート:Mvar から同値類 テンプレート:Mvar への写像 テンプレート:Math を テンプレート:Math と定義するとき、テンプレート:Math とすると、テンプレート:Math となるから、左から テンプレート:Math を掛けて テンプレート:Math となるので、写像 テンプレート:Math は単射になる。写像 テンプレート:Math による部分群 テンプレート:Mvar の像が テンプレート:Mvar だから写像 テンプレート:Math は全射になり、全単射になる。したがって、写像 テンプレート:Math の逆写像 テンプレート:Math は テンプレート:Math となる。これより、同値類 テンプレート:Mvar から同値類 テンプレート:Mvar への写像 テンプレート:Math を テンプレート:Math と定義すると写像 テンプレート:Math は全単射になる。したがって、任意の二つの同値類 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar は同型となり、テンプレート:Math となるテンプレート:Sfnテンプレート:Sfn。

同値類による指数

左剰余類の集合 テンプレート:Math の要素の個数（濃度）である テンプレート:Math を テンプレート:Mvar における テンプレート:Mvar の指数（index of a subgroup テンプレート:Mvar in a group テンプレート:Mvar）と呼び、テンプレート:Math または テンプレート:Math または テンプレート:Math と書くテンプレート:Sfnテンプレート:Sfnテンプレート:Sfn。

テンプレート:Math が有限集合の場合は、テンプレート:Math と表すことができて、テンプレート:Math となる。

テンプレート:Mvar が有限群の場合は、以下のように書けるテンプレート:Sfn：

$\begin{array}{cc}H& =\{h_1,h_2,h_3,\dots ,h_m\},\\ a_{1}H& =\{a_1{h}_1,a_1{h}_2,a_1{h}_3,\dots ,a_1{h}_m\},\\ a_{2}H& =\{a_2{h}_1,a_2{h}_2,a_2{h}_3,\dots ,a_2{h}_m\},\\ a_{3}H& =\{a_3{h}_1,a_3{h}_2,a_3{h}_3,\dots ,a_3{h}_m\},\\ \cdots \\ a_{k}H& =\{a_k{h}_1,a_k{h}_2,a_k{h}_3,\dots ,a_k{h}_m\},\\ G/H& =\{a_{1}H,a_{2}H,a_{3}H,\dots ,a_{k}H\},\\ G& =a_{1}H\cup a_{2}H\cup a_{3}H\cup \cdots \cup a_{k}H(i\ne j\Rightarrow a_{i}H\cap a_{j}H=\mathrm{\varnothing }).\end{array}$

証明

有限群 テンプレート:Mvar の部分群 テンプレート:Mvar を テンプレート:Math とすると、

$H=\{h_1,h_2,h_3,\dots ,h_m\}.$

左剰余類 テンプレート:Mvar は テンプレート:Math に等しくなるので、

$aH=\{a{h}_1,a{h}_2,a{h}_3,\dots ,a{h}_m\}.$

このとき、テンプレート:Mvar の要素 テンプレート:Mvar に テンプレート:Mvar を対応させる写像を テンプレート:Math とすると、テンプレート:Math のとき、左から テンプレート:Math を掛けて、テンプレート:Math となるので、写像 テンプレート:Mvar は単射になる。

写像 テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar に写すから テンプレート:Mvar は全射となるので、全単射になる。したがって、 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar とは同じ個数の要素を待つから、テンプレート:Math となる。

したがって、テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar による類別を考えると、以下のようになる。

$\begin{array}{cc}{a}_{1}H& =\{a_1{h}_1,a_1{h}_2,a_1{h}_3,\dots ,a_1{h}_m\},\\ a_{2}H& =\{a_2{h}_1,a_2{h}_2,a_2{h}_3,\dots ,a_2{h}_m\},\\ a_{3}H& =\{a_3{h}_1,a_3{h}_2,a_3{h}_3,\dots ,a_3{h}_m\},\\ \cdots \\ a_{k}H& =\{a_k{h}_1,a_k{h}_2,a_k{h}_3,\dots ,a_k{h}_m\},\\ G/H& =\{a_{1}H,a_{2}H,a_{3}H,\dots ,a_{k}H\},\\ G& =a_{1}H\cup a_{2}H\cup a_{3}H\cup \cdots \cup a_{k}H(i\ne j\Rightarrow a_{i}H\cap a_{j}H=\mathrm{\varnothing }).\end{array}$

このとき、テンプレート:Math となるので、テンプレート:Math となる。テンプレート:Math となるので、

$|G|=[G:H]\cdot |H|.$

Q.E.D.

拡張

ラグランジュの定理は群 テンプレート:Mvar における3つの部分群の指数の間に成り立つ等式に拡張できる。 以下では、テンプレート:Mvar が群 テンプレート:Mvar の部分群であるとき、テンプレート:Math または テンプレート:Math と表し、テンプレート:Mvar が群 テンプレート:Mvar の部分群であり、かつ テンプレート:Mvar が群 テンプレート:Mvar の部分群であるとき、テンプレート:Math または テンプレート:Math と表す。 テンプレート:Math theorem テンプレート:Math proof テンプレート:Math のとき テンプレート:Math （テンプレート:Mvar は群 テンプレート:Mvar の単位元）とおくと テンプレート:Math および テンプレート:Math が成り立つ。したがって、元々の等式 テンプレート:Math を得る。

応用

系(1)

ラグランジュの定理には、次のような系があるテンプレート:Sfnテンプレート:Sfnテンプレート:Sfn。 テンプレート:Math theorem

証明

テンプレート:Mvar が有限群の場合は、指数 テンプレート:Math（テンプレート:Mvar における テンプレート:Mvar の左剰余類の個数）が正の整数になるので、ラグランジュの定理から系が従う。

系(2)

証明

群 テンプレート:Mvar の任意の元 テンプレート:Mvar で生成される巡回群 ⟨テンプレート:Mvar⟩を考えればよい。巡回群 ⟨テンプレート:Mvar⟩は テンプレート:Mvar の部分群になるので、その位数 |⟨テンプレート:Mvar⟩| は群 テンプレート:Mvar の位数 テンプレート:Math を割り切ることになる。

素数位数の有限群

証明

テンプレート:Math より、群 テンプレート:Mvar の単位元 テンプレート:Mvar 以外の元を テンプレート:Mvar とすると、テンプレート:Mvar が生成する巡回群 テンプレート:Math は群 テンプレート:Mvar の部分群になるから、その位数 テンプレート:Math は素数 テンプレート:Mvar の約数になる。したがって、テンプレート:Math または テンプレート:Math になる。テンプレート:Math の場合は、テンプレート:Math となり不適。テンプレート:Math の場合は群 テンプレート:Mvar の位数と等しくなるので、テンプレート:Math となり題意は示された。

フェルマーの小定理

証明

位数 テンプレート:Mvar の巡回群 テンプレート:Math の乗法群 テンプレート:Math は位数 テンプレート:Math の有限群になるから、テンプレート:Math の任意の元を テンプレート:Mvar とすると、ラグランジュの定理の系(2) より、テンプレート:Math が成り立つ。したがって、テンプレート:Math のとき テンプレート:Math が素数 テンプレート:Mvar で割り切れるから、テンプレート:Math となる。よって、テンプレート:Math のとき、テンプレート:Math が成り立つので、テンプレート:Math を得る。

より一般に、合成数 テンプレート:Mvar についても乗法群 テンプレート:Math を考えれば、オイラーの定理を導くこともできる。

逆

ラグランジュの定理の逆が成立するか問うことができる。つまり、位数 テンプレート:Mvar の有限群 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar を割り切る自然数 テンプレート:Mvar が与えられたとき「位数が テンプレート:Mvar である テンプレート:Mvar の部分群が存在するか」という問いである。よく知られているように、これは一般には存在しない。位数12である4次の交代群 テンプレート:Math が位数6である部分群をもたないのでテンプレート:Efn、（群 テンプレート:Mvar の位数が最小の）反例を与えるからであるテンプレート:Sfn。 一方、特別な状況では逆が成立することが知られている。その最たる例はシローの定理であるテンプレート:Efn。つまり位数 テンプレート:Mvar を割り切る素数 テンプレート:Mvar のべきで最大のもの テンプレート:Math を考えると、位数 テンプレート:Mvar の部分群（シロー部分群）が存在する。もうすこし一般に テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar を割り切るならば、位数 テンプレート:Mvar の部分群が存在することもわかるテンプレート:Sfn。（コーシーの定理も参照のこと。）

歴史

テンプレート:出典の明記 ラグランジュは代数方程式の解法に関連して、多項式上の置換の理論でこの定理を証明しているが、これは現在の言い方でいう対称群の場合にあたる。当時はまだ群の概念が整備されていなかったので、ラグランジュ自身が群一般で考えていたわけではない。ただその性質は容易に抽象群へと拡張されるもので、現在でもそのままラグランジュの定理と呼ばれている。群論の定理としては、歴史上最初に出現したものである。

参考文献

• テンプレート:Cite journal
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Citation
• テンプレート:Citation

関連項目

• コーシーの定理 (群論)
• ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ
• シローの定理

外部リンク

• ラグランジェの定理 - 物理のかぎしっぽ
• テンプレート:PDFlink
• テンプレート:MathWorld

動画

• テンプレート:YouTube - AKITOの特異点
• テンプレート:YouTube
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